Проверим себя, страница 25, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Деление с остатком стр. 25. Числа от 1 до 100. Умножение и деление (продолжение). ч. 2 - страница 25.

Почему при делении на 4 остаток не может быть равен 4, 5?

При делении с остатком одного целого числа на другое (например, числа $a$ на число $b$), мы по сути находим, сколько полных раз делитель $b$ "помещается" в делимом $a$. Та часть числа $a$, которая осталась после этого, и называется остатком $r$.

Ключевое правило деления с остатком заключается в том, что остаток всегда должен быть меньше делителя. Математически это выражается формулой: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. При этом для остатка $r$ всегда должно выполняться строгое условие: $0 \le r < b$.

В заданном вопросе мы рассматриваем деление на 4. Значит, наш делитель $b = 4$. Согласно правилу, остаток $r$ при делении на 4 должен находиться в диапазоне $0 \le r < 4$. Таким образом, возможными остатками могут быть только числа 0, 1, 2 и 3. Любое другое число в качестве остатка быть не может.

Почему остаток не может быть равен 4?

Рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой при делении некого числа $a$ на 4 мы получили остаток 4. Тогда, согласно формуле, мы бы записали: $a = 4 \cdot q + 4$. Однако в этом выражении можно вынести общий множитель 4 за скобки: $a = 4 \cdot (q + 1)$. Эта запись показывает, что число $a$ на самом деле делится на 4 без остатка (нацело), а частное при этом равно $q+1$. Это означает, что наше предположение об остатке 4 было неверным; настоящий остаток в этом случае равен 0. Остаток не может быть равен делителю, потому что если он ему равен, это означает, что деление просто не завершено, и мы можем "взять" делитель еще один раз.

Ответ: Остаток не может быть равен 4, потому что он должен быть строго меньше делителя. Если в результате промежуточных вычислений остаток получается равным 4, это означает, что частное было найдено неверно (оно на 1 меньше, чем должно быть), а правильный остаток от деления в таком случае равен 0.

Почему остаток не может быть равен 5?

Теперь предположим, что при делении числа $a$ на 4 мы получили остаток 5. Запись бы выглядела так: $a = 4 \cdot q + 5$. Здесь остаток $r=5$ больше делителя $b=4$, что прямо нарушает основное правило деления с остатком ($0 \le r < b$). "Остаток" 5 сам можно разделить на 4 с остатком: $5 = 4 \cdot 1 + 1$. Подставим это в наше первоначальное выражение: $a = 4 \cdot q + (4 \cdot 1 + 1)$. Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 4: $a = (4 \cdot q + 4 \cdot 1) + 1$. Вынесем 4 за скобки: $a = 4 \cdot (q + 1) + 1$. Эта итоговая запись показывает, что при правильном делении числа $a$ на 4 мы получаем неполное частное $(q+1)$ и остаток 1. Таким образом, остаток 5 невозможен, так как он сам содержит в себе делитель.

Ответ: Остаток не может быть равен 5, потому что он не может быть больше или равен делителю. Если в результате вычислений получается остаток, который больше делителя, это означает, что деление выполнено не до конца, и из этого "остатка" можно выделить еще одно или несколько целых чисел, равных делителю.