Номер 10, страница 77, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

10. Подумай и ответь.

Четверо ребят при входе в театр кошек Ю. Куклачева отдали свои шапки, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шапку?

Эта задача является классической задачей из комбинаторики, известной как "задача о беспорядках" или о нахождении числа "субфакториалов". Нам нужно найти количество способов, которыми можно переставить предметы так, чтобы ни один из них не оказался на своем первоначальном месте.

Пусть у нас есть четверо ребят (Р1, Р2, Р3, Р4) и их шапки (Ш1, Ш2, Ш3, Ш4). Мы ищем количество вариантов, при которых ребенок Р1 не получит шапку Ш1, Р2 не получит Ш2, и так далее.

Решим задачу методом перебора, чтобы наглядно показать логику.

Шаг 1: Выбор для первого ребенка (Р1)

У первого ребенка есть 3 варианта выбора чужой шапки: он может взять Ш2, Ш3 или Ш4.

Шаг 2: Анализ одного из случаев

Допустим, Р1 взял шапку второго ребенка (Ш2). Теперь нам нужно распределить оставшиеся шапки (Ш1, Ш3, Ш4) между остальными ребятами (Р2, Р3, Р4), соблюдая условие "каждый получает чужую".

Итак, имеем:

- Ребята: Р2, Р3, Р4

- Шапки: Ш1, Ш3, Ш4

- Условия: Р2 не может получить Ш2 (уже занята), Р3 не может получить Ш3, Р4 не может получить Ш4.

Рассмотрим, какие шапки может взять Р2 (ему доступны Ш1, Ш3, Ш4):

1. Р2 берет Ш1. Тогда для Р3 и Р4 остаются шапки Ш3 и Ш4. Чтобы они не получили свои, им нужно обменяться: Р3 берет Ш4, а Р4 берет Ш3. Это первый вариант: (Р1→Ш2, Р2→Ш1, Р3→Ш4, Р4→Ш3).

2. Р2 берет Ш3. Тогда для Р3 и Р4 остаются шапки Ш1 и Ш4. Р3 не может взять свою Ш3 (ее взял Р2). Р4 не может взять свою Ш4. Значит, Р3 должен взять Ш4, а Р4 – оставшуюся Ш1. Это второй вариант: (Р1→Ш2, Р2→Ш3, Р3→Ш4, Р4→Ш1).

3. Р2 берет Ш4. Тогда для Р3 и Р4 остаются шапки Ш1 и Ш3. Р3 не может взять свою Ш3, поэтому он берет Ш1. Р4 забирает оставшуюся Ш3. Это третий вариант: (Р1→Ш2, Р2→Ш4, Р3→Ш1, Р4→Ш3).

Получается, если Р1 взял шапку Ш2, существует 3 способа распределить остальные шапки.

Шаг 3: Подсчет общего количества вариантов

Ситуация абсолютно симметрична. Если бы Р1 вначале взял Ш3, для остальных ребят также было бы 3 варианта. Если бы Р1 взял Ш4 – снова 3 варианта.

У Р1 было 3 выбора, и каждый из них привел к 3 итоговым комбинациям.

Общее число вариантов равно $3 \times 3 = 9$.

Альтернативное решение (через формулу)

Эту задачу также можно решить с помощью принципа включений-исключений. Общее число всех возможных перестановок шапок равно $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.

Количество вариантов, когда никто не получает свою шапку (число беспорядков $D_n$ для $n=4$), вычисляется так:

$D_4 = 4! \times (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 12 - 4 + 1 = 9$.

Ответ: 9