Номер 10, страница 55, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

10 Какие три различных числа в результате их сложения и умножения дают один и тот же результат?

Обозначим три искомых различных числа как $x$, $y$ и $z$. По условию задачи их сумма должна быть равна их произведению. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y + z = x \cdot y \cdot z$

Будем искать решение в целых числах. Наиболее простой способ решения — предположить значение одного из чисел и найти остальные. Предположим, что одно из чисел равно 1, например, $x=1$. Подставив это значение в уравнение, получим:

$1 + y + z = 1 \cdot y \cdot z$

$1 + y + z = yz$

Теперь преобразуем это уравнение, чтобы найти $y$ и $z$. Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а число в другую:

$yz - y - z = 1$

Чтобы разложить левую часть на множители, можно применить стандартный прием: прибавить 1 к обеим частям уравнения. Это позволит сгруппировать слагаемые.

$yz - y - z + 1 = 1 + 1$

$y(z-1) - 1(z-1) = 2$

$(y-1)(z-1) = 2$

Поскольку мы ищем целые числа $y$ и $z$, то выражения $(y-1)$ и $(z-1)$ должны быть целыми делителями числа 2. Пары целых делителей числа 2 — это (1, 2), (2, 1), (-1, -2) и (-2, -1).

Рассмотрим первую пару делителей: $y-1=1$ и $z-1=2$. Решая эти простые уравнения, получаем $y=2$ и $z=3$.

Таким образом, мы нашли тройку чисел: 1, 2, 3. Теперь необходимо проверить, соответствуют ли они всем условиям задачи.

1. Числа должны быть различными. Числа 1, 2 и 3 действительно являются различными.

2. Сумма чисел должна быть равна их произведению. Выполним проверку:

Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.

Произведение: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Так как $6 = 6$, сумма равна произведению. Следовательно, найденные числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 1, 2 и 3.