Страница 53, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. На рисунке изображены фигуры, которые при наложении не совпадут. Докажи, что их площади равны.

Доказательство, что фигуры не совпадут при наложении

Чтобы фигуры совпали при наложении, они должны быть конгруэнтными, то есть иметь одинаковую форму и размеры. Это означает, что одну фигуру можно получить из другой путем поворота и/или сдвига. Проанализируем представленные фигуры:

1. Желтая фигура — это прямоугольник размером 4 на 1 условную единицу (квадрат).

2. Розовая фигура — Г-образная фигура (полимино). Её можно вписать в прямоугольник 3 на 2, но она не является прямоугольником.

3. Зеленая фигура — Т-образная фигура (полимино). Её также можно вписать в прямоугольник 3 на 2. В отличие от Г-образной, она имеет ось симметрии.

4. Голубая фигура — это квадрат размером 2 на 2 условные единицы.

Очевидно, что прямоугольник 4х1, квадрат 2х2, Г-образная и Т-образная фигуры имеют разную форму контура. Например, максимальная длина желтой фигуры — 4 клетки, а у голубой — 2 клетки, поэтому они не могут совпасть. Зеленая фигура симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр, а розовая фигура не имеет осей симметрии. Следовательно, они также не могут совпасть при наложении. Ни одна из этих четырех фигур не может быть совмещена с другой путем поворота или сдвига.

Ответ: Фигуры имеют разную форму, поэтому их невозможно совместить путем наложения.

Доказательство, что их площади равны

Площадь фигуры, составленной из одинаковых элементов, равна произведению площади одного элемента на их количество. В данном случае все четыре фигуры составлены из одинаковых маленьких квадратов. Примем площадь одного такого квадрата за единицу площади, обозначим ее $S_1$.

Посчитаем количество квадратов в каждой фигуре:

• В желтой фигуре: 4 квадрата. Ее площадь $S_{желтая} = 4 \cdot S_1$.

• В розовой фигуре: 4 квадрата. Ее площадь $S_{розовая} = 4 \cdot S_1$.

• В зеленой фигуре: 4 квадрата. Ее площадь $S_{зеленая} = 4 \cdot S_1$.

• В голубой фигуре: 4 квадрата. Ее площадь $S_{голубая} = 4 \cdot S_1$.

Так как все фигуры состоят из одинакового числа (четырех) одинаковых квадратов, их площади равны между собой: $S_{желтая} = S_{розовая} = S_{зеленая} = S_{голубая} = 4 \cdot S_1$.

Ответ: Каждая фигура состоит из 4 одинаковых квадратов, следовательно, их площади равны.

$7 \cdot 8$
Для решения этого примера необходимо выполнить умножение двух чисел.
$7 \cdot 8 = 56$
Ответ: 56

$49 : 7$
Для решения этого примера необходимо выполнить деление.
$49 : 7 = 7$
Ответ: 7

$6 \cdot 5 - 12$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1) Первое действие (умножение): $6 \cdot 5 = 30$
2) Второе действие (вычитание): $30 - 12 = 18$
Ответ: 18

$45 : (18 - 13)$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.
1) Первое действие (в скобках): $18 - 13 = 5$
2) Второе действие (деление): $45 : 5 = 9$
Ответ: 9

$6 \cdot 7$
Для решения этого примера необходимо выполнить умножение двух чисел.
$6 \cdot 7 = 42$
Ответ: 42

$63 : 9$
Для решения этого примера необходимо выполнить деление.
$63 : 9 = 7$
Ответ: 7

$52 - 3 \cdot 9$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1) Первое действие (умножение): $3 \cdot 9 = 27$
2) Второе действие (вычитание): $52 - 27 = 25$
Ответ: 25

$(27 + 27) : 9$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.
1) Первое действие (в скобках): $27 + 27 = 54$
2) Второе действие (деление): $54 : 9 = 6$
Ответ: 6

$7 \cdot 5$
Для решения этого примера необходимо выполнить умножение двух чисел.
$7 \cdot 5 = 35$
Ответ: 35

$42 : 6$
Для решения этого примера необходимо выполнить деление.
$42 : 6 = 7$
Ответ: 7

$8 \cdot 4 - 15$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1) Первое действие (умножение): $8 \cdot 4 = 32$
2) Второе действие (вычитание): $32 - 15 = 17$
Ответ: 17

$24 : (11 - 7)$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.
1) Первое действие (в скобках): $11 - 7 = 4$
2) Второе действие (деление): $24 : 4 = 6$
Ответ: 6

3. 1) Запиши только те числа от 7 до 63, которые делятся на 7 без остатка.

2) Запиши все числа от 24 до 42. Подчеркни те, которые делятся на 6 без остатка.

1) Чтобы найти числа от 7 до 63, которые делятся на 7 без остатка, нужно найти все кратные числа 7 в этом диапазоне. Для этого будем последовательно умножать число 7 на натуральные числа, начиная с 1, пока результат не превысит 63.

$7 \times 1 = 7$
$7 \times 2 = 14$
$7 \times 3 = 21$
$7 \times 4 = 28$
$7 \times 5 = 35$
$7 \times 6 = 42$
$7 \times 7 = 49$
$7 \times 8 = 56$
$7 \times 9 = 63$

Следующее число, кратное 7, это $7 \times 10 = 70$, что больше 63, поэтому оно не входит в наш диапазон. Таким образом, мы нашли все искомые числа.

Ответ: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63.

2) Сначала необходимо выписать все целые числа в диапазоне от 24 до 42 включительно.

24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42.

Теперь из этого ряда чисел нужно найти и подчеркнуть те, которые делятся на 6 без остатка. Это числа, которые являются кратными 6.

$24 : 6 = 4$ (делится без остатка)
$30 : 6 = 5$ (делится без остатка)
$36 : 6 = 6$ (делится без остатка)
$42 : 6 = 7$ (делится без остатка)

Подчеркиваем найденные числа в исходном ряду.

Ответ: 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42.

4. От доски длиной 8 м отпилили часть длиной 2 м. Во сколько раз больше оставшаяся часть доски, чем отпиленная?

Для решения задачи выполним два действия.

1. Найдём длину оставшейся части доски.
Чтобы найти длину оставшейся части, нужно из первоначальной длины доски вычесть длину отпиленной части.

$8 \text{ м} - 2 \text{ м} = 6 \text{ м}$

Длина оставшейся части доски равна 6 метрам.

2. Узнаем, во сколько раз оставшаяся часть доски больше отпиленной.
Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо большую величину разделить на меньшую. В нашем случае нужно разделить длину оставшейся части на длину отпиленной.

$6 \text{ м} \div 2 \text{ м} = 3$

Ответ: оставшаяся часть доски в 3 раза больше, чем отпиленная.

5. Реши уравнения, подбирая значения х.

$x \cdot 7 = 42$

В данном уравнении $x$ — это неизвестный множитель. Задание предлагает найти $x$ методом подбора. Нам нужно найти такое число, которое при умножении на 7 даст в результате 42. Вспомним таблицу умножения на 7: мы знаем, что $6 \cdot 7 = 42$. Следовательно, искомое значение $x=6$.

Также можно решить уравнение, используя правило: чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (42) разделить на известный множитель (7).

$x = 42 : 7$

$x = 6$

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$6 \cdot 7 = 42$

$42 = 42$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x=6$.

$36 : x = 4$

В этом уравнении $x$ — это неизвестный делитель. Методом подбора найдем такое число, на которое нужно разделить 36, чтобы получилось 4. Это то же самое, что найти число, которое при умножении на 4 даст 36. Из таблицы умножения мы знаем, что $4 \cdot 9 = 36$. Следовательно, $x=9$.

Для решения можно использовать правило: чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (36) разделить на частное (4).

$x = 36 : 4$

$x = 9$

Проверим полученный результат:

$36 : 9 = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, решение найдено правильно.

Ответ: $x=9$.

$9 \cdot x = 45$

Здесь $x$ — неизвестный множитель. Подберем число, которое при умножении на 9 даст 45. Вспоминая таблицу умножения на 9, находим, что $9 \cdot 5 = 45$. Таким образом, $x=5$.

Формально, чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (45) разделить на известный множитель (9).

$x = 45 : 9$

$x = 5$

Сделаем проверку:

$9 \cdot 5 = 45$

$45 = 45$

Равенство является верным.

Ответ: $x=5$.

$x : 6 = 6$

В последнем уравнении $x$ — это неизвестное делимое. Подберем такое число, которое при делении на 6 дает в результате 6. Для этого нужно частное (6) умножить на делитель (6). Получаем $6 \cdot 6 = 36$. Значит, $x=36$.

Правило гласит: чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x = 6 \cdot 6$

$x = 36$

Проверим правильность решения:

$36 : 6 = 6$

$6 = 6$

Равенство верное, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x=36$.

КАКОЙ ПРЕДМЕТ ЛИШНИЙ?

В этой задаче может быть несколько правильных ответов, в зависимости от того, какой признак считать основным для классификации. Ниже представлены возможные варианты решения.

Мяч можно считать лишним, потому что это единственный предмет круглой формы, у которого нет плоских граней, рёбер или углов. Куб (1), угольник (3) и коробка чая (4) имеют плоские поверхности, прямые линии и углы. Мяч — это единственный предмет, который может легко катиться.

Ответ: Мяч (2).

Угольник является лишним, так как это единственный плоский, или двумерный ($2D$), объект. Все остальные предметы — куб (1), мяч (2) и коробка чая (4) — являются объёмными, или трёхмерными ($3D$), телами. Также угольник — это чертёжный инструмент, в то время как остальные предметы можно отнести к другим категориям (игрушки, продукты питания).

Ответ: Угольник (3).

Коробку чая можно назвать лишней, потому что это единственный съедобный предмет (продукт питания). Все остальные предметы — куб (1), мяч (2) и угольник (3) — несъедобны. Они относятся к категориям игрушек или канцелярских принадлежностей. Это, вероятно, самый сильный отличительный признак.

Ответ: Коробка чая (4).

Узнай, площадь какой фигуры больше.

Чтобы узнать, площадь какой фигуры больше, нужно найти площадь каждой фигуры. Площадь фигуры на клетчатой бумаге можно найти, посчитав количество полных клеток, которые она занимает. Примем площадь одной клетки за 1 квадратную единицу (кв. ед.).

Посчитаем количество клеток внутри зеленого контура. Для удобства будем считать клетки в каждом горизонтальном ряду, начиная с самого нижнего:

• В 1-м (нижнем) ряду: 5 клеток.
• Во 2-м ряду: 1 клетка.
• В 3-м ряду: 2 клетки.
• В 4-м ряду: 1 клетка.
• В 5-м ряду: 1 клетка.
• В 6-м ряду: 1 клетка.
• В 7-м (верхнем) ряду: 1 клетка.

Теперь сложим количество клеток во всех рядах, чтобы найти общую площадь зеленой фигуры, которую обозначим как $S_{зеленая}$:

$S_{зеленая} = 5 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$ кв. ед.

Аналогично посчитаем количество клеток внутри розового контура по рядам, начиная снизу:

• В 1-м (нижнем) ряду: 2 клетки.
• Во 2-м ряду: 2 клетки.
• В 3-м ряду: 4 клетки.
• В 4-м ряду: 1 клетка.
• В 5-м ряду: 3 клетки.
• В 6-м (верхнем) ряду: 2 клетки.

Сложим количество клеток во всех рядах, чтобы найти общую площадь розовой фигуры, которую обозначим как $S_{розовая}$:

$S_{розовая} = 2 + 2 + 4 + 1 + 3 + 2 = 14$ кв. ед.

Мы получили следующие значения площадей:

• Площадь зеленой фигуры: $S_{зеленая} = 12$ кв. ед.
• Площадь розовой фигуры: $S_{розовая} = 14$ кв. ед.

Сравним эти значения: $14 > 12$.

Следовательно, площадь розовой фигуры больше площади зеленой фигуры.

Ответ: Площадь розовой фигуры больше.

1. Какие известные тебе единицы длины удобно использовать при измерении толщины спички, длины карандаша, ширины окна, длины коридора?

Для измерения больших расстояний используют более крупную, чем метр, единицу длины — километр.

Для ответа на этот вопрос нужно подобрать наиболее подходящую единицу измерения для каждого объекта, исходя из его предполагаемого размера. Мы будем использовать следующие единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм) и метр (м).

Вспомним их соотношения:

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см} = 1000 \text{ мм}$

Толщина спички: Спичка — очень тонкий предмет. Ее толщина составляет всего несколько миллиметров (около $2 \text{ мм}$). Измерять ее в сантиметрах было бы неудобно, так как получилось бы дробное число ($0,2 \text{ см}$). Поэтому для измерения толщины спички удобнее всего использовать миллиметры.
Ответ: миллиметр (мм).

Длина карандаша: Длина нового карандаша обычно составляет от $15$ до $20$ сантиметров. Эта величина легко измеряется линейкой. Использовать метры неудобно ($0,15 - 0,2 \text{ м}$), а миллиметры дадут слишком большое число ($150 - 200 \text{ мм}$). Таким образом, наиболее подходящая единица — сантиметр.
Ответ: сантиметр (см).

Ширина окна: Ширина окна обычно составляет один или несколько метров. Например, $1 \text{ м } 20 \text{ см}$. Для таких измерений удобно использовать метры, а для большей точности — комбинацию метров и сантиметров, или просто сантиметры ($120 \text{ см}$). Поэтому обе единицы, метр и сантиметр, подходят для этой задачи.
Ответ: метр (м) или сантиметр (см).

Длина коридора: Коридоры в зданиях, как правило, имеют длину в несколько метров. Измерять их в сантиметрах или, тем более, в миллиметрах привело бы к очень большим числам, что неудобно для восприятия и расчетов. Следовательно, для измерения длины коридора лучше всего подходит метр.
Ответ: метр (м).

2. Длина шага взрослого мужчины около 1 м. Сколько примерно шагов он должен сделать, чтобы пройти 1 км?

Для того чтобы определить количество шагов, необходимо сначала убедиться, что все величины выражены в одинаковых единицах измерения. В задаче дано расстояние в километрах (км) и длина шага в метрах (м). Переведем километры в метры.

Мы знаем, что в 1 километре 1000 метров:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Теперь, когда у нас есть общее расстояние в метрах (1000 м) и длина одного шага в метрах (1 м), мы можем найти количество шагов. Для этого нужно разделить общее расстояние на длину одного шага.

Количество шагов = $\frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Длина одного шага}}$

Подставляем наши значения в формулу:

Количество шагов = $\frac{1000 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 1000$ шагов

Ответ: Чтобы пройти 1 км, взрослый мужчина должен сделать примерно 1000 шагов.

3. Определи на глаз длину отрезков АВ, CD, КМ. Для проверки измерь их длину в миллиметрах.

Данная задача состоит из двух частей: сначала нужно оценить длину отрезков на глаз, а затем измерить их точно с помощью линейки. Результаты измерений могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения на экране, но соотношение длин отрезков останется тем же.

AB

При визуальной оценке отрезок AB кажется самым коротким. Можно предположить его длину около 2-3 сантиметров.
Для проверки возьмем линейку и измерим его длину в миллиметрах. Приложив линейку нулевой отметкой к точке A, мы увидим, что точка B находится на отметке 25 мм.
В сантиметрах это $2$ см $5$ мм, или $2.5$ см.
Ответ: Длина отрезка AB равна 25 мм.

CD

На глаз отрезок CD выглядит самым длинным из трех. Его предполагаемая длина может быть около 6-7 сантиметров.
Проведем точное измерение с помощью линейки. Совместив начало отрезка (точку C) с нулем на линейке, определим положение точки D. Измерение показывает, что длина отрезка CD составляет 66 мм.
Это равно $6$ см $6$ мм, или $6.6$ см.
Ответ: Длина отрезка CD равна 66 мм.

KM

Визуально отрезок KM длиннее отрезка AB, но короче отрезка CD. Можно предположить, что его длина составляет около 5 сантиметров.
Для проверки измерим отрезок KM линейкой. Приложив линейку, мы определяем, что его точная длина равна 53 мм.
Эту длину можно записать как $5$ см $3$ мм, или $5.3$ см.
Ответ: Длина отрезка KM равна 53 мм.

4. 1) Прочитай таблицу единиц длины. Запиши и запомни её.

2) Используя эту таблицу, узнай, сколько миллиметров в 1 дм; сколько сантиметров в 1 м.

3) Во сколько раз 1 м больше, чем 1 мм?

1)

Таблица единиц длины:
$1 \text{ километр (км)} = 1000 \text{ метров (м)}$
$1 \text{ метр (м)} = 10 \text{ дециметрам (дм)}$
$1 \text{ дециметр (дм)} = 10 \text{ сантиметрам (см)}$
$1 \text{ сантиметр (см)} = 10 \text{ миллиметрам (мм)}$

2)

Чтобы выполнить это задание, воспользуемся соотношениями из таблицы.

Сколько миллиметров в 1 дм?
Из таблицы мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Для того чтобы перевести дециметры в миллиметры, нужно сначала перевести дециметры в сантиметры, а затем полученное значение — в миллиметры.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.

Сколько сантиметров в 1 м?
Из таблицы мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Аналогично, переводим метры в дециметры, а затем в сантиметры.
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$.

Ответ: в 1 дм содержится 100 мм; в 1 м содержится 100 см.

3)

Чтобы узнать, во сколько раз 1 метр больше, чем 1 миллиметр, необходимо перевести метры в миллиметры и разделить большее значение на меньшее.

Используем последовательный перевод единиц:
1. Переводим метры в сантиметры (из задания 2 мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
2. Переводим сантиметры в миллиметры (из таблицы мы знаем, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Выполним вычисление:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 100 \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.

Теперь найдём, во сколько раз 1000 мм больше, чем 1 мм:
$1000 \text{ мм} \div 1 \text{ мм} = 1000$.

Ответ: 1 м больше, чем 1 мм, в 1000 раз.

НАЗОВИ КАЖДУЮ ФИГУРУ:

1. Эта желтая фигура является плоской (двумерной) геометрической фигурой. У нее четыре стороны и четыре прямых угла, каждый из которых равен $90^\circ$. Противоположные стороны этой фигуры параллельны и равны между собой. Так как мы видим, что ее длина больше ширины, то есть смежные стороны не равны, эта фигура называется прямоугольником.
Ответ: прямоугольник.

2. Эта красная фигура является объёмным (трехмерным) геометрическим телом. Использование светотени (блик в центре и затемнение по краям) показывает, что фигура имеет объём. Это тело, образованное вращением полукруга вокруг его диаметра. Все точки на поверхности этой фигуры находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Такое геометрическое тело называется шаром. Его плоской проекцией является круг.
Ответ: шар.

3. Эта синяя фигура — объёмное геометрическое тело, которое относится к классу правильных многогранников. Она ограничена шестью одинаковыми квадратными гранями. Также у фигуры 12 рёбер равной длины и 8 вершин, в каждой из которых сходятся три ребра под прямым углом друг к другу. Эта фигура называется кубом.
Ответ: куб.

4. Эта зеленая фигура — плоская геометрическая фигура. Как и прямоугольник, она имеет четыре стороны и четыре прямых угла ($90^\circ$). Однако, в отличие от прямоугольника под номером 1, у этой фигуры все четыре стороны равны по длине. Такая фигура является частным случаем прямоугольника и ромба и называется квадратом.
Ответ: квадрат.