Номер 15.18, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.18. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S и основанием ABC. Сторона основания AB = BC = CA = $a$. Плоский угол при вершине, например, $\angle ASB = \alpha$.

Радиус $r$ вписанного в пирамиду шара можно найти через отношение объема пирамиды $V$ к полной площади ее поверхности $S_{полн}$ по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$. Однако более прямой путь — использовать геометрический метод, рассмотрев сечение пирамиды.

Центр вписанного шара (точка I) лежит на высоте пирамиды SO, где O — центр основания. Шар касается плоскости основания в точке O и боковых граней. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO и апофему SM (где M — середина стороны BC). Это сечение представляет собой треугольник ASM. Центр вписанного шара I лежит на биссектрисе двугранного угла при основании, то есть на биссектрисе угла $\angle SMO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник IOM, где IO = $r$ — искомый радиус, а OM — радиус окружности, вписанной в основание. Угол $\angle IMO$ равен половине двугранного угла $\phi = \angle SMO$ при ребре основания BC. Отсюда получаем соотношение:

$r = OM \cdot \tan(\frac{\phi}{2})$

Найдем необходимые величины шаг за шагом.

1. Нахождение радиуса вписанной в основание окружности (OM)

Основание ABC — равносторонний треугольник со стороной $a$. Радиус вписанной окружности $OM$ равен:

$OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Нахождение апофемы (SM)

Рассмотрим боковую грань SBC. Это равнобедренный треугольник с основанием BC = $a$ и углом при вершине $\angle BSC = \alpha$. SM — его высота (апофема пирамиды). В прямоугольном треугольнике SMB (где $BM = a/2$ и $\angle BSM = \alpha/2$):

$SM = \frac{BM}{\tan(\angle BSM)} = \frac{a/2}{\tan(\alpha/2)} = \frac{a}{2}\cot(\frac{\alpha}{2})$

3. Нахождение двугранного угла при основании ($\phi$)

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (O — проекция S на основание). Катеты — высота пирамиды SO и радиус вписанной окружности OM, гипотенуза — апофема SM. Двугранный угол $\phi$ — это угол $\angle SMO$. Найдем его косинус:

$\cos(\phi) = \frac{OM}{SM} = \frac{a\sqrt{3}/6}{a/2 \cdot \cot(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{3}}{3} \tan(\frac{\alpha}{2})$

4. Нахождение тангенса половины угла ($\tan(\frac{\phi}{2})$)

Используем формулу тангенса половинного угла через косинус:

$\tan^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1 - \cos(\phi)}{1 + \cos(\phi)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}$

$\tan(\frac{\phi}{2}) = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}}$

5. Нахождение радиуса вписанного шара (r)

Подставим найденные значения OM и $\tan(\frac{\phi}{2})$ в исходную формулу $r = OM \cdot \tan(\frac{\phi}{2})$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \sqrt{\frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}}$

Упростим полученное выражение. Внесем $\frac{\sqrt{3}}{6}$ под корень:

$r = a \sqrt{\frac{3}{36} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}} = a \sqrt{\frac{1}{12} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}}$

Для дальнейшего упрощения домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на $3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})$:

$r = a \sqrt{\frac{1}{12} \cdot \frac{(3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2}))^2}{(3 + \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2}))(3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2}))}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \frac{3 - \sqrt{3}\tan(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{9 - 3\tan^2(\frac{\alpha}{2})}}$

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - \tan(\frac{\alpha}{2}))}{\sqrt{3}\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a}{6} \frac{\sqrt{3} - \tan(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{3 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}}$

Выразим тангенсы через синус и косинус:

$r = \frac{a}{6} \frac{\sqrt{3} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\sqrt{3 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}}} = \frac{a}{6} \frac{\frac{\sqrt{3}\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\sqrt{3\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}}{\cos(\alpha/2)}}$

$r = \frac{a(\sqrt{3}\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2))}{6\sqrt{3\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}}$

Знаменатель можно упростить: $3\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = 3(1-\sin^2(\alpha/2)) - \sin^2(\alpha/2) = 3 - 4\sin^2(\alpha/2)$. Также можно использовать формулу $3-4\sin^2(x) = 1+2\cos(2x)$, тогда $3-4\sin^2(\alpha/2) = 1+2\cos\alpha$.

Окончательный вид ответа:

$r = \frac{a(\sqrt{3}\cos(\frac{\alpha}{2}) - \sin(\frac{\alpha}{2}))}{6\sqrt{1+2\cos\alpha}}$

Ответ: $r = \frac{a(\sqrt{3}\cos(\frac{\alpha}{2}) - \sin(\frac{\alpha}{2}))}{6\sqrt{1+2\cos\alpha}}$