Номер 15.25, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.25. В шар радиуса 8 см вписана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Обозначим радиус описанного шара как $R$, радиус вписанного шара как $r$, высоту пирамиды как $H$. По условию дано: $R = 8$ см, $H = 12$ см.

1. Нахождение параметров основания правильной шестиугольной пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O_1$ — центр её основания (правильного шестиугольника), а $O$ — центр описанного шара. Точки $S$, $O$ и $O_1$ лежат на высоте пирамиды.

Поскольку пирамида вписана в шар, все её вершины, включая вершину $S$, лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара $O$ до вершины $S$ равно радиусу шара, то есть $OS = R = 8$ см.

Высота пирамиды $SO_1 = H = 12$ см. Так как $H > R$, центр шара $O$ находится между вершиной $S$ и центром основания $O_1$. Расстояние от центра шара до плоскости основания пирамиды равно $OO_1 = SO_1 - OS = H - R = 12 - 8 = 4$ см.

Пусть $A$ — одна из вершин основания пирамиды. Она также лежит на поверхности шара, поэтому расстояние от неё до центра шара $O$ равно радиусу $R$, то есть $OA = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1A$. В нём гипотенуза $OA = R = 8$ см, а один из катетов — это расстояние от центра шара до плоскости основания, $OO_1 = 4$ см. Второй катет $O_1A$ является радиусом окружности, описанной около основания пирамиды (обозначим его $R_{осн}$).

По теореме Пифагора: $OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2$.

$R_{осн}^2 = OA^2 - OO_1^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

$R_{осн} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Для правильного шестиугольника сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности: $a = R_{осн} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение апофемы основания и апофемы пирамиды

Апофема основания (радиус вписанной в основание окружности, $r_{осн}$) для правильного шестиугольника вычисляется по формуле $r_{осн} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$r_{осн} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Апофема пирамиды (высота боковой грани), обозначим её $h_a$, находится как гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и апофемой основания $r_{осн}$.

По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$.

$h_a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

3. Вычисление радиуса вписанного шара

Центр вписанного в правильную пирамиду шара (обозначим его $O_{вп}$) лежит на её высоте $SO_1$. Радиус $r$ вписанного шара — это расстояние от центра $O_{вп}$ до плоскости основания и до каждой из боковых граней.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO_1$ и апофему пирамиды $SM$ (где $M$ - середина стороны основания). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SO_1M$.

Центр $O_{вп}$ находится на катете $SO_1$ этого треугольника. Расстояние от $O_{вп}$ до основания (до катета $O_1M$) равно $O_{вп}O_1 = r$. Следовательно, длина отрезка $SO_{вп} = SO_1 - O_{вп}O_1 = H - r = 12 - r$.

Расстояние от точки $O_{вп}$ до боковой грани, содержащей апофему $SM$, — это длина перпендикуляра $O_{вп}K$, опущенного из точки $O_{вп}$ на гипотенузу $SM$. Длина этого перпендикуляра также равна радиусу вписанного шара, то есть $O_{вп}K = r$.

Прямоугольный треугольник $\triangle SKO_{вп}$ подобен прямоугольному треугольнику $\triangle SO_1M$, так как у них общий острый угол $\angle MSO_1$.

Из подобия треугольников следует отношение их соответствующих сторон:

$\frac{O_{вп}K}{O_1M} = \frac{SO_{вп}}{SM}$

Подставим известные значения: $O_{вп}K=r$, $O_1M=r_{осн}=6$, $SO_{вп}=12-r$, $SM=h_a=6\sqrt{5}$.

$\frac{r}{6} = \frac{12-r}{6\sqrt{5}}$

Умножим обе части уравнения на 6:

$r = \frac{12-r}{\sqrt{5}}$

$r\sqrt{5} = 12 - r$

$r\sqrt{5} + r = 12$

$r(\sqrt{5} + 1) = 12$

$r = \frac{12}{\sqrt{5} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$r = \frac{12(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{12(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{12(\sqrt{5} - 1)}{4} = 3(\sqrt{5} - 1)$ см.

Ответ: $3(\sqrt{5} - 1)$ см.