Номер 91, страница 109, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

91 Начерти два треугольника так, чтобы их пересечением были:

а) треугольник;

б) прямоугольник;

в) отрезок;

г) точка.

а) треугольник

Чтобы пересечением двух треугольников был треугольник, можно расположить их следующим образом.
1. Начертим первый треугольник, назовем его $\triangle ABC$.
2. Возьмем на его стороне $AB$ точку $D$, а на стороне $AC$ — точку $E$. Отрезок $DE$ отсекает от большого треугольника малый треугольник $\triangle ADE$.
3. Теперь начертим второй треугольник, $\triangle AFG$, так, чтобы он был больше треугольника $\triangle ADE$ и полностью его содержал, при этом его сторона $FG$ не пересекала внутреннюю область $\triangle ABC$. Например, вершины $F$ и $G$ могут лежать на продолжениях сторон $AB$ и $AC$ за точки $D$ и $E$.
В этом случае пересечением (общей частью) треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AFG$ будет в точности треугольник $\triangle ADE$.

Ответ: Два треугольника располагаются так, что один "отсекает" от другого треугольную область. Эта общая треугольная область и является их пересечением.

б) прямоугольник

Получить прямоугольник в качестве пересечения двух треугольников невозможно.
Треугольник является выпуклым многоугольником. Пересечение двух выпуклых многоугольников всегда является выпуклым многоугольником (или отрезком, точкой, или пустым множеством). Стороны многоугольника, полученного в пересечении, всегда являются частями сторон исходных многоугольников.
У прямоугольника есть две пары параллельных сторон. Чтобы в пересечении получить фигуру с параллельными сторонами, необходимо, чтобы среди прямых, на которых лежат стороны исходных фигур, были параллельные прямые.
Однако у треугольника нет ни одной пары параллельных сторон. Все три прямые, содержащие его стороны, пересекаются. Поэтому среди шести прямых, на которых лежат стороны двух треугольников, не может быть двух пар параллельных прямых. Следовательно, сформировать прямоугольник, стороны которого лежали бы на сторонах двух треугольников, нельзя.

Ответ: Это сделать невозможно, так как у треугольников нет параллельных сторон, которые необходимы для образования пар параллельных сторон прямоугольника.

в) отрезок

Чтобы пересечением двух треугольников был отрезок, можно расположить их так, чтобы у них была одна общая сторона, а сами треугольники лежали по разные стороны от этой стороны.
1. Начертим произвольный треугольник $\triangle ABC$.
2. Начертим второй треугольник $\triangle ABD$, который имеет с первым общую сторону $AB$.
3. Расположим вершину $D$ так, чтобы треугольники не имели общих внутренних точек, то есть чтобы точки $C$ и $D$ лежали в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$.
В этом случае единственной общей частью двух треугольников будет их общая сторона — отрезок $AB$.

Ответ: Два треугольника имеют общую сторону и лежат по разные стороны от прямой, содержащей эту сторону.

г) точка

Чтобы пересечением двух треугольников была точка, можно расположить их так, чтобы они касались друг друга только в одной вершине.
1. Начертим произвольный треугольник $\triangle ABC$.
2. Начертим второй треугольник $\triangle CDE$ так, чтобы его вершина $C$ совпала с вершиной первого треугольника.
3. Расположим второй треугольник так, чтобы у них не было других общих точек, кроме вершины $C$. Например, можно расположить их как "песочные часы", чтобы они соприкасались только в одной точке-вершине.
Пересечением таких двух треугольников будет единственная точка $C$.

Ответ: Два треугольника соприкасаются в одной общей вершине, не имея других общих точек.