gdz.top
Номер 20.12, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-10036-2
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы. Параграф 20. Объёмы тел вращения - номер 20.12, страница 193.
№20.11
№20.12 (с. 193)
Условие. №20.12 (с. 193)
20.12. Найдите объём шара, описанного около куба, ребро которого равно $a$.
Решение 1. №20.12 (с. 193)
Решение 3. №20.12 (с. 193)
20.12.
Для нахождения объема шара, описанного около куба, необходимо сначала определить радиус этого шара. Шар считается описанным около куба, если все вершины куба лежат на поверхности шара. В этом случае центр шара совпадает с центром куба, а диаметр шара $D$ равен главной диагонали куба $d$.
Пусть ребро куба равно $a$.
1. Найдем длину главной диагонали куба. Сначала найдем диагональ $d_г$ одной из граней куба (которая является квадратом со стороной $a$) по теореме Пифагора:
$d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d_г = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
2. Теперь найдем главную диагональ куба $d$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_г$. Снова применяем теорему Пифагора:
$d^2 = a^2 + d_г^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$
$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
3. Диаметр описанного шара $D$ равен главной диагонали куба: $D = d = a\sqrt{3}$.
4. Радиус шара $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
5. Теперь, зная радиус, можем вычислить объём шара $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8}$
Сокращая числитель и знаменатель, получаем:
$V = \frac{4 \cdot \pi \cdot a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{4\pi a^3 \sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$
Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 20.12 расположенного на странице 193 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20.12 (с. 193), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.