Номер 9, страница 64, часть 4 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

9. Рассмотри разные варианты расположения прудов. Сделай рисунки и объясни свои решения.

В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путём.

Задача состоит в том, чтобы соединить 4 пруда сетью дорожек с минимальной общей длиной. Оптимальная схема дорожек зависит от того, как расположены пруды относительно друг друга. Рассмотрим несколько разных вариантов их расположения.

Допустим, 4 пруда находятся в вершинах квадрата со стороной 100 метров.

Есть несколько способов проложить дорожки:

1. Последовательное соединение (путь А на рисунке). Можно соединить пруды вдоль трех сторон квадрата. Например, дорожками Пруд 1 → Пруд 2, Пруд 2 → Пруд 3 и Пруд 3 → Пруд 4. Общая длина дорожек составит $100 + 100 + 100 = 300$ метров.

2. Соединение через центр (путь Б на рисунке). Можно создать в центре общую площадку и проложить дорожки от каждого пруда к ней. Длина пути от угла квадрата до его центра равна половине диагонали. Диагональ квадрата равна $100 \times \sqrt{2} \approx 141.4$ м. Значит, одна дорожка до центра будет иметь длину $141.4 / 2 \approx 70.7$ м. Общая длина четырех таких дорожек составит $4 \times 70.7 \approx 283$ м.

Сравнивая два варианта, мы видим, что второй способ ($283$ м) экономичнее первого ($300$ м). Он позволяет создать более короткую общую сеть дорожек.

Ответ: Если пруды расположены по углам квадрата, выгоднее всего проложить дорожки от каждого пруда к общему центру.

Предположим, все 4 пруда вырыты вдоль одной прямой аллеи на равном расстоянии друг от друга, например, в 100 метрах.

В этом случае решение единственное и самое очевидное. Чтобы соединить все пруды кратчайшей сетью дорожек, нужно проложить их последовательно: от первого пруда ко второму, от второго к третьему и от третьего к четвертому.

Любая другая дорожка (например, от первого пруда сразу к третьему) будет избыточной и лишь увеличит общую длину. Таким образом, самая короткая и эффективная сеть дорожек — это прямая, соединяющая все пруды по очереди. Общая длина дорожек составит $100 + 100 + 100 = 300$ метров.

Ответ: Если пруды расположены в линию, кратчайший путь для их соединения — это дорожки, идущие последовательно от одного пруда к другому.

Рассмотрим ситуацию, когда пруды находятся в вершинах длинного и узкого прямоугольника. Например, его длина 200 метров, а ширина — 50 метров. Обозначим пруды П1, П2, П3, П4 по часовой стрелке.

Здесь, как и в случае с квадратом, соединять пруды с далеким центром невыгодно. Кратчайшую сеть дорожек можно построить, соединяя последовательно ближайшие пруды.

Например, можно проложить дорожку вдоль одной короткой стороны (П1-П4, 50 м), затем вдоль длинной стороны (П4-П3, 200 м) и, наконец, вдоль второй короткой стороны (П3-П2, 50 м).

Получится ломаная линия, которая соединяет все четыре пруда. Общая длина дорожек составит $50 + 200 + 50 = 300$ метров. Этот способ соединения прудов является одним из самых экономичных для такого расположения.

Ответ: Для прудов в форме вытянутого прямоугольника, один из кратчайших путей соединяет их последовательно вдоль трех сторон (короткая-длинная-короткая).

Представим, что три пруда образуют большой треугольник, а четвертый пруд расположен примерно в его центре.

В такой конфигурации центральный пруд (Пруд 4) является естественным узлом для всех дорожек. Самым логичным и коротким решением будет проложить три дорожки от центрального Пруда 4 к каждому из трех "внешних" прудов (Пруд 1, Пруд 2, Пруд 3).

Такая "звездообразная" сеть дорожек будет самой эффективной. Любой другой вариант, например, попытка соединить внешние пруды между собой по периметру, приведет к созданию более длинных путей. Чтобы добраться от Пруда 1 к Пруду 2, нужно будет идти через центр (Пруд 1 → Пруд 4 → Пруд 2), и этот путь будет кратчайшим.

Ответ: Если один из прудов расположен в центре относительно трех других, то кратчайшая сеть дорожек будет соединять центральный пруд с каждым из внешних.