Страница 120, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 На одной машине привезли 6 мешков моркови, а на другой — 10 таких же мешков. Масса мешков с морковью на первой машине на 140 кг меньше, чем масса мешков с морковью на второй машине. Найди массу моркови на каждой машине.

Для того чтобы решить задачу, нам нужно сначала найти разницу в количестве мешков, привезённых на двух машинах. Эта разница и создаёт разницу в массе 140 кг.

1. Найдём, на сколько больше мешков привезли на второй машине:
$10 - 6 = 4$ (мешка) — разница в количестве.

2. Теперь мы знаем, что 4 мешка моркови весят 140 кг. Найдём массу одного мешка:
$140 / 4 = 35$ (кг) — масса одного мешка моркови.

3. Зная массу одного мешка, вычислим общую массу моркови на первой машине:
$6 * 35 = 210$ (кг) — масса моркови на первой машине.

4. Аналогично вычислим общую массу моркови на второй машине:
$10 * 35 = 350$ (кг) — масса моркови на второй машине.

Ответ: масса моркови на первой машине — 210 кг, на второй машине — 350 кг.

2 В одном мотке 15 м кружев, а в другом 9 м. Первый моток на 258 р. дороже, чем второй. Сколько рублей стоит каждый моток кружев?

Для того чтобы найти стоимость каждого мотка, нам сначала нужно определить цену одного метра кружев. Мы знаем, что разница в длине кружев в мотках является причиной разницы в их стоимости.

1. Найдем разницу в длине кружев между первым и вторым мотком:

$15 \text{ м} - 9 \text{ м} = 6 \text{ м}$

2. Эта разница в 6 метров стоит 258 рублей. Теперь мы можем вычислить цену одного метра кружев, разделив разницу в стоимости на разницу в длине:

$258 \text{ р.} / 6 \text{ м} = 43 \text{ р./м}$

Таким образом, цена одного метра кружев составляет 43 рубля.

3. Теперь, зная цену за метр, найдем стоимость первого мотка, в котором 15 метров:

$15 \text{ м} * 43 \text{ р./м} = 645 \text{ р.}$

4. Наконец, найдем стоимость второго мотка, в котором 9 метров:

$9 \text{ м} * 43 \text{ р./м} = 387 \text{ р.}$

Для проверки можем найти разницу в стоимости мотков: $645 - 387 = 258$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый моток кружев стоит 645 рублей, а второй моток — 387 рублей.

3 Вырази в дециметрах, сантиметрах и миллиметрах.

$516 \text{ мм} = \Box \text{ дм } \Box \text{ см } \Box \text{ мм}$

$709 \text{ мм} = \Box \text{ дм } \Box \text{ см } \Box \text{ мм}$

$124 \text{ мм} = \Box \text{ дм } \Box \text{ см } \Box \text{ мм}$

$355 \text{ мм} = \Box \text{ дм } \Box \text{ см } \Box \text{ мм}$

Для решения этой задачи необходимо вспомнить соотношения между единицами длины: дециметром (дм), сантиметром (см) и миллиметром (мм).

Основные соотношения:

• $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
• $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
• $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \text{ мм/см} = 100 \text{ мм}$

Чтобы перевести миллиметры в дециметры, сантиметры и миллиметры, мы будем последовательно выделять целые части.

516 мм = ☐ дм ☐ см ☐ мм

Сначала выделим дециметры. В одном дециметре 100 мм. Посмотрим, сколько полных сотен в числе 516.

$516 \div 100 = 5$ (остаток $16$)

Это означает, что в 516 мм содержится 5 полных дециметров и еще 16 мм.

$516 \text{ мм} = 5 \text{ дм} \ 16 \text{ мм}$

Теперь в оставшихся 16 мм выделим сантиметры. В одном сантиметре 10 мм.

$16 \div 10 = 1$ (остаток $6$)

Значит, в 16 мм содержится 1 полный сантиметр и еще 6 мм.

Собираем все вместе: 5 дм, 1 см, 6 мм.

Ответ: 516 мм = 5 дм 1 см 6 мм

709 мм = ☐ дм ☐ см ☐ мм

Выделяем дециметры (сотни миллиметров) из 709 мм.

$709 \div 100 = 7$ (остаток $9$)

Получаем 7 полных дециметров и 9 мм в остатке.

$709 \text{ мм} = 7 \text{ дм} \ 9 \text{ мм}$

Теперь выделим сантиметры из оставшихся 9 мм. Так как 9 меньше 10, полных сантиметров в 9 мм нет.

$9 \div 10 = 0$ (остаток $9$)

Получаем 0 сантиметров и 9 мм.

Собираем все вместе: 7 дм, 0 см, 9 мм.

Ответ: 709 мм = 7 дм 0 см 9 мм

124 мм = ☐ дм ☐ см ☐ мм

Выделяем дециметры (сотни миллиметров) из 124 мм.

$124 \div 100 = 1$ (остаток $24$)

Получаем 1 полный дециметр и 24 мм в остатке.

$124 \text{ мм} = 1 \text{ дм} \ 24 \text{ мм}$

Теперь выделим сантиметры из оставшихся 24 мм.

$24 \div 10 = 2$ (остаток $4$)

Получаем 2 полных сантиметра и 4 мм в остатке.

Собираем все вместе: 1 дм, 2 см, 4 мм.

Ответ: 124 мм = 1 дм 2 см 4 мм

355 мм = ☐ дм ☐ см ☐ мм

Выделяем дециметры (сотни миллиметров) из 355 мм.

$355 \div 100 = 3$ (остаток $55$)

Получаем 3 полных дециметра и 55 мм в остатке.

$355 \text{ мм} = 3 \text{ дм} \ 55 \text{ мм}$

Теперь выделим сантиметры из оставшихся 55 мм.

$55 \div 10 = 5$ (остаток $5$)

Получаем 5 полных сантиметров и 5 мм в остатке.

Собираем все вместе: 3 дм, 5 см, 5 мм.

Ответ: 355 мм = 3 дм 5 см 5 мм

4 Назови и запиши числа, в которых:

1 сотня тысяч 7 десятков тысяч и 2 тысячи;

2 десятка тысяч 3 сотни и 8 единиц;

9 сотен тысяч 9 десятков и 9 единиц.

Для того чтобы записать число по его разрядному составу, нужно сложить значения каждого разряда. Если какой-то разряд не упомянут, значит на его месте стоит цифра 0.

1. 1 сотня тысяч 7 десятков тысяч и 2 тысячи
Это число состоит из следующих разрядных слагаемых:

• 1 сотня тысяч: $1 \times 100\;000 = 100\;000$
• 7 десятков тысяч: $7 \times 10\;000 = 70\;000$
• 2 тысячи: $2 \times 1\;000 = 2\;000$

Сложим эти значения: $100\;000 + 70\;000 + 2\;000 = 172\;000$.
В этом числе 172 единицы класса тысяч и 0 единиц класса единиц.
Число читается: сто семьдесят две тысячи.
Ответ: 172 000.

2. 2 десятка тысяч 3 сотни и 8 единиц
Это число состоит из следующих разрядных слагаемых:

• 2 десятка тысяч: $2 \times 10\;000 = 20\;000$
• 3 сотни: $3 \times 100 = 300$
• 8 единиц: $8 \times 1 = 8$

В разрядах единиц тысяч и десятков стоят нули, так как они не указаны в условии.
Сложим значения: $20\;000 + 300 + 8 = 20\;308$.
Число читается: двадцать тысяч триста восемь.
Ответ: 20 308.

3. 9 сотен тысяч 9 десятков и 9 единиц
Это число состоит из следующих разрядных слагаемых:

• 9 сотен тысяч: $9 \times 100\;000 = 900\;000$
• 9 десятков: $9 \times 10 = 90$
• 9 единиц: $9 \times 1 = 9$

В разрядах десятков тысяч, единиц тысяч и сотен стоят нули, так как они не указаны в условии.
Сложим значения: $900\;000 + 90 + 9 = 900\;099$.
Число читается: девятьсот тысяч девяносто девять.
Ответ: 900 099.

5 Выполни действия.

$148 \cdot 6 : 8$

$174 \cdot 4 : 6$

$196 : 7 \cdot 5$

$(436 - 358) \cdot 6 + 432 : 8$

$65 \cdot 8 + (873 - 278) : 7$

$97 \cdot 9 - (1000 - 325) : 9$

148 · 6 : 8
В данном выражении умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку, слева направо.
1) $148 \cdot 6 = 888$
2) $888 : 8 = 111$
Ответ: 111

174 · 4 : 6
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) $174 \cdot 4 = 696$
2) $696 : 6 = 116$
Ответ: 116

196 : 7 · 5
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) $196 : 7 = 28$
2) $28 \cdot 5 = 140$
Ответ: 140

(436 - 358) · 6 + 432 : 8
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение.
1) Выполняем вычитание в скобках:
$436 - 358 = 78$
2) Выполняем умножение:
$78 \cdot 6 = 468$
3) Выполняем деление:
$432 : 8 = 54$
4) Выполняем сложение:
$468 + 54 = 522$
Ответ: 522

65 · 8 + (873 - 278) : 7
Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце — сложение.
1) Выполняем вычитание в скобках:
$873 - 278 = 595$
2) Выполняем умножение:
$65 \cdot 8 = 520$
3) Выполняем деление:
$595 : 7 = 85$
4) Выполняем сложение:
$520 + 85 = 605$
Ответ: 605

97 · 9 - (1 000 - 325) : 9
Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце — вычитание.
1) Выполняем вычитание в скобках:
$1000 - 325 = 675$
2) Выполняем умножение:
$97 \cdot 9 = 873$
3) Выполняем деление:
$675 : 9 = 75$
4) Выполняем вычитание:
$873 - 75 = 798$
Ответ: 798

5 В бассейн проведены две трубы. Через первую трубу наливается 30 вёдер воды в минуту, а через вторую трубу вытекает 840 вёдер в час. Если открыть одновременно обе трубы, то бассейн наполнится через 12 ч. Найди вместимость бассейна.

Для решения этой задачи необходимо сначала привести все данные о скоростях к одной единице измерения. Поскольку время наполнения бассейна указано в часах, удобнее всего будет считать скорости в «вёдрах в час».

1. Определим скорость наполнения бассейна первой трубой в вёдрах в час.

По условию, первая труба наливает 30 вёдер в минуту. В одном часе 60 минут, поэтому, чтобы найти скорость в час, нужно умножить минутную скорость на 60:

$30 \text{ вёдер/минуту} \times 60 \text{ минут/час} = 1800 \text{ вёдер/час}$

2. Определим общую скорость наполнения бассейна при одновременной работе двух труб.

Первая труба наполняет бассейн со скоростью 1800 вёдер/час, а вторая одновременно сливает воду со скоростью 840 вёдер/час. Чтобы найти итоговую (чистую) скорость наполнения, нужно вычесть скорость слива из скорости налива:

$1800 \text{ вёдер/час} - 840 \text{ вёдер/час} = 960 \text{ вёдер/час}$

Таким образом, когда открыты обе трубы, бассейн наполняется со скоростью 960 вёдер в час.

3. Найдём вместимость бассейна.

Известно, что с общей скоростью 960 вёдер/час бассейн полностью наполняется за 12 часов. Чтобы найти вместимость бассейна, нужно умножить общую скорость наполнения на время:

$\text{Вместимость} = \text{Скорость} \times \text{Время}$

$960 \text{ вёдер/час} \times 12 \text{ часов} = 11520 \text{ вёдер}$

Ответ: 11520 вёдер.

6 Расставь скобки так, чтобы получились верные записи.

$625 \cdot 9 + 3 \cdot 38 = 285\,000$

$625 \cdot 9 + 3 \cdot 38 = 213\,864$

625 · 9 + 3 · 38 = 285 000

Чтобы получить верное равенство, необходимо расставить скобки для изменения стандартного порядка вычислений. Результат, 285 000, является крупным круглым числом. Этого можно достичь, если перемножить $625$ на число, которое даст в итоге много нулей. Проверим вариант с расстановкой скобок вокруг операции сложения.

Расставим скобки следующим образом: $625 \cdot (9 + 3) \cdot 38$.

Выполним действия по порядку:

1. Сначала выполним действие в скобках: $9 + 3 = 12$.
2. Затем умножим $625$ на результат первого действия: $625 \cdot 12 = 7500$.
3. Теперь умножим полученный результат на $38$: $7500 \cdot 38 = 285 000$.

Полученное равенство $285 000 = 285 000$ является верным.

Ответ: $625 \cdot (9 + 3) \cdot 38 = 285 000$.

625 · 9 + 3 · 38 = 213 864

Для второго выражения также необходимо найти правильное расположение скобок. Попробуем сгруппировать первые три числа.

Расставим скобки следующим образом: $(625 \cdot 9 + 3) \cdot 38$.

Выполним действия по порядку:

1. Первое действие в скобках — умножение: $625 \cdot 9 = 5625$.
2. Второе действие в скобках — сложение: $5625 + 3 = 5628$.
3. Последнее действие — умножение результата на $38$: $5628 \cdot 38 = 213 864$.

Полученное равенство $213 864 = 213 864$ является верным.

Ответ: $(625 \cdot 9 + 3) \cdot 38 = 213 864$.

7 Сумма длин двух сторон равнобедренного треугольника равна 65 см, а его периметр равен 100 см. Вычисли длины сторон этого треугольника. Рассмотри разные варианты.

Пусть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$. По условию, периметр равен 100 см, следовательно, $2a + b = 100$.

Сумма длин двух сторон равна 65 см. Поскольку треугольник равнобедренный, необходимо рассмотреть два возможных варианта.

Вариант 1

Предположим, что сумма длин двух равных боковых сторон равна 65 см. Тогда $a + a = 65$ см, или $2a = 65$ см.

Находим длину боковой стороны: $a = 65 \div 2 = 32,5$ см.

Теперь, используя формулу периметра, найдем длину основания $b$: $P = 2a + b$ $100 = 65 + b$ $b = 100 - 65 = 35$ см.

Получили стороны треугольника: 32,5 см, 32,5 см и 35 см. Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны): $32,5 + 32,5 > 35 \implies 65 > 35$ (верно). Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: стороны треугольника равны 32,5 см, 32,5 см и 35 см.

Вариант 2

Предположим, что сумма длин боковой стороны и основания равна 65 см. Тогда $a + b = 65$ см.

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} 2a + b = 100 \\ a + b = 65 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого: $(2a + b) - (a + b) = 100 - 65$ $a = 35$ см.

Теперь найдем длину основания $b$, подставив найденное значение $a$ во второе уравнение: $35 + b = 65$ $b = 65 - 35 = 30$ см.

Получили стороны треугольника: 35 см, 35 см и 30 см. Проверим неравенство треугольника: $35 + 35 > 30 \implies 70 > 30$ (верно). Следовательно, такой треугольник тоже существует.

Ответ: стороны треугольника равны 35 см, 35 см и 30 см.

8 Вычисли: $\frac{1}{3}$ от 102 м; $\frac{3}{8}$ от 3 кг; $\frac{6}{25}$ от 1 га.

$\frac{1}{3}$ от 102 м

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, чтобы найти $\frac{1}{3}$ от 102 метров, мы должны умножить 102 на $\frac{1}{3}$, что равносильно делению числа 102 на 3.

Выполним вычисление:

$102 \text{ м} \times \frac{1}{3} = \frac{102}{3} \text{ м} = 34 \text{ м}$

Ответ: 34 м.

$\frac{3}{8}$ от 3 кг

Чтобы найти $\frac{3}{8}$ от 3 кг, необходимо умножить 3 кг на дробь $\frac{3}{8}$. Для удобства вычислений можно перевести килограммы в граммы. В одном килограмме содержится 1000 граммов.

$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$

Теперь найдем $\frac{3}{8}$ от 3000 г. Для этого разделим 3000 на знаменатель 8 и полученный результат умножим на числитель 3.

$3000 \text{ г} \times \frac{3}{8} = \frac{3000 \times 3}{8} \text{ г} = \frac{9000}{8} \text{ г} = 1125 \text{ г}$

Результат можно также представить в килограммах и граммах:

$1125 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 125 \text{ г} = 1 \text{ кг} \ 125 \text{ г}$

Ответ: 1125 г (или 1 кг 125 г).

$\frac{6}{25}$ от 1 га

Чтобы найти $\frac{6}{25}$ от 1 гектара (га), целесообразно перевести гектары в более мелкие единицы площади, такие как ары (сотки) или квадратные метры (м²).

Известно, что $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$ и $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$.

Способ 1: вычисление в арах (а)

Найдем $\frac{6}{25}$ от 100 а. Для этого 100 умножим на дробь $\frac{6}{25}$.

$100 \text{ а} \times \frac{6}{25} = \frac{100 \times 6}{25} \text{ а} = 4 \times 6 \text{ а} = 24 \text{ а}$

Способ 2: вычисление в квадратных метрах (м²)

Найдем $\frac{6}{25}$ от 10 000 м². Для этого 10 000 умножим на дробь $\frac{6}{25}$.

$10000 \text{ м}^2 \times \frac{6}{25} = \frac{10000 \times 6}{25} \text{ м}^2 = 400 \times 6 \text{ м}^2 = 2400 \text{ м}^2$

Оба ответа верны и эквивалентны, так как $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$, и соответственно, $24 \text{ а} = 24 \times 100 \text{ м}^2 = 2400 \text{ м}^2$.

Ответ: 2400 м² (или 24 а).

9 На столе лежат две кучки конфет: в первой — 12 конфет, а во второй — 13. Два мальчика играют в такую игру: за ход разрешается либо съесть 2 конфеты из одной кучки, либо переложить 1 конфету из первой кучки во вторую. Проиграет тот, кто не сможет сделать хода. Попробуй доказать, что при данных условиях начинающий всегда проигрывает.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией игр, а именно анализом выигрышных и проигрышных позиций. Проигрышная позиция (П-позиция) — это такая позиция, из которой любой ход ведёт в выигрышную позицию. Выигрышная позиция (В-позиция) — та, из которой существует хотя бы один ход, ведущий в проигрышную. Тот, кто начинает свой ход в проигрышной позиции, проигрывает при безошибочной игре соперника. Нам нужно доказать, что начальная позиция является проигрышной.

Обозначим количество конфет в первой кучке как $n_1$, а во второй — как $n_2$. Изначально у нас позиция $(12, 13)$.

Доступные ходы:

1. Съесть 2 конфеты из первой кучки: $(n_1, n_2) \rightarrow (n_1-2, n_2)$. Возможно, если $n_1 \ge 2$.
2. Съесть 2 конфеты из второй кучки: $(n_1, n_2) \rightarrow (n_1, n_2-2)$. Возможно, если $n_2 \ge 2$.
3. Переложить 1 конфету из первой кучки во вторую: $(n_1, n_2) \rightarrow (n_1-1, n_2+1)$. Возможно, если $n_1 \ge 1$.

Игра заканчивается, когда игрок не может сделать ход. Это происходит, когда одновременно не выполняются условия для всех трех ходов, то есть когда $n_1 < 1$ и $n_2 < 2$. Это означает, что $n_1 = 0$ и $n_2$ может быть $0$ или $1$. Таким образом, конечные (проигрышные для того, кто в них оказался) позиции — это $(0, 0)$ и $(0, 1)$.

Рассмотрим, как меняется общее количество конфет $S = n_1 + n_2$ за один ход:

• Ход 1: $S \rightarrow (n_1-2) + n_2 = S-2$.
• Ход 2: $S \rightarrow n_1 + (n_2-2) = S-2$.
• Ход 3: $S \rightarrow (n_1-1) + (n_2+1) = S$.

В начальной позиции $S = 12 + 13 = 25$. Так как любой ход либо не меняет сумму, либо уменьшает её на 2, четность общего количества конфет не меняется. Сумма всегда будет оставаться нечетной. Это означает, что позиция $(0, 0)$, где сумма $0$ (четное число), недостижима. Следовательно, игра может закончиться только в позиции $(0, 1)$.

Теперь найдем инвариант, который позволит нам разделить все позиции на выигрышные и проигрышные. Рассмотрим разность количества конфет во второй и первой кучках по модулю 4: $d = n_2 - n_1 \pmod 4$.

Определим проигрышные и выигрышные позиции:

• Позиция $(n_1, n_2)$ является проигрышной (П-позицией), если $n_2 - n_1 \equiv 1 \pmod 4$.
• Позиция $(n_1, n_2)$ является выигрышной (В-позицией), если $n_2 - n_1 \equiv 3 \pmod 4$.

Проверим, что эта классификация работает:

1. Любой ход из П-позиции ведёт в В-позицию.
Пусть мы находимся в П-позиции, то есть $n_2 - n_1 = 4k + 1$ для некоторого целого $k$. Посмотрим, куда ведут ходы:

• Ход 1 (съесть из первой): новая разность $d' = n_2 - (n_1-2) = (n_2 - n_1) + 2 = (4k+1)+2 = 4k+3$. Позиция стала В.
• Ход 2 (съесть из второй): новая разность $d' = (n_2-2) - n_1 = (n_2 - n_1) - 2 = (4k+1)-2 = 4k-1 = 4(k-1)+3$. Позиция стала В.
• Ход 3 (переложить): новая разность $d' = (n_2+1) - (n_1-1) = (n_2 - n_1) + 2 = (4k+1)+2 = 4k+3$. Позиция стала В.

Действительно, любой возможный ход из П-позиции приводит в В-позицию.

2. Из любой В-позиции есть ход в П-позицию.
Пусть мы находимся в В-позиции, то есть $n_2 - n_1 = 4k + 3$ для некоторого целого $k$. Посмотрим, куда ведут ходы:

• Ход 1 (съесть из первой, если $n_1 \ge 2$): новая разность $d' = n_2 - (n_1-2) = (n_2 - n_1) + 2 = (4k+3)+2 = 4k+5 = 4(k+1)+1$. Позиция становится П.
• Ход 2 (съесть из второй, если $n_2 \ge 2$): новая разность $d' = (n_2-2) - n_1 = (n_2 - n_1) - 2 = (4k+3)-2 = 4k+1$. Позиция становится П.
• Ход 3 (переложить, если $n_1 \ge 1$): новая разность $d' = (n_2+1) - (n_1-1) = (n_2 - n_1) + 2 = (4k+3)+2 = 4k+5 = 4(k+1)+1$. Позиция становится П.

Из В-позиции любой доступный ход ведёт в П-позицию. Так как В-позиция не может быть конечной (конечная позиция $(0,1)$ является П-позицией, как мы увидим ниже), из нее всегда можно сделать ход.

Заключение:

Начальная позиция игры — $(12, 13)$.
Найдем разность: $n_2 - n_1 = 13 - 12 = 1$.
Сравним с 4: $1 \equiv 1 \pmod 4$.
Это означает, что начальная позиция является проигрышной (П-позицией).

Первый игрок вынужден сделать ход из П-позиции, после чего, как мы доказали, он попадёт в В-позицию. Второй игрок, получив В-позицию, всегда может сделать ход, который приведёт игру обратно в П-позицию. Игра будет продолжаться так: первый игрок всегда начинает свой ход в П-позиции, а второй — в В-позиции.

Игра заканчивается в единственно возможной конечной позиции $(0, 1)$. Для нее разность $n_2-n_1=1-0=1$, то есть $1 \equiv 1 \pmod 4$. Конечная позиция является П-позицией. Так как первый игрок всегда оказывается в П-позициях, именно он в итоге окажется в конечной позиции $(0,1)$, не сможет сделать ход и проиграет.

Ответ: Начальная позиция $(12, 13)$ является проигрышной, так как разность $13-12=1$ сравнима с 1 по модулю 4. Любой ход из этой позиции приведет к позиции, где разность сравнима с 3 по модулю 4 (выигрышной). Второй игрок всегда может своим ходом вернуть разность к сравнимой с 1 по модулю 4 (проигрышной для следующего игрока). Поскольку игра конечна и заканчивается в проигрышной позиции $(0,1)$, начинающий игрок, всегда попадающий в проигрышные позиции, в итоге проигрывает.

1. Сколько часов в 2 сут.? в 3 сут.? в 10 сут.? Сколько минут в 3 ч? в 4 ч? в 10 ч? Сколько секунд в 2 мин? в 3 мин? в 5 мин?

Сколько часов в 2 сут.? в 3 сут.? в 10 сут.?

Чтобы перевести сутки в часы, необходимо знать, что в одних сутках 24 часа. Для расчета нужно количество суток умножить на 24.

в 2 сут.?:
$2 \text{ сут.} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут.}} = 48 \text{ ч.}$
Ответ: 48 часов.

в 3 сут.?:
$3 \text{ сут.} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут.}} = 72 \text{ ч.}$
Ответ: 72 часа.

в 10 сут.?:
$10 \text{ сут.} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{сут.}} = 240 \text{ ч.}$
Ответ: 240 часов.

Сколько минут в 3 ч? в 4 ч? в 10 ч?

Чтобы перевести часы в минуты, необходимо знать, что в одном часе 60 минут. Для расчета нужно количество часов умножить на 60.

в 3 ч?:
$3 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 180 \text{ мин.}$
Ответ: 180 минут.

в 4 ч?:
$4 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 240 \text{ мин.}$
Ответ: 240 минут.

в 10 ч?:
$10 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 600 \text{ мин.}$
Ответ: 600 минут.

Сколько секунд в 2 мин? в 3 мин? в 5 мин?

Чтобы перевести минуты в секунды, необходимо знать, что в одной минуте 60 секунд. Для расчета нужно количество минут умножить на 60.

в 2 мин?:
$2 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 120 \text{ с.}$
Ответ: 120 секунд.

в 3 мин?:
$3 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 180 \text{ с.}$
Ответ: 180 секунд.

в 5 мин?:
$5 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 300 \text{ с.}$
Ответ: 300 секунд.

2. Который сейчас час, если прошедшая часть суток на 2 ч 30 мин больше оставшейся?

Для решения задачи составим уравнение. Сутки состоят из прошедшей части и оставшейся части. В сутках 24 часа.

Пусть $x$ – это оставшаяся часть суток.Согласно условию, прошедшая часть суток на 2 часа 30 минут больше оставшейся. Значит, прошедшая часть суток равна $x + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.

Сумма прошедшей и оставшейся частей суток равна 24 часам:

$(x + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин}) + x = 24 \text{ ч}$

Упростим уравнение:

$2x + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 24 \text{ ч}$

$2x = 24 \text{ ч} - 2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

$2x = 21 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

Теперь найдем $x$, разделив 21 час 30 минут на 2. Для удобства можно перевести в минуты:

$21 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 21 \times 60 + 30 = 1260 + 30 = 1290 \text{ минут}$.

$2x = 1290 \text{ мин}$

$x = 1290 \div 2 = 645 \text{ мин}$

Итак, оставшаяся часть суток ($x$) составляет 645 минут.Прошедшая часть суток, которая и показывает текущее время, равна:

$645 \text{ мин} + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 645 \text{ мин} + (2 \times 60 + 30) \text{ мин} = 645 + 150 = 795 \text{ мин}$.

Переведем 795 минут в часы и минуты, чтобы узнать который сейчас час:

$795 \div 60 = 13$ и остаток $15$.

Это означает, что прошло 13 часов и 15 минут.

Ответ: 13 часов 15 минут.

3. Сколько полных недель было в феврале этого года?

Чтобы определить количество полных недель в феврале этого года, нужно выполнить несколько шагов:

1. Определить количество дней в феврале этого года.
Текущий год — 2024. Чтобы узнать, сколько дней в феврале, нужно проверить, является ли год високосным. Год является високосным, если его номер делится на 4 без остатка (за исключением тех, что делятся на 100, но не на 400).
Проверим 2024 год:
$2024 \div 4 = 506$
Число 2024 делится на 4 без остатка, следовательно, 2024 год — високосный. В феврале високосного года 29 дней.

2. Рассчитать количество полных недель.
В одной полной неделе 7 дней. Чтобы найти количество полных недель в 29 днях, нужно разделить общее количество дней на 7 и взять целую часть от результата.
$29 \div 7 = 4$ (остаток 1)
Это означает, что в феврале 2024 года было 4 полные недели и еще 1 день.

Таким образом, в феврале этого года было 4 полные недели.
Ответ: 4

4. Какие месяцы составляют первый квартал года? второй квартал? третий квартал? четвёртый квартал? В каком квартале меньше всего дней?

В году 12 месяцев. Год принято делить на четыре равных периода, которые называются кварталами. Каждый квартал состоит из трёх месяцев, так как $12 \div 4 = 3$.

Какие месяцы составляют первый квартал года?
Первый квартал — это первые три месяца года. К нему относятся январь, февраль и март.
Ответ: январь, февраль, март.

второй квартал?
Второй квартал — это следующие три месяца после первого. К нему относятся апрель, май и июнь.
Ответ: апрель, май, июнь.

третий квартал?
Третий квартал включает в себя месяцы с июля по сентябрь. К нему относятся июль, август и сентябрь.
Ответ: июль, август, сентябрь.

четвёртый квартал?
Четвёртый квартал — это последние три месяца года. К нему относятся октябрь, ноябрь и декабрь.
Ответ: октябрь, ноябрь, декабрь.

В каком квартале меньше всего дней?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно посчитать количество дней в каждом квартале.
• Первый квартал (январь, февраль, март): количество дней равно $31 + 28 + 31 = 90$ в обычном году и $31 + 29 + 31 = 91$ в високосном году.
• Второй квартал (апрель, май, июнь): количество дней равно $30 + 31 + 30 = 91$.
• Третий квартал (июль, август, сентябрь): количество дней равно $31 + 31 + 30 = 92$.
• Четвёртый квартал (октябрь, ноябрь, декабрь): количество дней равно $31 + 30 + 31 = 92$.
Сравнив полученные результаты, видим, что наименьшее количество дней всегда в первом квартале, так как в нём находится самый короткий месяц — февраль.
Ответ: в первом квартале.

5. Сколько полных недель в одном году?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать количество дней в году и количество дней в неделе. В одной неделе содержится 7 дней. Количество дней в году может быть разным.

В обычном году

Обычный, или невисокосный, год состоит из 365 дней. Чтобы найти количество полных недель, разделим общее количество дней в году на количество дней в неделе:

$365 \div 7$

При делении 365 на 7 получаем 52 и 1 в остатке ($365 = 52 \times 7 + 1$). Это значит, что в обычном году 52 полные недели и еще 1 день.

В високосном году

Високосный год состоит из 366 дней. Проведем аналогичное вычисление:

$366 \div 7$

При делении 366 на 7 получаем 52 и 2 в остатке ($366 = 52 \times 7 + 2$). Это значит, что в високосном году 52 полные недели и еще 2 дня.

Таким образом, и в обычном, и в високосном году количество полных недель одинаково.

Ответ: 52 полные недели.