Номер 10, страница 7, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Часть 2. Урок 3. Умножение на однозначное число - номер 10, страница 7.

Условие 2024.

10* «Волшебное число»

Однажды Юра сказал ребятам:
— Я знаю волшебное число. Это число 1089. Оно всегда будет получаться, если выполнить действия по следующему алгоритму:

Придумай трёхзначное число, у которого число сотен больше числа единиц.

752

Вычти из него число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке (если в ответе получится двузначное число, то в разряде сотен поставь 0).

$ \begin{array}{c} \quad \small{\cdot} \quad \small{\cdot} \\ \quad 752 \\ - \quad 257 \\ \hline \quad 495 \end{array} $

К полученной разности прибавь число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке.

$ \begin{array}{c} \quad \quad \small{1} \\ \quad 495 \\ + \quad 594 \\ \hline \quad 1089 \end{array} $

Ребята выполнили алгоритм для числа 752. В ответе у них действительно получилось 1089. Придумай свои числа и проверь, прав ли Юра?

Решение 2 (2024).

Чтобы проверить, прав ли Юра, выполним предложенный им алгоритм для нескольких придуманных нами трёхзначных чисел, у которых цифра в разряде сотен больше цифры в разряде единиц. После этого мы докажем, почему этот фокус всегда работает.

Пример 1: число 832

1. Выбираем число 832. У него цифра сотен (8) больше цифры единиц (2). Условие $8 > 2$ выполняется.

2. Вычитаем из него число, записанное в обратном порядке (238):

$832 - 238 = 594$

3. К полученной разности (594) прибавляем её же, но записанную в обратном порядке (495):

$594 + 495 = 1089$

В первом примере действительно получилось 1089.

Пример 2: число 564

1. Выбираем число 564. Цифра сотен (5) больше цифры единиц (4). Условие $5 > 4$ выполняется.

2. Вычитаем из него обратное число (465):

$564 - 465 = 99$

Согласно правилу в задании, если в ответе получается двузначное число, то в разряде сотен нужно поставить 0. Таким образом, получаем число 099.

3. К полученной разности (099) прибавляем её же, но в обратном порядке (990):

$99 + 990 = 1089$

Во втором примере также получилось 1089.

Примеры показывают, что Юра, скорее всего, прав. Чтобы убедиться в этом окончательно, докажем это утверждение в общем виде.

Объяснение закономерности

1. Возьмём любое трёхзначное число, у которого цифра сотен $a$ больше цифры единиц $c$. В виде разрядных слагаемых оно записывается как $100a + 10b + c$.

2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это $100c + 10b + a$. Вычтем второе из первого:

$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a - a + 10b - 10b + c - 100c = 99a - 99c = 99 \times (a-c)$.

Результат вычитания — это всегда число, кратное 99. Все такие числа (99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891) обладают свойством: их средняя цифра всегда 9, а сумма первой и последней цифры тоже всегда равна 9. Например, для числа 396: $3+6=9$. Для числа 099: $0+9=9$.

3. Обозначим цифры полученной разности как $x, y, z$. Мы знаем, что $y=9$ и $x+z=9$. Теперь по алгоритму к этому числу ($100x + 10y + z$) нужно прибавить его "перевёртыш" ($100z + 10y + x$).

Сумма будет равна: $(100x + 10y + z) + (100z + 10y + x) = 101x + 101z + 20y = 101(x+z) + 20y$.

Так как мы установили, что $x+z=9$ и $y=9$, подставим эти значения в формулу:

$101 \times 9 + 20 \times 9 = 909 + 180 = 1089$.

Это доказывает, что результат не зависит от изначально выбранного числа (если оно удовлетворяет условию) и всегда будет равен 1089.

Таким образом, проверка на примерах и математическое доказательство подтверждают, что Юра абсолютно прав. Предложенный им алгоритм для любого подходящего трёхзначного числа всегда приводит к "волшебному числу" 1089.

Ответ: Да, Юра прав. При выполнении всех действий по указанному алгоритму для любого трёхзначного числа, у которого цифра сотен больше цифры единиц, всегда будет получаться число 1089.

Условие 2020-2022.

10* «Волшебное число»

Однажды Юра сказал ребятам:
— Я знаю волшебное число. Это число 1089. Оно всегда будет получаться, если выполнить действия по следующему алгоритму:

Придумай трёхзначное число, у которого число сотен больше числа единиц.

752

Вычти из него число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке (если в ответе получится двузначное число, то в разряде сотен поставь 0).

$\begin{array}{r} \cdot \cdot \\ 752 \\ - 257 \\ \hline 495 \end{array}$

К полученной разности прибавь число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке.

$\begin{array}{r} 1 \\ 495 \\ + 594 \\ \hline 1089 \end{array}$

Ребята выполнили алгоритм для числа 752. В ответе у них действительно получилось 1089. Придумай свои числа и проверь, прав ли Юра?

Решение 2020-2022.