Номер 21.7, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.7. Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны $400\pi$ см² и $49\pi$ см². Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 9 см.

Пусть $R$ — радиус шара, а $r_1$ и $r_2$ — радиусы двух параллельных сечений. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Найдем радиусы данных сечений:
Для первого сечения с площадью $S_1 = 400\pi \text{ см}^2$:
$\pi r_1^2 = 400\pi \Rightarrow r_1^2 = 400 \Rightarrow r_1 = 20 \text{ см}$.
Для второго сечения с площадью $S_2 = 49\pi \text{ см}^2$:
$\pi r_2^2 = 49\pi \Rightarrow r_2^2 = 49 \Rightarrow r_2 = 7 \text{ см}$.

Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от центра шара до плоскостей сечений с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра до сечения $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$.

Поскольку сечения расположены по одну сторону от центра, и $r_1 > r_2$, то сечение с большим радиусом ($r_1=20$ см) находится ближе к центру, то есть $h_1 < h_2$. Расстояние между плоскостями сечений равно разности расстояний от центра до этих плоскостей: $h_2 - h_1 = 9$ см. Отсюда выразим $h_2 = h_1 + 9$.

Составим систему уравнений, используя теорему Пифагора для каждого сечения:
1) $R^2 = r_1^2 + h_1^2 = 20^2 + h_1^2$
2) $R^2 = r_2^2 + h_2^2 = 7^2 + (h_1 + 9)^2$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны $R^2$:
$20^2 + h_1^2 = 7^2 + (h_1 + 9)^2$
$400 + h_1^2 = 49 + h_1^2 + 18h_1 + 81$
Сократим $h_1^2$ в обеих частях уравнения:
$400 = 130 + 18h_1$
$18h_1 = 400 - 130$
$18h_1 = 270$
$h_1 = \frac{270}{18} = 15 \text{ см}$.

Теперь найдем квадрат радиуса шара $R^2$, подставив значение $h_1=15$ в первое уравнение:
$R^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2$:
$S_{сферы} = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $2500\pi \text{ см}^2$.