Номер 95, страница 109, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

95 У мамы 2 груши и 3 банана. В течение 5 дней она выдаёт сыну по одному фрукту в день. Сколькими способами она может это сделать? Составь дерево и отметь на нём путь «банан – груша – банан – банан – груша».

I день

II день

III день

IV день

V день

Сколькими способами она может это сделать?

Данная задача относится к комбинаторике, а именно к перестановкам с повторениями. У нас есть всего 5 фруктов, которые нужно распределить на 5 дней. Среди этих 5 фруктов есть повторяющиеся: 2 одинаковые груши (г) и 3 одинаковых банана (б).

Общее количество способов можно рассчитать по формуле числа перестановок с повторениями: $C = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot ... \cdot k_m!}$ где $n$ — общее количество элементов, а $k_1, k_2, ..., k_m$ — количество одинаковых элементов каждого типа.

В нашем случае $n=5$ (всего дней/фруктов), $k_1=2$ (количество груш), $k_2=3$ (количество бананов).

Подставляем значения в формулу: $C = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$

Другой способ решения — это посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 дня из 5, в которые мама даст сыну груши. Остальные дни автоматически будут "банановыми". Это задача на сочетания: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = 10$

Таким образом, существует 10 различных способов. Вот все они:
1. г, г, б, б, б
2. г, б, г, б, б
3. г, б, б, г, б
4. г, б, б, б, г
5. б, г, г, б, б
6. б, г, б, г, б
7. б, г, б, б, г
8. б, б, г, г, б
9. б, б, г, б, г
10. б, б, б, г, г

Ответ: 10 способами.

Составь дерево и отметь на нём путь «банан – груша – банан – банан – груша».

На схеме ниже представлено дерево всех возможных вариантов. Каждый уровень дерева соответствует одному дню. Ветви, помеченные буквой "г", означают, что в этот день была выдана груша, а ветви "б" — банан. Путь «банан – груша – банан – банан – груша» (б-г-б-б-г) выделен на дереве красным цветом.

Ответ: Дерево вариантов построено, указанный путь выделен красным цветом.