Номер 12, страница 42, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

12 Сколькими способами можно разложить 5 одинаковых ручек в 2 разных пенала?

Это задача из комбинаторики о размещении одинаковых предметов в разные ячейки. Поскольку ручки одинаковые, то важен только их количественный состав в каждом из пеналов. Так как пеналы разные, то комбинация (1 ручка в первом пенале, 4 во втором) и (4 ручки в первом, 1 во втором) являются разными способами.

Пусть в первом пенале находится $x_1$ ручек, а во втором — $x_2$ ручек. Сумма ручек в обоих пеналах должна быть равна 5. Мы ищем количество целочисленных неотрицательных решений уравнения: $x_1 + x_2 = 5$

Мы можем просто перечислить все возможные пары значений $(x_1, x_2)$:

• 0 ручек в первом пенале и 5 во втором (0, 5)
• 1 ручка в первом пенале и 4 во втором (1, 4)
• 2 ручки в первом пенале и 3 во втором (2, 3)
• 3 ручки в первом пенале и 2 во втором (3, 2)
• 4 ручки в первом пенале и 1 во втором (4, 1)
• 5 ручек в первом пенале и 0 во втором (5, 0)

Подсчитав количество вариантов, мы получаем 6 способов.

Также эту задачу можно решить с помощью общей формулы для числа сочетаний с повторениями. Эта формула используется для нахождения количества способов разложить $k$ одинаковых предметов по $n$ различным ящикам: $C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В данном случае у нас $k=5$ (количество одинаковых ручек) и $n=2$ (количество различных пеналов). Подставим эти значения в формулу: $C_{2+5-1}^{5} = C_{6}^{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 6.