Номер 21.12, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.12. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Площадь полной поверхности цилиндра равна $S$. Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $2r$ и высоте $h$. По условию задачи, это сечение является квадратом, следовательно, его стороны равны:

$h = 2r$

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ состоит из площади двух оснований ($S_{осн} = \pi r^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = 2\pi rh$):

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Подставим в эту формулу соотношение $h = 2r$, чтобы выразить площадь через одну переменную $r$:

$S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$

Из этого выражения найдем $\pi r^2$:

$\pi r^2 = \frac{S}{6}$

Теперь рассмотрим сферу, описанную около данного цилиндра. Диаметр этой сферы $D$ будет равен диагонали осевого сечения цилиндра (то есть диагонали квадрата со стороной $2r$). Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора:

$D^2 = (2r)^2 + h^2$

Так как $h=2r$, получаем:

$D^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2$

Тогда радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра $D$:

$R^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{D^2}{4} = \frac{8r^2}{4} = 2r^2$

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Подставим в эту формулу найденное значение $R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (2r^2) = 8\pi r^2$

Наконец, заменим $\pi r^2$ на выражение $\frac{S}{6}$, которое мы получили ранее:

$S_{сферы} = 8 \left(\pi r^2\right) = 8 \cdot \frac{S}{6} = \frac{4S}{3}$

Ответ: $\frac{4S}{3}$