Номер 9, страница 71, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

9 Определи, какой знак, $>$, $<$, или $=$, надо поставить в окошко, чтобы получилось верное высказывание.

$a \cdot 3 \Box 9 \cdot a$

$d - 24 \Box d - 310$

$b : 27 \Box b : 207$

$n \cdot 3 + n \cdot 9 \Box 12 \cdot n$

$156 - m \Box 152 - m$

$35 : c \Box 125 : c$

a · 3 ☐ 9 · a
Сравним выражения $a \cdot 3$ и $9 \cdot a$. Согласно переместительному свойству умножения, $a \cdot 3 = 3 \cdot a$. Таким образом, мы сравниваем $3 \cdot a$ и $9 \cdot a$.
Предположим, что $a$ — это положительное число (например, натуральное число). Так как $3 < 9$, то при умножении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число $a$, знак неравенства сохраняется: $3 \cdot a < 9 \cdot a$.
Если $a = 0$, то $3 \cdot 0 = 0$ и $9 \cdot 0 = 0$, следовательно, выражения равны.
Если $a$ — отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: $3 \cdot a > 9 \cdot a$.
В контексте школьной программы, если не указано иное, переменные обычно считаются положительными. Поэтому принимаем, что $a > 0$.
Следовательно, $a \cdot 3 < 9 \cdot a$.
Ответ: $a \cdot 3 < 9 \cdot a$

n · 3 + n · 9 ☐ 12 · n
Упростим выражение в левой части, используя распределительное свойство умножения. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n \cdot 3 + n \cdot 9 = n \cdot (3 + 9)$.
Сложим числа в скобках: $3 + 9 = 12$.
Получаем $n \cdot 12$.
Теперь сравним левую часть $n \cdot 12$ с правой частью $12 \cdot n$. Согласно переместительному свойству умножения, $n \cdot 12 = 12 \cdot n$.
Выражения равны при любом значении $n$.
Ответ: $n \cdot 3 + n \cdot 9 = 12 \cdot n$

d - 24 ☐ d - 310
В обоих выражениях из одного и того же числа $d$ вычитаются разные числа. Слева вычитается 24, а справа — 310.
Сравним вычитаемые: $24 < 310$.
Если из одного и того же числа вычесть меньшее число, результат будет больше, чем если вычесть большее число.
Например, если $d = 400$, то $400 - 24 = 376$, а $400 - 310 = 90$. Очевидно, что $376 > 90$.
Следовательно, $d - 24 > d - 310$.
Ответ: $d - 24 > d - 310$

156 - m ☐ 152 - m
В обоих выражениях из разных чисел (156 и 152) вычитается одно и то же число $m$.
Сравним уменьшаемые: $156 > 152$.
Если из большего числа вычесть некоторое число, то результат будет больше, чем если из меньшего числа вычесть то же самое число.
Например, если $m = 50$, то $156 - 50 = 106$, а $152 - 50 = 102$. Очевидно, что $106 > 102$.
Следовательно, $156 - m > 152 - m$.
Ответ: $156 - m > 152 - m$

b : 27 ☐ b : 207
В обоих выражениях одно и то же число $b$ делится на разные числа. Предположим, что $b$ — положительное число.
Сравним делители: $27 < 207$.
При делении одного и того же положительного числа на разные делители, частное будет тем больше, чем меньше делитель.
Поскольку мы делим на меньшее число (27) в левой части, результат будет больше.
Например, если $b = 5589$, то $5589 : 27 = 207$, а $5589 : 207 = 27$. Очевидно, что $207 > 27$.
Следовательно, $b : 27 > b : 207$ (при $b > 0$).
Ответ: $b : 27 > b : 207$

35 : c ☐ 125 : c
В обоих выражениях разные числа (35 и 125) делятся на одно и то же число $c$. Предположим, что $c$ — положительное число.
Сравним делимые: $35 < 125$.
При делении разных чисел на один и тот же положительный делитель, частное будет тем больше, чем больше делимое.
Поскольку в левой части делимое (35) меньше, чем в правой (125), то и результат деления будет меньше.
Например, если $c = 5$, то $35 : 5 = 7$, а $125 : 5 = 25$. Очевидно, что $7 < 25$.
Следовательно, $35 : c < 125 : c$ (при $c > 0$).
Ответ: $35 : c < 125 : c$