Номер 9.1, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.1. Радиус основания конуса равен 9 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите площадь:

1) боковой поверхности конуса;

2) осевого сечения конуса.

Позначимо радіус основи конуса як $r$, твірну як $l$, а висоту як $h$.

За умовою задачі маємо: $r = 9$ см, а кут між твірною і площиною основи $\alpha = 30°$.

Цей кут утворюється твірною $l$ та радіусом основи $r$ у прямокутному трикутнику, сторонами якого є висота $h$ (катет), радіус $r$ (катет) і твірна $l$ (гіпотенуза).

1) боковой поверхности конуса

Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою $S_{бок} = \pi r l$. Нам необхідно знайти довжину твірної $l$.

З прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом та твірною, маємо співвідношення:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Звідси виразимо твірну $l$:

$l = \frac{r}{\cos(\alpha)}$

Підставляємо відомі значення ($r = 9$ см, $\alpha = 30°$):

$l = \frac{9}{\cos(30°)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Тепер обчислимо площу бічної поверхні:

$S_{бок} = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см².

2) осевого сечения конуса

Осьовий переріз конуса є рівнобедреним трикутником, основою якого є діаметр основи конуса $d = 2r$, а висотою — висота конуса $h$.

Площа цього трикутника обчислюється за формулою $S_{сеч} = \frac{1}{2} d h = \frac{1}{2} (2r) h = r h$.

Спочатку знайдемо висоту конуса $h$ з того ж прямокутного трикутника:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$

Звідси виразимо висоту $h$:

$h = r \cdot \tan(\alpha)$

Підставляємо відомі значення:

$h = 9 \cdot \tan(30°) = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Тепер обчислимо площу осьового перерізу:

$S_{сеч} = r \cdot h = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Ответ: $27\sqrt{3}$ см².