Номер 21.18, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.18. На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания, а $2\alpha$ – угол при вершине осевого сечения. Тогда $\alpha$ – это угол между высотой конуса и его образующей.

По условию, на высоте конуса как на диаметре построена сфера. Это означает, что радиус сферы $r_{сф} = H/2$, а ее центр находится на середине высоты конуса.

Введем систему координат. Пусть вершина конуса находится в начале координат $(0,0,0)$, а его ось совпадает с осью $Oz$. Тогда высота конуса лежит на отрезке оси $Oz$ от $0$ до $H$. Центр сферы находится в точке $(0, 0, H/2)$.

Уравнение поверхности конуса: $x^2 + y^2 = z^2 \tan^2\alpha$.

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + (z - H/2)^2 = (H/2)^2$, что можно упростить до $x^2 + y^2 + z^2 - Hz = 0$.

Найдем линию пересечения конуса и сферы. Для этого подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы: $z^2 \tan^2\alpha + z^2 - Hz = 0$ $z^2(\tan^2\alpha + 1) - Hz = 0$ $z^2\sec^2\alpha - Hz = 0$ $z(z\sec^2\alpha - H) = 0$

Решения этого уравнения: $z = 0$ (вершина конуса) и $z = H / \sec^2\alpha = H\cos^2\alpha$. Таким образом, конус и сфера пересекаются в вершине и по окружности, лежащей в плоскости $z = H\cos^2\alpha$.

1. Найдем площадь части сферы, лежащей внутри конуса ($S_1$)

Точка $(x,y,z)$ на сфере лежит внутри конуса, если выполняется условие $\sqrt{x^2+y^2} \le z \tan\alpha$. Из уравнения сферы имеем $x^2+y^2 = Hz - z^2$. Подставляя это в неравенство, получаем: $\sqrt{Hz - z^2} \le z \tan\alpha$ $Hz - z^2 \le z^2 \tan^2\alpha$ $Hz \le z^2(1 + \tan^2\alpha)$ $H \le z \sec^2\alpha$ (мы разделили на $z > 0$) $z \ge H \cos^2\alpha$

Таким образом, искомая часть поверхности сферы – это сферический сегмент (шапочка), находящийся между плоскостью $z = H\cos^2\alpha$ и "вершиной" сферы при $z=H$. Высота этого сегмента $h_1 = H - H\cos^2\alpha = H\sin^2\alpha$. Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2\pi r_{сф} h$. В нашем случае: $S_1 = 2\pi (H/2) (H\sin^2\alpha) = \pi H^2 \sin^2\alpha$.

2. Найдем площадь части поверхности конуса, лежащей внутри сферы ($S_2$)

Эта часть конуса представляет собой боковую поверхность меньшего конуса с той же вершиной, что и у исходного. Высота этого меньшего конуса $h_2$ простирается от вершины $z=0$ до плоскости пересечения $z = H\cos^2\alpha$. Итак, $h_2 = H\cos^2\alpha$.

Радиус основания этого меньшего конуса $r_2 = h_2 \tan\alpha = (H\cos^2\alpha)\tan\alpha = H\sin\alpha\cos\alpha$.

Образующая этого меньшего конуса $l_2 = \sqrt{h_2^2 + r_2^2} = h_2 / \cos\alpha = (H\cos^2\alpha)/\cos\alpha = H\cos\alpha$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi r l$. В нашем случае: $S_2 = \pi r_2 l_2 = \pi (H\sin\alpha\cos\alpha)(H\cos\alpha) = \pi H^2\sin\alpha\cos^2\alpha$.

3. Найдем угол $2\alpha$

По условию задачи, $S_1 = S_2$. $\pi H^2\sin^2\alpha = \pi H^2\sin\alpha\cos^2\alpha$

Для конуса угол $\alpha \in (0, \pi/2)$, поэтому $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$. Мы можем сократить уравнение на $\pi H^2\sin\alpha$: $\sin\alpha = \cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, получаем: $\sin\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ $\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin\alpha$. Решим его: $\sin\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как $\alpha$ – острый угол, $\sin\alpha$ должен быть положительным. Следовательно, мы выбираем решение со знаком "плюс": $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Нам нужно найти угол при вершине осевого сечения, то есть $2\alpha$. Найдем $\cos(2\alpha)$: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Из уравнения $\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0$ следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \sin\alpha$. Подставим это в формулу для косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2(1 - \sin\alpha) = 1 - 2 + 2\sin\alpha = 2\sin\alpha - 1$.

Теперь подставим найденное значение $\sin\alpha$: $\cos(2\alpha) = 2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) - 1 = (\sqrt{5}-1) - 1 = \sqrt{5}-2$.

Таким образом, искомый угол $2\alpha$ равен $\arccos(\sqrt{5}-2)$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{5}-2)$.