Номер 21.20, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Площадь сферы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 21.20, страница 200.

Условие.

21.20. Докажите, что отношение объёмов усечённого конуса и вписанного в него шара равно отношению полной поверхности усечённого конуса к поверхности шара.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства нам необходимо найти отношение объемов и отношение полных поверхностей, а затем сравнить их.

1. Введем обозначения и установим связи между параметрами.

Пусть усеченный конус имеет радиусы оснований $R$ и $r$ ($R > r$), высоту $h$ и образующую $l$. Пусть вписанный в него шар имеет радиус $R_{ш}$.

Поскольку шар вписан в усеченный конус, он касается обоих оснований и боковой поверхности.

• Касание оснований означает, что расстояние между основаниями, то есть высота конуса $h$, равно диаметру шара. Следовательно, $h = 2R_{ш}$.
• Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность (сечение шара). Основания трапеции равны $2R$ и $2r$, а боковые стороны равны образующей $l$. Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Применительно к нашей трапеции: $2R + 2r = l + l$, что упрощается до $l = R + r$.

2. Найдем отношение объемов.

Объем усеченного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$.
Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R_{ш}^3$.

Найдем их отношение, подставив $h = 2R_{ш}$: $$ \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)}{\frac{4}{3}\pi R_{ш}^3} = \frac{h(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^3} = \frac{2R_{ш}(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^3} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$

3. Найдем отношение полных поверхностей.

Полная поверхность усеченного конуса складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{кон} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l$.
Поверхность шара: $S_{шара} = 4\pi R_{ш}^2$.

Найдем их отношение, подставив $l = R + r$: $$ \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{\pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l}{4\pi R_{ш}^2} = \frac{R^2 + r^2 + (R+r)l}{4R_{ш}^2} = \frac{R^2 + r^2 + (R+r)(R+r)}{4R_{ш}^2} $$ $$ = \frac{R^2 + r^2 + R^2 + 2Rr + r^2}{4R_{ш}^2} = \frac{2R^2 + 2Rr + 2r^2}{4R_{ш}^2} = \frac{2(R^2 + Rr + r^2)}{4R_{ш}^2} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$

4. Сравнение результатов.

Мы получили, что оба отношения равны одному и тому же выражению: $$ \frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{S_{кон}}{S_{шара}} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{2R_{ш}^2} $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение объема усеченного конуса к объему вписанного в него шара равно отношению полной поверхности усеченного конуса к поверхности шара.