Номер 21.8, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.8. Два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиус одного сечения равен 5 см, а радиус другого — 12 см. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть $R$ — радиус шара, а $O$ — его центр. Сечениями шара являются круги. Обозначим центры этих кругов как $O_1$ и $O_2$, а их радиусы как $r_1 = 5$ см и $r_2 = 12$ см соответственно. Плоскости, в которых лежат сечения, обозначим $\alpha$ и $\beta$. По условию, их плоскости перпендикулярны, то есть $\alpha \perp \beta$.

Для любого сечения шара радиусом $r$, плоскость которого находится на расстоянии $d$ от центра шара, радиус шара $R$ связан с этими величинами по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.

• Для первого сечения: $R^2 = d_1^2 + r_1^2$, где $d_1 = |OO_1|$ — расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\alpha$.
• Для второго сечения: $R^2 = d_2^2 + r_2^2$, где $d_2 = |OO_2|$ — расстояние от центра шара $O$ до плоскости $\beta$.

По условию, сечения имеют только одну общую точку. Обозначим ее $P$. Это означает, что точка $P$ принадлежит обоим кругам. Следовательно, $P$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Так как $P$ является единственной общей точкой, линия пересечения плоскостей должна быть касательной к окружностям обоих сечений в этой точке $P$.

Пусть $L$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $L$ является касательной к окружности первого сечения в точке $P$, то радиус $O_1P$ перпендикулярен прямой $L$ ($O_1P \perp L$). Аналогично, радиус $O_2P$ перпендикулярен $L$ ($O_2P \perp L$).

Линии $O_1P$ и $O_2P$ лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, и обе перпендикулярны линии их пересечения $L$ в одной и той же точке $P$. Угол между этими линиями равен двугранному углу между плоскостями. Так как $\alpha \perp \beta$, то и $O_1P \perp O_2P$. Это означает, что треугольник $\triangle O_1PO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $|O_1O_2|^2 = |O_1P|^2 + |O_2P|^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Теперь рассмотрим пространственное расположение центров $O$, $O_1$ и $O_2$. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а отрезок $OO_2$ перпендикулярен плоскости $\beta$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к ним, проведенные из одной точки $O$, также взаимно перпендикулярны: $OO_1 \perp OO_2$. Таким образом, треугольник $\triangle OO_1O_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора для этого треугольника: $|O_1O_2|^2 = |OO_1|^2 + |OO_2|^2 = d_1^2 + d_2^2$.

Мы получили два выражения для квадрата расстояния между центрами сечений $|O_1O_2|^2$. Приравняем их: $d_1^2 + d_2^2 = r_1^2 + r_2^2$. Теперь выразим $d_1^2$ и $d_2^2$ из соотношений для радиуса шара: $d_1^2 = R^2 - r_1^2$ $d_2^2 = R^2 - r_2^2$ Подставим эти выражения в равенство: $(R^2 - r_1^2) + (R^2 - r_2^2) = r_1^2 + r_2^2$ $2R^2 - r_1^2 - r_2^2 = r_1^2 + r_2^2$ $2R^2 = 2r_1^2 + 2r_2^2$ $R^2 = r_1^2 + r_2^2$

Подставим известные значения радиусов сечений для нахождения квадрата радиуса шара: $R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. $S = 4\pi \cdot 169 = 676\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $676\pi \text{ см}^2$.