Страница 69, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

6 Запиши указанные проценты в виде дробей со знаменателем 100. Прочитай дроби и объясни их смысл.

5 %: $5/100$

16 %: $16/100$

28 %: $28/100$

47 %: $47/100$

64 %: $64/100$

83 %: $83/100$

$99/100$

Процент — это одна сотая часть от какой-либо величины. Чтобы представить проценты в виде дроби со знаменателем 100, нужно число процентов записать в числитель дроби, а в знаменатель поставить 100. Общая формула: $N\% = \frac{N}{100}$.

5 %
Чтобы записать 5% в виде дроби, нужно 5 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{5}{100}$.
Читается как: «пять сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 5 таких частей.
Ответ: $\frac{5}{100}$.

16 %
Чтобы записать 16% в виде дроби, нужно 16 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{16}{100}$.
Читается как: «шестнадцать сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 16 таких частей.
Ответ: $\frac{16}{100}$.

28 %
Чтобы записать 28% в виде дроби, нужно 28 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{28}{100}$.
Читается как: «двадцать восемь сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 28 таких частей.
Ответ: $\frac{28}{100}$.

47 %
Чтобы записать 47% в виде дроби, нужно 47 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{47}{100}$.
Читается как: «сорок семь сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 47 таких частей.
Ответ: $\frac{47}{100}$.

64 %
Чтобы записать 64% в виде дроби, нужно 64 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{64}{100}$.
Читается как: «шестьдесят четыре сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 64 такие части.
Ответ: $\frac{64}{100}$.

83 %
Чтобы записать 83% в виде дроби, нужно 83 поставить в числитель, а 100 — в знаменатель.
Получаем дробь: $\frac{83}{100}$.
Читается как: «восемьдесят три сотых».
Смысл дроби: это означает, что от целого, разделенного на 100 равных частей, взяли 83 такие части.
Ответ: $\frac{83}{100}$.

7 Запиши данные части величин с помощью знака %:

Для того чтобы записать данные части величин с помощью знака процента (%), необходимо использовать определение процента. Процент — это одна сотая часть величины. Это можно записать в виде формулы: $1\% = \frac{1}{100}$.

Соответственно, чтобы любую дробь со знаменателем 100 преобразовать в проценты, нужно просто взять ее числитель и добавить к нему знак %. Общее правило выглядит так: $\frac{x}{100} = x\%$.

Применим это правило к каждой из предложенных дробей.

$\frac{4}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{4}{100} = 4\%$.
Ответ: 4%

$\frac{7}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{7}{100} = 7\%$.
Ответ: 7%

$\frac{12}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{12}{100} = 12\%$.
Ответ: 12%

$\frac{36}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{36}{100} = 36\%$.
Ответ: 36%

$\frac{58}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{58}{100} = 58\%$.
Ответ: 58%

$\frac{99}{100}$
Согласно правилу, берем числитель дроби: $\frac{99}{100} = 99\%$.
Ответ: 99%

8 Сравни доли и обоснуй свой ответ:

а) $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{18}$, так как __________

б) $\frac{1}{54}$ $\frac{1}{32}$, так как __________

а) $\frac{1}{6} > \frac{1}{18}$, так как при сравнении дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $6 < 18$, то доля $\frac{1}{6}$ больше, чем доля $\frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{6} > \frac{1}{18}$

б) $\frac{1}{54} < \frac{1}{32}$, так как при сравнении дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) меньшей является та дробь, у которой знаменатель больше. Поскольку $54 > 32$, то доля $\frac{1}{54}$ меньше, чем доля $\frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{54} < \frac{1}{32}$

9 Реши уравнения:

a) $58380 : x + 237 = 1071$

б) $274512 : (750 - x) = 456$

а) $58380 : x + 237 = 1071$

Это уравнение, в котором левая часть представляет собой сумму двух слагаемых: $58380 : x$ и $237$. Неизвестное $x$ входит в состав первого слагаемого. Чтобы найти это слагаемое, нужно из суммы ($1071$) вычесть известное слагаемое ($237$).

$58380 : x = 1071 - 237$

$58380 : x = 834$

Теперь у нас есть уравнение, где неизвестное $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое ($58380$) разделить на частное ($834$).

$x = 58380 : 834$

$x = 70$

Проверка:

$58380 : 70 + 237 = 1071$

$834 + 237 = 1071$

$1071 = 1071$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 70$.

б) $274512 : (750 - x) = 456$

В этом уравнении неизвестное $x$ находится в выражении $(750 - x)$, которое является делителем. Сначала найдем значение всего этого выражения. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($274512$) разделить на частное ($456$).

$750 - x = 274512 : 456$

$750 - x = 602$

Теперь мы получили простое уравнение, в котором $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($750$) вычесть разность ($602$).

$x = 750 - 602$

$x = 148$

Проверка:

$274512 : (750 - 148) = 456$

$274512 : 602 = 456$

$456 = 456$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 148$.

10 Конструкция на рисунке находится в равновесии, её масса равна 128 г (масса вертикальных нитей и горизонтальных планок не учитывается). Чему равна масса звёздочки? Подчеркни правильный ответ.

(A) 6 г

(B) 7 г

(C) 8 г

(D) 16 г

(E) 20 г

Для решения задачи воспользуемся принципом равновесия рычага: конструкция находится в равновесии, если на каждом уровне масса грузов слева от точки опоры равна массе грузов справа.

1. Анализ верхнего уровня

Общая масса конструкции равна 128 г. Главный стержень подвешен за середину, значит, масса левой и правой ветвей одинакова.

Масса каждой ветви = $128 \text{ г} / 2 = 64$ г.

Таким образом, масса левой группы фигур (круг, ромб, прямоугольник, квадрат) равна 64 г, и масса правой группы фигур (звездочка, шестиугольник, треугольник) также равна 64 г.

2. Анализ правой ветви

Рассмотрим правую ветвь, общая масса которой 64 г. Она состоит из синего треугольника с одной стороны и системы из красной звездочки и зеленого шестиугольника с другой. Так как они уравновешивают друг друга, их массы равны.

Масса треугольника = Масса (звездочка + шестиугольник).

Поскольку их общая масса 64 г, то масса каждой из этих частей равна половине:

Масса треугольника = $64 \text{ г} / 2 = 32$ г.

Масса (звездочка + шестиугольник) = $64 \text{ г} / 2 = 32$ г.

3. Анализ нижнего уровня правой ветви

Теперь рассмотрим систему из звездочки и шестиугольника, общая масса которой 32 г. Они подвешены на стержне, который также опирается на середину. Следовательно, их массы равны.

Масса звездочки = Масса шестиугольника.

Так как их суммарная масса 32 г, масса каждой фигуры равна:

Масса звездочки = $32 \text{ г} / 2 = 16$ г.

Проверка

Можно убедиться, что все фигуры, кроме треугольника, весят по 16 г, а треугольник весит 32 г. Общая масса: $6 \cdot 16 \text{ г} + 32 \text{ г} = 96 \text{ г} + 32 \text{ г} = 128$ г. Условие выполняется.

Ответ: Масса звездочки равна 16 г, что соответствует варианту D) 16 г.

1 Допиши формулу одновременного движения для движения вдогонку. Вырази из неё $t_{\text{встр.}}$, $v_1$, $v_2$.

$S = (v_1 - v_2) \cdot t_{\text{встр.}}$

$t_{\text{встр.}} = \frac{S}{v_1 - v_2}$

$v_1 = \frac{S}{t_{\text{встр.}}} + v_2$

$v_2 = v_1 - \frac{S}{t_{\text{встр.}}}$

s = (v₁ - v₂) ⋅ t_встр.
При движении вдогонку один объект (догоняющий) движется с большей скоростью $v_1$, а второй (убегающий) — с меньшей скоростью $v_2$ в том же направлении. Скорость, с которой расстояние между ними сокращается, называется скоростью сближения ($v_{сбл.}$) и равна разности их скоростей: $v_{сбл.} = v_1 - v_2$. Чтобы найти первоначальное расстояние между объектами $s$, нужно скорость сближения умножить на время, через которое произойдет встреча ($t_{встр.}$).
Ответ: $s = (v_1 - v_2) \cdot t_{\text{встр.}}$

t_встр. = s / (v₁ - v₂)
Чтобы выразить время встречи $t_{встр.}$ из основной формулы $s = (v_1 - v_2) \cdot t_{\text{встр.}}$, нужно разделить первоначальное расстояние $s$ на скорость сближения $(v_1 - v_2)$. Это следует из правила нахождения неизвестного множителя.
Ответ: $t_{\text{встр.}} = \frac{s}{v_1 - v_2}$

v₁ = s / t_встр. + v₂
Чтобы выразить скорость догоняющего объекта $v_1$, сначала найдем скорость сближения, разделив расстояние $s$ на время $t_{встр.}$: $v_1 - v_2 = \frac{s}{t_{\text{встр.}}}$. В этом выражении $v_1$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($\frac{s}{t_{\text{встр.}}}$) прибавить вычитаемое ($v_2$).
Ответ: $v_1 = \frac{s}{t_{\text{встр.}}} + v_2$

v₂ = v₁ - s / t_встр.
Чтобы выразить скорость убегающего объекта $v_2$, мы также используем выражение для скорости сближения: $v_1 - v_2 = \frac{s}{t_{\text{встр.}}}$. Здесь $v_2$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($v_1$) вычесть разность ($\frac{s}{t_{\text{встр.}}}$).
Ответ: $v_2 = v_1 - \frac{s}{t_{\text{встр.}}}$

2 Составь выражения к задачам:

а) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$? \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 4\text{ч}$

В) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$? \text{ км}$

$t = 3\text{ч}$

б) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$X \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = ?\text{ч}$

Г) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$? \text{ км}$

$t = 2\text{ч}, d_2 = ?\text{ км}$

а) В данной задаче показано встречное движение двух объектов. Чтобы найти первоначальное расстояние между ними, нужно найти скорость сближения и умножить её на время, через которое они встретились. Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме их скоростей: $v_{сбл.} = a + b$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v_{сбл.} \cdot t$.
Выражение: $(a + b) \cdot 4$.
Ответ: $(a + b) \cdot 4$

б) Здесь изображено движение вдогонку: один объект догоняет другой. Чтобы найти время до встречи, нужно начальное расстояние между объектами разделить на скорость их сближения. Скорость сближения в этом случае равна разности скоростей (при условии $a > b$): $v_{сбл.} = a - b$. Время вычисляется по формуле $t = S : v_{сбл.}$.
Выражение: $x : (a - b)$.
Ответ: $x : (a - b)$

в) В этой задаче объекты начинают движение одновременно из одной точки в одном направлении, но с разными скоростями. Чтобы найти расстояние между ними через некоторое время, нужно найти скорость удаления и умножить её на время. Скорость удаления при движении в одном направлении равна разности скоростей (при условии $a > b$): $v_{уд.} = a - b$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v_{уд.} \cdot t$.
Выражение: $(a - b) \cdot 3$.
Ответ: $(a - b) \cdot 3$

г) На этой схеме объекты начинают движение одновременно из одной точки, но в противоположных направлениях. Чтобы найти расстояние между ними через некоторое время, нужно найти их общую скорость удаления и умножить её на время. Скорость удаления в данном случае равна сумме скоростей объектов: $v_{уд.} = a + b$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v_{уд.} \cdot t$.
Выражение: $(a + b) \cdot 2$.
Ответ: $(a + b) \cdot 2$

3 Боря вышел из парка, когда Олег на велосипеде отъехал от парка по той же дороге на 40 м. Скорость Бори равна 1 м/с. С какой скоростью ехал Олег, если через 15 с расстояние между ними стало 100 м?

Обозначим:

• $v_Б$ - скорость Бори ($1$ м/с)
• $v_О$ - скорость Олега (неизвестна)
• $t$ - время движения ($15$ с)
• $S_0$ - начальное расстояние между Борей и Олегом ($40$ м)
• $S_1$ - конечное расстояние между ними ($100$ м)

Решение:

1. Сначала найдем, какое расстояние прошел Боря за 15 секунд. Для этого умножим его скорость на время:

$S_Б = v_Б \cdot t = 1 \text{ м/с} \cdot 15 \text{ с} = 15 \text{ м}$

2. В начальный момент времени Олег был впереди Бори на 40 м. За 15 секунд Боря прошел 15 м. Чтобы узнать, на каком расстоянии от парка оказался Олег, нужно к расстоянию, которое прошел Боря, прибавить конечное расстояние между ними.

Позиция Олега от парка = Позиция Бори от парка + Конечное расстояние между ними

$P_О = 15 \text{ м} + 100 \text{ м} = 115 \text{ м}$

3. Теперь мы знаем, что Олег начал движение с отметки 40 м от парка, а закончил на отметке 115 м. Найдем расстояние, которое проехал Олег:

$S_О = 115 \text{ м} - 40 \text{ м} = 75 \text{ м}$

4. Чтобы найти скорость Олега, разделим пройденное им расстояние на время:

$v_О = \frac{S_О}{t} = \frac{75 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость Олега равна 5 м/с.

4 Аня старше Лены в 3 раза, а Лена младше Ани на 4 года. Сколько лет Лене и сколько – Ане?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть возраст Лены равен x лет.

Согласно условию, "Аня старше Лены в 3 раза". Значит, возраст Ани можно выразить как $3 \times x$ лет.

Также в условии сказано, что "Лена младше Ани на 4 года". Это означает, что разница в возрасте между Аней и Леной составляет 4 года. Составим уравнение:

Возраст Ани - Возраст Лены = 4

$3x - x = 4$

Теперь решим это уравнение:

$2x = 4$

$x = 4 \div 2$

$x = 2$

Мы нашли, что Лене 2 года.

Теперь найдем возраст Ани, который в 3 раза больше:

$3 \times 2 = 6$

Ане 6 лет.

Проверим второе условие: Лена (2 года) младше Ани (6 лет) на 4 года. $6 - 2 = 4$. Условие выполняется.

Ответ: Лене 2 года, Ане 6 лет.