Страница 65, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Найди:

а) $\frac{1}{7}$ от 42

б) $1\%$ от $900$ г

а)

Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на данную дробь. В нашем случае, чтобы найти $ \frac{1}{7} $ от 42, нужно 42 умножить на $ \frac{1}{7} $. Это то же самое, что разделить 42 на 7.

$ 42 \cdot \frac{1}{7} = \frac{42}{7} = 6 $

Ответ: 6

б)

Процент — это одна сотая часть от целого. Следовательно, 1% — это $ \frac{1}{100} $ часть числа. Чтобы найти 1% от 900 г, нужно разделить 900 на 100.

$ \frac{900}{100} = 9 $

Так как мы находили процент от величины, измеряемой в граммах (г), то и результат будет в граммах.

Ответ: 9 г

2 а) Попробуй составить выражение к задаче:

«Масса гуся равна 4 кг, что составляет $1/30$ часть массы страуса. Чему равна масса страуса?»

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Реши задачу (а), отвечая на вопросы:

✓ Во сколько раз масса страуса больше массы гуся?

✓ Чему равна масса страуса?

✓ Сделай вывод: как найти неизвестное число по его $1/n$ доле?

Проверь себя по учебнику, с. 75. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй составить выражение к задаче:
Чтобы найти массу страуса (целое), зная его часть (массу гуся, равную 4 кг), которая составляет $\frac{1}{30}$ от целого, нужно значение этой части умножить на знаменатель дроби.
Выражение: $4 \div \frac{1}{30}$ или $4 \times 30$.

б) Реши задачу (а), отвечая на вопросы:

Во сколько раз масса страуса больше массы гуся?
В условии сказано, что масса гуся составляет $\frac{1}{30}$ часть массы страуса. Это значит, что масса страуса в 30 раз больше массы гуся.
Ответ: в 30 раз.

Чему равна масса страуса?
Чтобы найти массу страуса, необходимо массу гуся умножить на 30.
$4 \text{ кг} \times 30 = 120 \text{ кг}$
Ответ: 120 кг.

Сделай вывод: как найти неизвестное число по его $\frac{1}{n}$ доле?
Если известна часть числа, выраженная дробью $\frac{1}{n}$, то чтобы найти всё число, нужно значение этой части умножить на знаменатель дроби $n$.
Ответ: Чтобы найти неизвестное число по его доле, выраженной дробью $\frac{1}{n}$, нужно значение этой доли умножить на $n$.

3 Найди число, если:

а) $ \frac{1}{3} $ его составляет 12

б) $ \frac{1}{5} $ его составляет 20

в) $1\%$ его составляет 45

а) Чтобы найти целое число по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которая эту часть выражает. В данном случае, нам известно, что $\frac{1}{3}$ числа равна 12. Обозначим искомое число за $x$. Тогда можно составить уравнение:
$\frac{1}{3} \cdot x = 12$
Чтобы найти $x$, нужно 12 разделить на $\frac{1}{3}$, что эквивалентно умножению 12 на 3:
$x = 12 : \frac{1}{3} = 12 \cdot 3 = 36$
Таким образом, искомое число равно 36.
Ответ: 36

б) Аналогично предыдущему пункту, нам известно, что $\frac{1}{5}$ искомого числа составляет 20. Пусть искомое число будет $y$. Составим уравнение:
$\frac{1}{5} \cdot y = 20$
Чтобы найти $y$, разделим 20 на $\frac{1}{5}$, что равносильно умножению 20 на 5:
$y = 20 : \frac{1}{5} = 20 \cdot 5 = 100$
Следовательно, искомое число — 100.
Ответ: 100

в) В этом задании нужно найти число, если 1% от него равен 45. Один процент — это одна сотая часть числа, то есть $\frac{1}{100}$. Обозначим искомое число за $z$. Тогда:
$1\% \text{ от } z = 45$
$\frac{1}{100} \cdot z = 45$
Чтобы найти всё число $z$ (то есть 100%), нужно значение его одного процента (45) умножить на 100:
$z = 45 \cdot 100 = 4500$
Значит, искомое число равно 4500.
Ответ: 4500

4 Автомобилю осталось проехать 168 км, что составляет $ \frac{1}{4} $ всего пути.

Сколько километров он уже проехал?

1 — ? км

проехал осталось

? км $ \frac{1}{4} $ — 168 км

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

1. Сначала определим общую длину всего пути. В условии сказано, что оставшиеся 168 км — это $\frac{1}{4}$ всего пути. Чтобы найти общую длину, нужно 168 км умножить на 4, так как весь путь состоит из четырех равных частей.

$168 \text{ км} \times 4 = 672 \text{ км}$

2. Теперь, зная общую длину пути (672 км) и расстояние, которое осталось проехать (168 км), мы можем вычислить, сколько километров автомобиль уже проехал. Для этого нужно из общей длины вычесть оставшееся расстояние.

$672 \text{ км} - 168 \text{ км} = 504 \text{ км}$

Ответ: автомобиль уже проехал 504 км.

Способ 2

1. Сначала найдем, какую часть пути автомобиль уже проехал. Весь путь принимаем за 1. Если автомобилю осталось проехать $\frac{1}{4}$ пути, то пройденная часть составляет:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

2. Теперь найдем, сколько километров составляют эти $\frac{3}{4}$ пути. Нам известно, что $\frac{1}{4}$ пути — это 168 км. Пройденная часть в 3 раза больше ($\frac{3}{4}$ — это три раза по $\frac{1}{4}$). Следовательно, нужно умножить 168 км на 3.

$168 \text{ км} \times 3 = 504 \text{ км}$

Ответ: автомобиль уже проехал 504 км.

5* Что в миллион раз легче тонны? Подчеркни правильный ответ.

A $1 \, \text{ц}$

B $1 \, \text{кг}$

C $1 \, \text{г}$

D $10 \, \text{г}$

E $100 \, \text{г}$

Чтобы определить, какая величина в миллион раз легче тонны, необходимо массу одной тонны разделить на $1,000,000$.

Сначала выразим массу одной тонны в граммах для удобства вычислений. В одной тонне содержится $1000$ килограммов, а в одном килограмме — $1000$ граммов.

Следовательно, масса одной тонны в граммах равна:
$1 \text{ тонна} = 1000 \text{ кг} = 1000 \times 1000 \text{ г} = 1,000,000 \text{ г}$

Теперь разделим эту массу на миллион ($1,000,000$):
$\frac{1,000,000 \text{ г}}{1,000,000} = 1 \text{ г}$

Таким образом, величина, которая в миллион раз легче тонны, — это 1 грамм. Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) 1 г

3 С помощью формулы $s = v_{сбл.} \cdot t_{встр.}$ реши задачи, составляя выражения. Сравни задачи каждой строки, каждого столбца. Что ты замечаешь?

а) 5 км/ч 2 км/ч

21 км

$t_{встр.} = ? ч$

г) 9 км/ч 4 км/ч

10 км

$t_{встр.} = ? ч$

б) 5 км/ч 2 км/ч

? км

$t_{встр.} = 3 ч$

д) 9 км/ч 4 км/ч

? км

$t_{встр.} = 2 ч$

в) ? км/ч 2 км/ч

21 км

$t_{встр.} = 3 ч$

е) ? км/ч 4 км/ч

10 км

$t_{встр.} = 2 ч$

Что может быть неизвестно в задачах на одновременное движение?

а)

В этой задаче объекты движутся навстречу друг другу. Чтобы найти время до встречи ($t_{встр.}$), нужно сначала найти скорость сближения ($v_{сбл.}$), которая равна сумме скоростей объектов, а затем разделить начальное расстояние ($s$) на скорость сближения.

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 7 \text{ км/ч}$

2) Найдем время до встречи:
$t_{встр.} = s : v_{сбл.} = 21 \text{ км} : 7 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Выражение: $21 : (5 + 2)$.

Ответ: 3 ч.

б)

В этой задаче также встречное движение. Чтобы найти начальное расстояние ($s$), нужно скорость сближения ($v_{сбл.}$) умножить на время до встречи ($t_{встр.}$).

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 7 \text{ км/ч}$

2) Найдем начальное расстояние:
$s = v_{сбл.} \cdot t_{встр.} = 7 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 21 \text{ км}$

Выражение: $(5 + 2) \cdot 3$.

Ответ: 21 км.

в)

Это задача на встречное движение, в которой неизвестна скорость одного из объектов. Сначала найдем скорость сближения, разделив расстояние на время. Затем, чтобы найти скорость первого объекта ($v_1$), вычтем из скорости сближения скорость второго объекта ($v_2$).

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = s : t_{встр.} = 21 \text{ км} : 3 \text{ ч} = 7 \text{ км/ч}$

2) Найдем скорость первого объекта:
$v_1 = v_{сбл.} - v_2 = 7 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

Выражение: $21 : 3 - 2$.

Ответ: 5 км/ч.

г)

В этой задаче один объект догоняет другой (движение вдогонку). Скорость сближения ($v_{сбл.}$) здесь равна разности скоростей. Чтобы найти время до встречи ($t_{встр.}$), нужно начальное расстояние ($s$) разделить на скорость сближения.

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 9 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

2) Найдем время до встречи:
$t_{встр.} = s : v_{сбл.} = 10 \text{ км} : 5 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Выражение: $10 : (9 - 4)$.

Ответ: 2 ч.

д)

Задача на движение вдогонку. Чтобы найти начальное расстояние ($s$), нужно скорость сближения ($v_{сбл.}$) умножить на время ($t_{встр.}$).

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 9 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

2) Найдем начальное расстояние:
$s = v_{сбл.} \cdot t_{встр.} = 5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Выражение: $(9 - 4) \cdot 2$.

Ответ: 10 км.

е)

Это задача на движение вдогонку, в которой неизвестна скорость догоняющего объекта. Сначала найдем скорость сближения, разделив расстояние на время. Затем, чтобы найти скорость первого объекта ($v_1$), прибавим к скорости сближения скорость второго объекта ($v_2$).

1) Найдем скорость сближения:
$v_{сбл.} = s : t_{встр.} = 10 \text{ км} : 2 \text{ ч} = 5 \text{ км/ч}$

2) Найдем скорость первого объекта:
$v_1 = v_{сбл.} + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

Выражение: $10 : 2 + 4$.

Ответ: 9 км/ч.

Сравнение задач и наблюдения

Сравнивая задачи, можно заметить следующее:

• По столбцам:
  • Задачи в левом столбце (а, б, в) — это задачи на встречное движение. Скорость сближения в них находится сложением скоростей ($v_{сбл.} = v_1 + v_2$).
  • Задачи в правом столбце (г, д, е) — это задачи на движение вдогонку. Скорость сближения в них находится вычитанием скоростей ($v_{сбл.} = v_1 - v_2$).
• По строкам:
  • В первой строке (задачи а, г) неизвестно время ($t_{встр.}$).
  • Во второй строке (задачи б, д) неизвестно расстояние ($s$).
  • В третьей строке (задачи в, е) неизвестна скорость одного из объектов ($v_1$).
• Общее наблюдение: Задачи в каждом столбце являются обратными по отношению друг к другу. В них используются одни и те же величины (скорости, расстояние, время), но в каждой задаче искомой является одна из этих величин.

Что может быть неизвестно в задачах на одновременное движение?

В задачах на одновременное движение могут быть неизвестны следующие величины:

• Начальное расстояние между объектами ($s$).
• Скорость одного из объектов ($v_1$ или $v_2$).
• Время до встречи или до того, как один объект догонит другой ($t_{встр.}$).

4 Объясни способы решения задач разных типов на одновременное движение. Придумай, запиши на листке и реши задачу одного из этих типов по своему выбору (для обоих случаев — встречного движения и движения вдогонку).

Тип задачи

Известно

Надо найти

Алгоритм решения

Способ решения

1

$v_1, v_2, t_{\text{встр.}}$

$s$

1) Найти $v_{\text{сбл.}}$

2) Найти $s$

1) $v_{\text{сбл.}} = v_1 \pm v_2$

2) $s = v_{\text{сбл.}} \cdot t_{\text{встр.}}$

2

$v_1, v_2, s$

$t_{\text{встр.}}$

1) Найти $v_{\text{сбл.}}$

2) Найти $t_{\text{встр.}}$

1) $v_{\text{сбл.}} = v_1 \pm v_2$

2) $t_{\text{встр.}} = s : v_{\text{сбл.}}$

3

$t_{\text{встр.}}, s, v_1 \text{ (или } v_2\text{)}$

$v_2 \text{ (или } v_1\text{)}$

1) Найти $v_{\text{сбл.}}$

2) Найти $v_2 \text{ (или } v_1\text{)}$

1) $v_{\text{сбл.}} = s : t_{\text{встр.}}$

2) $v_2 \text{ (или } v_1\text{)}$ из формулы $v_{\text{сбл.}} = v_1 \pm v_2$

Задачи на одновременное движение решаются с помощью понятия «скорость сближения» или «скорость удаления». Это относительная скорость, которая показывает, на сколько километров в час объекты становятся ближе друг к другу (сближение) или дальше друг от друга (удаление).

Существует два основных случая одновременного движения:

1. Встречное движение: Объекты движутся навстречу друг другу. Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить их скорости. Расстояние между ними сокращается на сумму расстояний, пройденных каждым объектом за единицу времени.
   Формула скорости сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2$
2. Движение вдогонку: Один объект догоняет другой, движущийся в том же направлении. Чтобы найти скорость сближения, нужно из большей скорости вычесть меньшую. Расстояние между ними сокращается на разницу их скоростей.
   Формула скорости сближения: $v_{сбл} = v_2 - v_1$ (при условии, что $v_2 > v_1$)

Рассмотрим три типа задач, представленных в таблице, используя это ключевое понятие.

• Тип 1: Известны скорости и время, найти расстояние.
  Алгоритм:
  1) Находим скорость сближения ($v_{сбл}$), складывая скорости (при встречном движении) или вычитая их (при движении вдогонку).
  2) Умножаем скорость сближения на время до встречи, чтобы найти первоначальное расстояние между объектами: $s = v_{сбл} \cdot t_{встр}$.
• Тип 2: Известны скорости и расстояние, найти время.
  Алгоритм:
  1) Находим скорость сближения ($v_{сбл}$), как и в первом типе.
  2) Делим первоначальное расстояние на скорость сближения, чтобы найти время до встречи: $t_{встр} = s : v_{сбл}$.
• Тип 3: Известны время, расстояние и одна из скоростей, найти вторую скорость.
  Алгоритм:
  1) Находим общую скорость сближения, разделив расстояние на время: $v_{сбл} = s : t_{встр}$.
  2) Зная скорость сближения и одну из скоростей, находим вторую.
  - Для встречного движения: $v_2 = v_{сбл} - v_1$.
  - Для движения вдогонку: $v_2 = v_{сбл} + v_1$ (если $v_2$ — скорость догоняющего) или $v_1 = v_2 - v_{сбл}$ (если $v_1$ — скорость убегающего).

Пример задачи (тип 2) и ее решение для обоих случаев.

Встречное движение

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля $v_1 = 70$ км/ч, а скорость второго $v_2 = 80$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Дано:
$s = 450$ км
$v_1 = 70$ км/ч
$v_2 = 80$ км/ч
Найти: $t_{встр}$

Решение:
1) Найдем скорость сближения автомобилей. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 70 + 80 = 150$ (км/ч)
2) Найдем время до встречи, разделив расстояние на скорость сближения.
$t_{встр} = s : v_{сбл} = 450 : 150 = 3$ (ч)

Ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

Движение вдогонку

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 90 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость автомобиля, едущего впереди, $v_1 = 70$ км/ч, а скорость догоняющего его автомобиля $v_2 = 100$ км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Дано:
$s = 90$ км
$v_1 = 70$ км/ч (скорость убегающего)
$v_2 = 100$ км/ч (скорость догоняющего)
Найти: $t_{встр}$

Решение:
1) Найдем скорость сближения. Так как один автомобиль догоняет другой, их скорость сближения равна разности их скоростей.
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 100 - 70 = 30$ (км/ч)
2) Найдем время, через которое произойдет встреча, разделив первоначальное расстояние на скорость сближения.
$t_{встр} = s : v_{сбл} = 90 : 30 = 3$ (ч)

Ответ: второй автомобиль догонит первый через 3 часа.