Номер 20.37, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.37. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона — 10 см. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно этому основанию. Найдите объём образовавшегося тела.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию задачи, длина основания $AC = 12$ см, а длина боковой стороны $AB = BC = 10$ см. Треугольник вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину угла при основании (для определённости, через вершину $A$) и перпендикулярна этому основанию.

Для нахождения объёма образовавшегося тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. Согласно этой теореме, объём тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры $A$ на длину окружности $2\pi R$, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры:$V = 2\pi R A$где $A$ — площадь треугольника, а $R$ — расстояние от его центроида до оси вращения.

Сначала найдём площадь треугольника. Для этого проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам:$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. Теперь из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём длину высоты $BH$:$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. Площадь треугольника $ABC$ равна:$A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Далее найдём расстояние $R$ от центроида треугольника до оси вращения. Для этого введём декартову систему координат. Пусть ось вращения совпадает с осью ординат ($Oy$). Поскольку ось вращения проходит через вершину $A$ и перпендикулярна основанию $AC$, поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$, а основание $AC$ — на ось абсцисс ($Ox$).В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:$A(0, 0)$, $C(12, 0)$, $B(6, 8)$. Координаты центроида $G(x_c, y_c)$ треугольника находятся как среднее арифметическое координат его вершин:$x_c = \frac{x_A + x_C + x_B}{3} = \frac{0 + 12 + 6}{3} = \frac{18}{3} = 6$ см.$y_c = \frac{y_A + y_C + y_B}{3} = \frac{0 + 0 + 8}{3} = \frac{8}{3}$ см. Расстояние $R$ от центроида $G(6, 8/3)$ до оси вращения ($Oy$) равно его абсциссе, то есть $R = x_c = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить объём тела вращения, подставив найденные значения $A$ и $R$ в формулу:$V = 2\pi R A = 2\pi \cdot 6 \cdot 48 = 12\pi \cdot 48 = 576\pi$ см$^3$.

Ответ: $576\pi$ см$^3$.