Номер 15.26, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.26. Расстояние от центра шара, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, до её боковой грани равно 5 см. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, если радиус описанного шара равен 15 см.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Пусть $H$ — центр основания $ABCD$. Тогда $SH$ — высота пирамиды, которую обозначим $h$. Пусть сторона основания равна $2a$. Центр описанной сферы $O$ и центр вписанной сферы $I$ лежат на высоте $SH$ из соображений симметрии.

Обозначим радиус описанной сферы как $R$, а радиус вписанной сферы как $r$. По условию, $R = 15$ см.

Все вершины пирамиды лежат на описанной сфере. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. В сечении получим равнобедренный треугольник $SAC$. Центр описанной сферы $O$ лежит на высоте $SH$.

Для любой вершины, например $A$, расстояние от центра сферы $O$ до нее равно радиусу: $OA = R = 15$ см. Также $OS = R = 15$ см.

В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $2a$. Его диагональ $AC = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2a\sqrt{2}$. Отрезок $AH$ — половина диагонали, $AH = a\sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAH$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.

Точка $O$ лежит на отрезке $SH$, поэтому $OH = |SH - OS| = |h - R| = |h - 15|$. Тогда $OH^2 = (h - 15)^2$.

Подставим известные значения в уравнение теоремы Пифагора:

$15^2 = (h - 15)^2 + (a\sqrt{2})^2$

$225 = h^2 - 30h + 225 + 2a^2$

$0 = h^2 - 30h + 2a^2$

Отсюда получаем первое уравнение, связывающее $h$ и $a$:

$2a^2 = 30h - h^2$ (1)

Теперь используем второе условие задачи: расстояние от центра описанной сферы $O$ до боковой грани равно 5 см.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SH$ и апофему $SK$ боковой грани $SCD$ (где $K$ — середина ребра $CD$). В сечении получим прямоугольный треугольник $SKH$ с прямым углом $H$. В этом треугольнике катеты $SH = h$ и $HK = a$. Апофема (гипотенуза) $SK = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Расстояние от точки $O$, лежащей на катете $SH$, до гипотенузы $SK$ равно 5 см. Пусть $OP$ — перпендикуляр, опущенный из точки $O$ на прямую $SK$. Тогда $OP = 5$ см.

Прямоугольные треугольники $SPO$ и $SKH$ подобны, так как у них общий острый угол при вершине $S$. Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{OP}{HK} = \frac{SO}{SK}$

Подставляем известные значения: $OP = 5$, $HK = a$, $SO = R = 15$, $SK = \sqrt{h^2 + a^2}$.

$\frac{5}{a} = \frac{15}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

$\sqrt{h^2 + a^2} = 3a$

Возведем обе части в квадрат:

$h^2 + a^2 = 9a^2$

Отсюда получаем второе уравнение:

$h^2 = 8a^2$ (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения $h$ и $a$.

Из уравнения (2) выразим $a^2$: $a^2 = \frac{h^2}{8}$. Подставим это выражение в уравнение (1):

$2 \cdot \left( \frac{h^2}{8} \right) = 30h - h^2$

$\frac{h^2}{4} = 30h - h^2$

Так как высота $h \neq 0$, разделим обе части уравнения на $h$:

$\frac{h}{4} = 30 - h$

$h = 120 - 4h$

$5h = 120$

$h = 24$ см.

Теперь найдем радиус вписанной сферы $r$. Центр вписанной сферы $I$ также лежит на высоте $SH$. Вписанная сфера касается основания в точке $H$, поэтому расстояние от $I$ до основания равно радиусу $r$, то есть $IH = r$. Сфера также касается боковых граней, поэтому расстояние от $I$ до любой боковой грани также равно $r$.

В том же сечении $SKH$, расстояние от точки $I$ (лежащей на катете $SH$) до гипотенузы $SK$ равно $r$. Пусть $IL$ — перпендикуляр из $I$ на $SK$, тогда $IL = r$.

Прямоугольный треугольник $SIL$ подобен прямоугольному треугольнику $SKH$ по общему углу при вершине $S$.

Из подобия следует:

$\frac{IL}{HK} = \frac{SI}{SK}$

Здесь $IL = r$, $HK = a$, $SI = SH - IH = h - r$, и $SK = \sqrt{h^2 + a^2}$.

$\frac{r}{a} = \frac{h-r}{\sqrt{h^2+a^2}}$

Из уравнения (2) мы знаем, что $\sqrt{h^2+a^2} = 3a$. Подставим это в пропорцию:

$\frac{r}{a} = \frac{h-r}{3a}$

Так как $a \neq 0$, умножим обе части на $3a$:

$3r = h-r$

$4r = h$

$r = \frac{h}{4}$

Подставляя найденное значение высоты $h = 24$ см, получаем:

$r = \frac{24}{4} = 6$ см.

Ответ: 6 см.