Номер 21.16, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.16. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью её основания угол $\beta$. Найдите площадь поверхности шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. По условию, один из катетов равен $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Будем считать, что катет $AC = a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = \alpha$. Вершину пирамиды обозначим как S.

Так как все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания одинаковый угол $\beta$, то вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около основания. Обозначим эту точку O. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, O — середина гипотенузы AB.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около основания

В прямоугольном треугольнике ABC с катетом $AC=a$ и углом $\angle A = \alpha$ гипотенузу AB можно найти из соотношения $\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}$.

Отсюда гипотенуза $AB = \frac{a}{\cos(\alpha)}$.

Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания, равен половине гипотенузы:

$R_{осн} = OA = OB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$.

2. Нахождение радиуса шара, описанного около пирамиды

Центр описанного шара, точка Q, равноудалена от всех вершин пирамиды (A, B, C, S). Поскольку она равноудалена от вершин основания, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности O. Этим перпендикуляром является высота пирамиды SO. Таким образом, центр шара Q лежит на прямой SO.

Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через вершину S и диаметр AB описанной окружности основания. В сечении получится равнобедренный треугольник ABS (SA = SB), который вписан в большую окружность описанного шара. Радиус этой окружности и есть радиус шара R.

В прямоугольном треугольнике SOA катет $OA = R_{осн}$, а угол $\angle SAO = \beta$ (угол между боковым ребром и плоскостью основания). Высота пирамиды $H = SO = OA \cdot \tan(\beta)$, а длина бокового ребра $L = SA = \frac{OA}{\cos(\beta)}$.

Радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABS, можно найти по формуле $R = \frac{L^2}{2H}$. Подставим выражения для L и H:

$R = \frac{\left(\frac{R_{осн}}{\cos(\beta)}\right)^2}{2 \cdot R_{осн} \tan(\beta)} = \frac{\frac{R_{осн}^2}{\cos^2(\beta)}}{2 R_{осн} \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}} = \frac{R_{осн}}{2\sin(\beta)\cos(\beta)} = \frac{R_{осн}}{\sin(2\beta)}$.

Теперь подставим найденное ранее значение $R_{осн}$:

$R = \frac{\frac{a}{2\cos(\alpha)}}{\sin(2\beta)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)}$.

3. Нахождение площади поверхности шара

Площадь поверхности шара S вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное выражение для радиуса R:

$S = 4\pi \left( \frac{a}{2\cos(\alpha)\sin(2\beta)} \right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)} = \frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2}{\cos^2(\alpha)\sin^2(2\beta)}$