Номер 3, страница 258 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 55. Металлическая связь. Структурные типы металлов. Глава 5. Строение вещества - номер 3, страница 258.

Условие.

3. Рассчитайте долю объёма пустот от общего объёма в кристаллической решётке полония.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Кристаллическая решётка полония (Po).

Известно, что α-модификация полония, устойчивая при комнатной температуре, имеет простую кубическую (ПК) кристаллическую решётку. Это единственный химический элемент с такой структурой.

Найти:

Долю объёма пустот от общего объёма, $f_{пустот}$.

Решение:

Доля объёма пустот в кристаллической решётке представляет собой часть общего объёма элементарной ячейки, не занятую атомами. Она вычисляется как разница между единицей и коэффициентом плотности упаковки (КПУ), который показывает, какая часть объёма занята атомами.

$f_{пустот} = 1 - \text{КПУ}$

Коэффициент плотности упаковки, в свою очередь, определяется как отношение объёма атомов в элементарной ячейке к объёму самой ячейки:

$\text{КПУ} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}}$

Рассмотрим элементарную ячейку простой кубической решётки.

1. Определение числа атомов в ячейке ($n$)

В простой кубической решётке атомы находятся только в восьми вершинах куба. Каждый атом, расположенный в вершине, принадлежит одновременно восьми соседним элементарным ячейкам. Таким образом, вклад каждого такого атома в одну ячейку составляет $1/8$.

Число атомов на одну элементарную ячейку равно:

$n = 8 \text{ вершин} \times \frac{1}{8} \text{ атома на вершину} = 1 \text{ атом}$

2. Определение объёма атомов в ячейке ($V_{атомов}$)

Принимая атом за идеальный шар радиусом $R$, его объём равен $V_{1 \text{ атома}} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Так как в ячейке находится всего один атом, общий объём атомов в ячейке:

$V_{атомов} = n \times V_{1 \text{ атома}} = 1 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$

3. Определение объёма элементарной ячейки ($V_{ячейки}$)

В простой кубической решётке атомы в соседних вершинах касаются друг друга вдоль ребра куба. Если обозначить длину ребра куба (параметр решётки) как $a$, то она будет равна двум радиусам атома:

$a = 2R$

Объём кубической ячейки равен кубу её ребра:

$V_{ячейки} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$

4. Расчёт коэффициента плотности упаковки (КПУ)

Теперь мы можем рассчитать КПУ, подставив найденные значения объёмов:

$\text{КПУ} = \frac{V_{атомов}}{V_{ячейки}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{4\pi}{3 \times 8} = \frac{\pi}{6}$

Численное значение КПУ составляет:

$\text{КПУ} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.5236$

Это означает, что атомы занимают примерно 52.36% от общего объёма кристалла.

5. Расчёт доли объёма пустот ($f_{пустот}$)

Доля пустот является оставшейся частью объёма:

$f_{пустот} = 1 - \text{КПУ} = 1 - \frac{\pi}{6}$

Вычислим численное значение:

$f_{пустот} \approx 1 - 0.5236 = 0.4764$

Таким образом, доля пустого пространства в кристаллической решётке полония составляет около 47.64%.

Ответ: Доля объёма пустот от общего объёма в кристаллической решётке полония равна $1 - \frac{\pi}{6}$, что составляет приблизительно 0.4764 или 47.64%.