Номер 21.9, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.9. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по разные стороны от его центра, равны $9\pi \text{ см}^2$ и $25\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 8 см.

Пусть $R$ — радиус шара. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиусы двух данных сечений как $r_1$ и $r_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

По условию задачи, площади сечений равны $S_1 = 9\pi$ см² и $S_2 = 25\pi$ см².

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Используя эту формулу, найдем радиусы сечений:

Для первого сечения: $\pi r_1^2 = 9\pi$, откуда получаем $r_1^2 = 9$, следовательно, радиус первого сечения $r_1 = 3$ см.

Для второго сечения: $\pi r_2^2 = 25\pi$, откуда получаем $r_2^2 = 25$, следовательно, радиус второго сечения $r_2 = 5$ см.

Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей первого и второго сечений соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где $R$ является гипотенузой: $R^2 = r^2 + h^2$.

Для наших двух сечений можно составить систему уравнений:

1) $R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 3^2 + h_1^2 = 9 + h_1^2$

2) $R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 5^2 + h_2^2 = 25 + h_2^2$

В условии сказано, что сечения расположены по разные стороны от центра шара. Это означает, что расстояние между их плоскостями равно сумме расстояний от центра до каждой плоскости: $d = h_1 + h_2$. По условию, $d = 8$ см, значит, $h_1 + h_2 = 8$.

Приравняем правые части уравнений для $R^2$, так как радиус шара один и тот же:

$9 + h_1^2 = 25 + h_2^2$

Перенесем члены, чтобы сгруппировать переменные:

$h_1^2 - h_2^2 = 25 - 9$

$h_1^2 - h_2^2 = 16$

Применим формулу разности квадратов: $(h_1 - h_2)(h_1 + h_2) = 16$.

Мы знаем, что $h_1 + h_2 = 8$, подставим это значение в уравнение:

$(h_1 - h_2) \cdot 8 = 16$

$h_1 - h_2 = \frac{16}{8} = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $h_1$ и $h_2$:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = 8 \\ h_1 - h_2 = 2 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получим: $(h_1 + h_2) + (h_1 - h_2) = 8 + 2$, что дает $2h_1 = 10$, и отсюда $h_1 = 5$ см.

Подставив значение $h_1 = 5$ в первое уравнение системы ($h_1 + h_2 = 8$), найдем $h_2$: $5 + h_2 = 8$, откуда $h_2 = 3$ см.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $h_1$ или $h_2$ в одно из первоначальных уравнений. Возьмем первое:

$R^2 = 9 + h_1^2 = 9 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

Подставим найденное значение $R^2 = 34$:

$S_{шара} = 4\pi \cdot 34 = 136\pi$ см².

Ответ: $136\pi$ см².