Номер 11, страница 73, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

11* Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Имеются ли другие решения данной задачи?

1) $AA + Y = YPP$

2) $МУ + БУ = МУУ$

3) $АУ + УА = СОС$

(В каждом равенстве одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные.)

1)

Данное равенство представляет собой криптарифм. Запишем его в виде математического уравнения, где одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные. Число АА можно представить как $10 \cdot А + А = 11 \cdot А$. Число УРР можно представить как $100 \cdot У + 10 \cdot Р + Р = 100 \cdot У + 11 \cdot Р$.

Получаем уравнение:

$11 \cdot А + У = 100 \cdot У + 11 \cdot Р$

Перенесем У в правую часть и вынесем общие множители:

$11 \cdot А = 99 \cdot У + 11 \cdot Р$

Разделим обе части уравнения на 11:

$А = 9 \cdot У + Р$

По условию, А, У и Р — это разные цифры. Так как А и У являются первыми цифрами в числах АА и УРР, они не могут быть равны нулю ($А \neq 0, У \neq 0$).

Проанализируем уравнение $А = 9 \cdot У + Р$.

Поскольку $У \ge 1$, то $9 \cdot У \ge 9$.

Если $У = 1$, то $А = 9 \cdot 1 + Р = 9 + Р$. Так как А — это цифра, то $А \le 9$. Это равенство выполняется только при $Р = 0$, что дает нам $А = 9$.

Проверим полученные значения: $А=9, У=1, Р=0$. Все цифры (9, 1, 0) различны. Условия $А \neq 0$ и $У \neq 0$ выполнены. Подставим в исходное равенство: $99 + 1 = 100$. Равенство верное.

Если предположить, что $У \ge 2$, то $А = 9 \cdot 2 + Р = 18 + Р$. В этом случае значение А становится двузначным числом, что противоречит условию (А — это цифра). Следовательно, У не может быть больше 1.

Таким образом, найденное решение является единственным.

Ответ: $99 + 1 = 100$. Других решений нет.

2)

Запишем равенство МУ + БУ = МУУ в виде алгебраического уравнения. М, Б, У — различные цифры, причем М и Б не могут быть нулем, так как они стоят в начале двузначных чисел.

$(10 \cdot М + У) + (10 \cdot Б + У) = 100 \cdot М + 10 \cdot У + У$

Упростим это уравнение:

$10 \cdot М + 10 \cdot Б + 2 \cdot У = 100 \cdot М + 11 \cdot У$

$10 \cdot Б = 90 \cdot М + 9 \cdot У$

$10 \cdot Б = 9 \cdot (10 \cdot М + У)$

Левая часть уравнения, $10 \cdot Б$, делится на 10. Следовательно, и правая часть, $9 \cdot (10 \cdot М + У)$, должна делиться на 10. Так как числа 9 и 10 не имеют общих делителей (кроме 1), то на 10 должно делиться выражение в скобках, $(10 \cdot М + У)$. Это выражение представляет собой число МУ. Число делится на 10 только в том случае, если его последняя цифра равна 0. Отсюда следует, что $У = 0$.

Подставим $У=0$ в уравнение $10 \cdot Б = 90 \cdot М + 9 \cdot У$:

$10 \cdot Б = 90 \cdot М + 9 \cdot 0$

$10 \cdot Б = 90 \cdot М$

Разделив обе части на 10, получим: $Б = 9 \cdot М$.

Теперь подберем цифры М и Б, удовлетворяющие этому условию, помня, что $М \neq 0$, $Б \neq 0$ и $М \neq Б$.

Если $М = 1$, то $Б = 9 \cdot 1 = 9$. Получаем набор цифр: $М=1, Б=9, У=0$. Все они различны, и условия $М \neq 0, Б \neq 0$ соблюдены.

Проверим: $10 + 90 = 100$. Равенство верное.

Если $М \ge 2$, то Б становится двузначным числом ($Б = 9 \cdot 2 = 18$), что невозможно, так как Б — это цифра.

Таким образом, у задачи есть только одно решение.

Ответ: $10 + 90 = 100$. Других решений нет.

3)

Рассмотрим равенство АУ + УА = СОС. Здесь А, У, С, О — различные цифры. А, У, С не равны нулю, так как они являются первыми цифрами в числах.

Запишем равенство в виде сложения в столбик:

АУ
+ УА
-----
СОС

Сумма двух любых двузначных чисел меньше 200 (например, $99+98=197$). Это означает, что первая цифра суммы, С, может быть только 1. Итак, $С = 1$.

Теперь посмотрим на разряд единиц: $А + У$ должно оканчиваться на цифру С, то есть на 1. Так как А и У — ненулевые цифры, их сумма не может быть равна 1. Значит, $А + У = 11$. При этом происходит перенос 1 в разряд десятков.

Рассмотрим разряд десятков: $А + У + 1$ (перенос из разряда единиц). Мы уже знаем, что $А + У = 11$, значит, сумма в разряде десятков равна $11 + 1 = 12$. Эта сумма соответствует цифре О с переносом 1 в разряд сотен. Таким образом, $12 = 10 + О$, откуда мы находим, что $О = 2$. Перенос 1 в сотни соответствует найденному значению $С=1$.

Итак, мы установили: $С=1, О=2$ и $А+У=11$.

Осталось найти пары различных цифр А и У, которые в сумме дают 11, при этом они не должны быть равны 1 или 2 (эти цифры уже заняты буквами С и О).

Возможные пары для (А, У):

• $3+8=11$. Это дает нам решение: $А=3, У=8$ (или наоборот). Цифры 3, 8, 1, 2 все различны.
• $4+7=11$. Это дает нам решение: $А=4, У=7$ (или наоборот). Цифры 4, 7, 1, 2 все различны.
• $5+6=11$. Это дает нам решение: $А=5, У=6$ (или наоборот). Цифры 5, 6, 1, 2 все различны.

Возьмем в качестве примера одно из решений: $А=3, У=8$.

Подставим в исходное равенство: $38 + 83 = 121$. Это соответствует результату СОС, где $С=1, О=2$.

Поскольку мы нашли несколько пар для А и У, данная задача имеет несколько решений.

Ответ: $38 + 83 = 121$. Да, имеются другие решения (например, $47 + 74 = 121$ и $56 + 65 = 121$).