Номер 8.30, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.30. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Вершины $A$, $B$ и $D_1$ принадлежат боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна прямой $DC_1$. Найдите радиус основания цилиндра.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$ куба, а оси направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты (при длине ребра, равной $a$):

• $A = (a, 0, 0)$
• $B = (a, a, 0)$
• $C = (0, a, 0)$
• $D = (0, 0, 0)$
• $C_1 = (0, a, a)$
• $D_1 = (0, 0, a)$

Ось цилиндра по условию параллельна прямой $DC_1$. Найдем направляющий вектор $\vec{u}$ этой прямой:

$\vec{u} = \vec{DC_1} = C_1 - D = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, например, $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

Поскольку вершины $A$, $B$ и $D_1$ принадлежат боковой поверхности цилиндра, они равноудалены от его оси. Это расстояние равно радиусу основания цилиндра $R$. Таким образом, если $l$ — ось цилиндра, то должно выполняться условие:

$dist(A, l) = dist(B, l) = dist(D_1, l) = R$

Пусть ось $l$ проходит через некоторую точку $P_0(x_0, y_0, z_0)$. Квадрат расстояния от точки $P$ до прямой $l$ (проходящей через $P_0$ с направляющим вектором $\vec{v}$) можно найти по формуле:

$d^2 = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{v}|^2}{|\vec{v}|^2}$

Найдем $|\vec{v}|^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$. Тогда $2R^2 = |\vec{P_0P} \times \vec{v}|^2$.

1. Для точки $A(a, 0, 0)$: $\vec{P_0A} = (a-x_0, -y_0, -z_0)$.

$\vec{P_0A} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a-x_0 & -y_0 & -z_0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-y_0+z_0) - \mathbf{j}(a-x_0) + \mathbf{k}(a-x_0) = (z_0-y_0, x_0-a, a-x_0)$.

$2R^2 = (z_0-y_0)^2 + (x_0-a)^2 + (a-x_0)^2 = (z_0-y_0)^2 + 2(a-x_0)^2$. (1)

2. Для точки $B(a, a, 0)$: $\vec{P_0B} = (a-x_0, a-y_0, -z_0)$.

$\vec{P_0B} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a-x_0 & a-y_0 & -z_0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a-y_0+z_0) - \mathbf{j}(a-x_0) + \mathbf{k}(a-x_0) = (a-y_0+z_0, x_0-a, a-x_0)$.

$2R^2 = (a-y_0+z_0)^2 + 2(a-x_0)^2$. (2)

3. Для точки $D_1(0, 0, a)$: $\vec{P_0D_1} = (-x_0, -y_0, a-z_0)$.

$\vec{P_0D_1} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -x_0 & -y_0 & a-z_0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-y_0-a+z_0) - \mathbf{j}(-x_0) + \mathbf{k}(-x_0) = (z_0-y_0-a, x_0, -x_0)$.

$2R^2 = (z_0-y_0-a)^2 + x_0^2 + (-x_0)^2 = (z_0-y_0-a)^2 + 2x_0^2$. (3)

Теперь решим систему уравнений, приравнивая правые части. Из (1) и (2):

$(z_0-y_0)^2 + 2(a-x_0)^2 = (a-y_0+z_0)^2 + 2(a-x_0)^2$

$(z_0-y_0)^2 = (a+(z_0-y_0))^2$

Пусть $k = z_0-y_0$. Тогда $k^2 = (a+k)^2 \Rightarrow k^2 = a^2+2ak+k^2 \Rightarrow 2ak+a^2=0$. Поскольку $a \ne 0$, получаем $2k+a=0$, откуда $k = z_0-y_0 = -\frac{a}{2}$.

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (3), подставив найденное значение $z_0-y_0 = -a/2$:

$(-\frac{a}{2})^2 + 2(a-x_0)^2 = (-\frac{a}{2}-a)^2 + 2x_0^2$

$\frac{a^2}{4} + 2(a^2-2ax_0+x_0^2) = (-\frac{3a}{2})^2 + 2x_0^2$

$\frac{a^2}{4} + 2a^2 - 4ax_0 + 2x_0^2 = \frac{9a^2}{4} + 2x_0^2$

$\frac{9a^2}{4} - 4ax_0 = \frac{9a^2}{4}$

$-4ax_0 = 0$. Так как $a \ne 0$, то $x_0=0$.

Мы определили параметры оси цилиндра. Теперь можем найти радиус $R$, подставив $x_0=0$ и $z_0-y_0 = -a/2$ в любое из трех уравнений. Воспользуемся уравнением (3):

$2R^2 = (z_0-y_0-a)^2 + 2x_0^2$

$2R^2 = (-\frac{a}{2}-a)^2 + 2(0)^2 = (-\frac{3a}{2})^2 = \frac{9a^2}{4}$

$R^2 = \frac{9a^2}{8}$

$R = \sqrt{\frac{9a^2}{8}} = \frac{3a}{\sqrt{8}} = \frac{3a}{2\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $R = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$.