Номер 15.30, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.30. Основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Известно, что в данную пирамиду можно вписать шар. Докажите, что сумма площадей граней $ASB$ и $CSD$ равна сумме площадей граней $BSC$ и $DSA$.

Для того чтобы в пирамиду можно было вписать шар, необходимо выполнение двух условий:

1. В основание пирамиды можно вписать окружность.
2. Вершина пирамиды проецируется в центр этой вписанной окружности.

Доказательство

1. По условию, основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$. Так как в пирамиду можно вписать шар, то в ее основание, параллелограмм $ABCD$, можно вписать окружность.

Известно, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для параллелограмма $ABCD$ это условие выглядит так: $AB + CD = BC + DA$

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Подставим это в предыдущее равенство: $AB + AB = BC + BC$ $2AB = 2BC$ $AB = BC$

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, основание пирамиды $ABCD$ – это ромб.

2. Пусть $SO$ – высота пирамиды, где $O$ – проекция вершины $S$ на плоскость основания. Согласно второму условию, точка $O$ является центром окружности, вписанной в ромб $ABCD$. Центр вписанной в ромб окружности равноудален от всех его сторон.

3. Проведем апофемы (высоты боковых граней) из вершины $S$ к сторонам основания: $h_1$ к стороне $AB$, $h_2$ к стороне $BC$, $h_3$ к стороне $CD$ и $h_4$ к стороне $DA$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды $SO$, радиусом $r$ вписанной в основание окружности и апофемами. Например, для грани $ASB$ апофема $h_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $SO$ и радиус вписанной окружности $r$, проведенный к стороне $AB$. Длина этой апофемы равна $h_1 = \sqrt{SO^2 + r^2}$.

Поскольку высота $SO$ одна и та же для всех граней, а расстояние от центра $O$ до всех сторон ромба одинаково и равно $r$, то все апофемы боковых граней равны между собой: $h_1 = h_2 = h_3 = h_4 = h$

4. Теперь найдем площади боковых граней пирамиды: $S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$ $S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h$ $S_{BSC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$ $S_{DSA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot h$

5. Сравним суммы площадей противолежащих граней: Сумма площадей граней $ASB$ и $CSD$: $S_{ASB} + S_{CSD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h = \frac{1}{2} h (AB + CD)$

Сумма площадей граней $BSC$ и $DSA$: $S_{BSC} + S_{DSA} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h + \frac{1}{2} \cdot DA \cdot h = \frac{1}{2} h (BC + DA)$

Так как $ABCD$ – ромб, то $AB = CD$ и $BC = DA$. А также $AB=BC=CD=DA$. Следовательно, $AB + CD = BC + DA$.

Из этого следует, что и правые части выражений для сумм площадей равны: $\frac{1}{2} h (AB + CD) = \frac{1}{2} h (BC + DA)$

Таким образом, мы доказали, что: $S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}$

Ответ: Равенство $S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}$ доказано.