Номер 15.33, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.33. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, причём одна из них перпендикулярна стороне.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и диагоналями $d_1 = 16$ см и $d_2 = 20$ см.

Для любого параллелограмма справедливо соотношение, связывающее длины его сторон и диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения длин диагоналей в эту формулу:

$16^2 + 20^2 = 2(a^2 + b^2)$

$256 + 400 = 2(a^2 + b^2)$

$656 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 328$

По условию, одна из диагоналей перпендикулярна стороне. Это означает, что диагональ, перпендикулярная ей сторона и другая смежная сторона параллелограмма образуют прямоугольный треугольник. В таком треугольнике диагональ и перпендикулярная ей сторона являются катетами, а другая сторона параллелограмма — гипотенузой.

Проверим, какая из диагоналей может быть перпендикулярна стороне.

Предположим, что большая диагональ ($d_2 = 20$ см) перпендикулярна одной из сторон (например, стороне $b$). Тогда сторона $a$ будет гипотенузой, и по теореме Пифагора мы получим: $a^2 = d_2^2 + b^2$, то есть $a^2 = 20^2 + b^2 = 400 + b^2$. Подставим это в наше основное соотношение $a^2 + b^2 = 328$:

$(400 + b^2) + b^2 = 328$

$2b^2 = 328 - 400$

$2b^2 = -72$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины стороны не может быть отрицательным. Следовательно, наше предположение неверно.

Значит, меньшая диагональ ($d_1 = 16$ см) перпендикулярна одной из сторон (например, стороне $a$). В этом случае сторона $b$ будет гипотенузой, и по теореме Пифагора:

$b^2 = d_1^2 + a^2$

$b^2 = 16^2 + a^2 = 256 + a^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 328 \\ b^2 - a^2 = 256 \end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе:

$(a^2 + b^2) - (b^2 - a^2) = 328 - 256$

$2a^2 = 72$

$a^2 = 36$

$a = 6$ см

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма. Диагональ $d_1$ делит параллелограмм на два равных треугольника. Поскольку диагональ $d_1=16$ см перпендикулярна стороне $a=6$ см, эти треугольники являются прямоугольными, а их катеты равны $a$ и $d_1$.

Площадь одного такого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 = 48$ см$^2$.

Площадь всего параллелограмма равна удвоенной площади этого треугольника:

$S = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 48 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.