Номер 7, страница 127, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник Оспанова, Астамбаева

7. Реши задачу.

Имеются чашечные весы без гирь и 9 одинаковых по внешнему виду монет. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Массы настоящих монет одинаковые. Сколько надо сделать взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Для определения фальшивой монеты из девяти в худшем случае потребуется 3 взвешивания. Ниже представлен алгоритм, который гарантирует нахождение монеты.

Сначала пронумеруем монеты от 1 до 9 и разделим их на три равные группы:

• Группа 1: монеты {1, 2, 3}
• Группа 2: монеты {4, 5, 6}
• Группа 3: монеты {7, 8, 9}

Взвешивание 1

Помещаем на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2. Группу 3 оставляем в стороне. Возможны три исхода:

1. Весы находятся в равновесии.

   Это означает, что все монеты на весах ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) настоящие. Следовательно, фальшивая монета находится в Группе 3 ({7, 8, 9}), но мы пока не знаем, легче она или тяжелее.

   Взвешивание 2 (для случая равновесия): Сравниваем две монеты из Группы 3, например, 7 и 8. Монету 9 откладываем.

   • Если весы остаются в равновесии, то монеты 7 и 8 настоящие. Фальшивой является монета 9. Для определения ее веса проводим третье взвешивание: сравниваем монету 9 с любой заведомо настоящей монетой (например, с монетой 1). Если монета 9 легче — она легкая, если тяжелее — тяжелая.
   • Если одна из чаш перевесила (например, чаша с монетой 7 тяжелее), то это значит, что либо монета 7 — фальшивая и тяжелая, либо монета 8 — фальшивая и легкая. Монета 9 при этом настоящая. Проводим третье взвешивание: сравниваем монету 7 с настоящей монетой 1. Если их вес равен, значит, фальшивая монета — 8 (и она легкая). Если монета 7 тяжелее, то фальшивая — она (и она тяжелая).

2. Одна из чаш перевесила.

   Допустим, левая чаша (Группа 1: {1, 2, 3}) оказалась тяжелее правой (Группа 2: {4, 5, 6}). Это означает, что все монеты из Группы 3 ({7, 8, 9}) настоящие. Фальшивая монета находится среди тех, что на весах, и у нас есть две гипотезы:

   • Одна из монет {1, 2, 3} — фальшивая и тяжелая.
   • Одна из монет {4, 5, 6} — фальшивая и легкая.

   Взвешивание 2 (для случая неравенства): Составляем новые группы для взвешивания. На левую чашу кладем монеты {1, 2, 4}, а на правую — {3, 5, 7}. (Здесь мы смешали монеты из "потенциально тяжелой" группы, "потенциально легкой" и одну заведомо настоящую монету 7).

   • Если весы приходят в равновесие, значит, все монеты на них настоящие. Фальшивая монета — та, что не участвовала во взвешивании и подходит под наши гипотезы. Это монета 6, и она должна быть легкой. В этом случае монета найдена за два взвешивания.
   • Если левая чаша ({1, 2, 4}) перевесила, значит, либо одна из "тяжелых" монет (1 или 2) действительно тяжелая, либо "легкая" монета 5 сделала правую чашу легче. Таким образом, варианты: 1-тяжелая, 2-тяжелая или 5-легкая. Проводим третье взвешивание: сравниваем монеты 1 и 2. Если 1 тяжелее 2, то фальшивая — 1. Если 2 тяжелее 1, то фальшивая — 2. Если они равны, то обе настоящие, а фальшивая — монета 5 (и она легкая).
   • Если правая чаша ({3, 5, 7}) перевесила, значит, либо "тяжелая" монета 3 сделала ее тяжелее, либо "легкая" монета 4 сделала левую чашу легче. Варианты: 3-тяжелая или 4-легкая. Проводим третье взвешивание: сравниваем монету 3 с настоящей монетой 7. Если 3 тяжелее, то она фальшивая. Если их вес равен, то фальшивая — монета 4 (и она легкая).

Таким образом, с помощью предложенного алгоритма можно гарантированно определить фальшивую монету и ее отклонение по весу за максимальное число взвешиваний, равное трем.

Ответ: 3.