Страница 27, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

10 Составь выражение и найди его значение:

а) За 4 ч теплоход прошёл 136 км. Сколько километров он пройдёт за 8 ч, двигаясь с той же скоростью?

$ (136 / 4) \times 8 $

б) Геологи 3 часа летели на вертолёте со скоростью 95 км/ч, затем 2 часа ехали верхом со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?

$ (95 \times 3) + (12 \times 2) $

Придумай задачи с другими величинами, которые решаются так же.

а)

Чтобы найти, сколько километров теплоход пройдёт за 8 часов, нужно сначала узнать его скорость. Скорость — это расстояние, делённое на время.

1. Найдём скорость теплохода:

$136 \text{ км} : 4 \text{ ч} = 34 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная скорость, найдём расстояние, которое он пройдёт за 8 часов:

$34 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 272 \text{ км}$

Составим одно общее выражение для решения задачи:

$(136 : 4) \cdot 8 = 34 \cdot 8 = 272 \text{ (км)}$

Ответ: 272 км

б)

Чтобы найти общий путь, который проделали геологи, нужно сложить расстояние, которое они пролетели на вертолёте, и расстояние, которое они проехали верхом. Расстояние находится умножением скорости на время.

1. Найдём расстояние, которое геологи пролетели на вертолёте:

$95 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 285 \text{ км}$

2. Найдём расстояние, которое они проехали верхом:

$12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км}$

3. Сложим оба расстояния, чтобы найти общий путь:

$285 \text{ км} + 24 \text{ км} = 309 \text{ км}$

Составим одно общее выражение для решения задачи:

$95 \cdot 3 + 12 \cdot 2 = 285 + 24 = 309 \text{ (км)}$

Ответ: 309 км

Придумай задачи с другими величинами, которые решаются так же.

Задача, аналогичная задаче а) (цена, количество, стоимость):

За 4 кг конфет заплатили 136 рублей. Сколько нужно заплатить за 8 кг таких же конфет?
Решение: $(136 : 4) \cdot 8 = 272$ (руб.)

Ответ: 272 рубля.

Задача, аналогичная задаче б) (производительность, время, работа):

Первый насос работал 3 часа с производительностью 95 литров в час, а второй насос работал 2 часа с производительностью 12 литров в час. Сколько всего литров воды они перекачали вместе?
Решение: $95 \cdot 3 + 12 \cdot 2 = 309$ (л)

Ответ: 309 литров.

Найди для каждого неравенства множество его решений:

a) $x + x \le 2;$

б) $5 - y < 2;$

в) $12 + z \le 2.$

а) $x + x \le 2$

Сначала упростим левую часть неравенства, сложив подобные члены:

$2x \le 2$

Теперь разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{2x}{2} \le \frac{2}{2}$

$x \le 1$

Множеством решений является числовой промежуток $(-\infty, 1]$.

Ответ: $x \le 1$.

б) $5 - y < 2$

Перенесем 5 из левой части неравенства в правую, изменив знак на противоположный:

$-y < 2 - 5$

$-y < -3$

Чтобы найти $y$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «<» на «>»):

$(-1) \cdot (-y) > (-1) \cdot (-3)$

$y > 3$

Множеством решений является числовой промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: $y > 3$.

в) $12 + z \le 2$

Перенесем 12 из левой части неравенства в правую, изменив знак на противоположный:

$z \le 2 - 12$

$z \le -10$

Множеством решений является числовой промежуток $(-\infty, -10]$.

Ответ: $z \le -10$.

12. Расшифруй скороговорку:

Чтобы расшифровать скороговорку, необходимо решить все примеры, сопоставить результаты с буквами, а затем подставить буквы в ячейки с числами.

Л
$52 + 8 = 60$
Ответ: 60

И
$61 + 19 = 80$
Ответ: 80

Д
$4600 + 900 = 5500$
Ответ: 5500

Й
$5200 - 700 = 4500$
Ответ: 4500

С
$43 \cdot 20 = 860$
Ответ: 860

Е
$154 : 2 = 77$
Ответ: 77

Т
$200 : 5 = 40$
Ответ: 40

Ь
$91 : 13 = 7$
Ответ: 7

В
$270 : 10 + 680 : 10 = 27 + 68 = 95$
Ответ: 95

М
$60 \cdot 7 - 90 \cdot 3 = 420 - 270 = 150$
Ответ: 150

Р
$72 : 12 + 178 = 6 + 178 = 184$
Ответ: 184

А
$600 : 3 - 16 \cdot 5 = 200 - 80 = 120$
Ответ: 120

Теперь сопоставим числа из таблицы с буквами и получим слова. Обратите внимание, что одна ячейка в таблице пуста, но по смыслу слова "свистели" в ней должна быть буква "с", соответствующая числу 860. Буква "А" (ответ 120) в шифре не используется.

Расшифровка:

860 80 5500 77 60 80 → СИДЕЛИ

860 95 80 [860] 860 40 77 60 80 → СВИСТЕЛИ

860 77 150 7 → СЕМЬ

860 95 80 184 80 860 40 77 60 77 4500 → СВИРИСТЕЛЕЙ

Итоговая скороговорка:
Сидели, свистели семь свиристелей.

13* Раздели фигуры на 2 равные части ломаной линией, проходящей по сетке.

A

B

C

D

Для решения этой задачи необходимо найти ломаную линию, проходящую по линиям сетки и разделяющую каждую фигуру на две равные (конгруэнтные) части. Это означает, что полученные части должны совпадать при наложении (возможно, с поворотом или отражением).

Сначала определим площадь каждой фигуры в единицах сетки (квадратах). Затем разделим эту площадь на два, чтобы найти площадь каждой из равных частей. Основная сложность заключается в том, что некоторые фигуры содержат не только целые квадраты, но и треугольные или трапециевидные части. Однако площадь этих частей также может быть выражена в квадратных единицах сетки.

Фигура А состоит из 10 одинаковых квадратов. Следовательно, её нужно разделить на две равные части, каждая из которых будет иметь площадь 5 квадратов.

Эта фигура симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через её центр. Эта ось проходит по линии сетки.

Проведём вертикальную ломаную (в данном случае прямую) линию по оси симметрии. Она разделит фигуру на две абсолютно одинаковые (конгруэнтные) части. Каждая часть состоит из 4 квадратов, образующих квадрат $2 \times 2$, и одного квадрата сверху.

Ответ: Разделяющая линия — это вертикальный отрезок, проходящий через середину фигуры.

Фигура B состоит из прямоугольника размером $3 \times 2$ (площадь 6 квадратов) и прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2 (площадь $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ квадрата). Общая площадь фигуры составляет $6 + 2 = 8$ квадратных единиц. Следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь 4 квадратные единицы.

Для разделения этой фигуры на две конгруэнтные части необходимо провести ломаную линию так, чтобы обе части были одинаковы по форме и размеру. Одна из частей будет содержать треугольный участок, а другая — только квадратные ячейки. Чтобы они были конгруэнтны, фигуру, вероятно, следует интерпретировать как полимино (фигуру из квадратов), где треугольная часть является стилизованным изображением "лесенки" из квадратов. Наиболее вероятная форма — прямоугольник $4 \times 2$ (8 квадратов).

Прямоугольник $4 \times 2$ можно разделить на две конгруэнтные части (L-образных тетромино) Z-образной линией, проходящей через его центр. Эта линия соединяет середины противоположных длинных сторон.

Ответ: Ломаная линия начинается от верхней границы на расстоянии 2 клетки слева, идет вниз на 1 клетку, затем вправо на 1 клетку и затем вниз до нижней границы.

Фигура C имеет сложную форму. Посчитаем её площадь. Она состоит из 6 целых квадратов и нескольких треугольных частей. Площадь левого треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5$. Площадь правого треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$. Площадь верхней трапеции: $\frac{1+3}{2} \cdot 1 = 2$. Площадь нижнего правого треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5$. Общая площадь: $6 + 0.5 + 1 + 2 + 0.5 = 10$ квадратных единиц. Каждая равная часть должна иметь площадь 5 единиц.

Фигура обладает центральной симметрией относительно точки, являющейся центром среднего квадрата в ряду из трёх. Разделяющая линия должна быть симметрична относительно этого же центра. Проведём ломаную линию, которая делит фигуру на две конгруэнтные части, поворачивающиеся друг в друга на 180 градусов.

Ответ: Разделяющая линия имеет сложную S-образную форму и проходит через центр фигуры, разделяя её на две одинаковые части, которые можно совместить поворотом на 180°.

Фигура D напоминает автомобиль. Посчитаем её площадь. Она состоит из прямоугольника $3 \times 1$ снизу (3 квадрата), прямоугольника $5 \times 1$ в середине (5 квадратов) и верхней трапеции с основаниями 3 и 1 и высотой 1 (площадь $\frac{3+1}{2} \cdot 1 = 2$ квадрата). Общая площадь: $3 + 5 + 2 = 10$ квадратных единиц. Каждая равная часть должна иметь площадь 5 единиц.

Фигура D симметрична относительно вертикальной оси, но эта ось не проходит по линиям сетки. Однако, как и в случае с фигурой C, можно найти центрально-симметричное разделение. Центр симметрии находится в центре среднего квадрата среднего ряда. Ломаная линия, симметричная относительно этого центра, разделит фигуру на две конгруэнтные части.

Ответ: Z-образная линия, центр которой совпадает с центром симметрии фигуры, делит её на две конгруэнтные части.

14 В семье 4 детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

Для решения этой логической задачи проанализируем все условия по шагам, чтобы определить возраст каждого из детей.

В семье 4 детей: Таня, Юра, Света, Лена. Их возрасты: 5, 8, 13, 15 лет. В семье три девочки (Таня, Света, Лена) и один мальчик (Юра).

1. Условие: «одна девочка ходит в детский сад».

Из перечисленных возрастов (5, 8, 13, 15) только 5 лет является подходящим возрастом для посещения детского сада. Это означает, что одной из девочек 5 лет.

2. Условие: «Таня старше, чем Юра».

Это значит, что возраст Тани больше возраста Юры. Из этого следует, что Таня не может быть самой младшей, то есть Тане не 5 лет. Так как мы уже знаем, что одной из девочек 5 лет, теперь мы можем утверждать, что это либо Света, либо Лена.

3. Условие: «сумма лет Тани и Светы делится на 3».

Проверим все возможные пары возрастов для Тани и Светы, учитывая, что Тане не 5 лет. Возможные возрасты для Тани: 8, 13, 15. Возможные возрасты для Светы: 5, 8, 13, 15.

• Если Тане 8 лет, проверим суммы с возможным возрастом Светы:
  • $8 + 5 = 13$ (не делится на 3)
  • $8 + 13 = 21$ (делится на 3). Возможный вариант: Таня — 8, Света — 13.
  • $8 + 15 = 23$ (не делится на 3)
• Если Тане 13 лет, проверим суммы с возможным возрастом Светы:
  • $13 + 5 = 18$ (делится на 3). Возможный вариант: Таня — 13, Света — 5.
  • $13 + 8 = 21$ (делится на 3). Возможный вариант: Таня — 13, Света — 8.
  • $13 + 15 = 28$ (не делится на 3)
• Если Тане 15 лет, ни одна из сумм ($15+5=20$, $15+8=23$, $15+13=28$) не делится на 3.

Таким образом, у нас есть три возможных гипотезы по возрастам Тани и Светы: (8, 13), (13, 5) и (13, 8).

4. Проверка гипотез.

Теперь нужно проверить каждую гипотезу, используя все условия задачи.

• Гипотеза 1: Тане 8 лет, Свете 13 лет.
  Из условия «Таня старше, чем Юра» ($8 > \text{возраст Юры}$), следует, что Юре должно быть 5 лет. Но по первому условию 5 лет должно быть девочке, ходящей в детский сад. Эта гипотеза неверна.
• Гипотеза 2: Тане 13 лет, Свете 5 лет.
  Проверим все условия:
  • Одна девочка ходит в детский сад: Свете 5 лет. (Верно)
  • Таня старше, чем Юра ($13 > \text{возраст Юры}$): свободные возрасты — 8 и 15. Значит, Юре 8 лет. (Верно)
  • Сумма лет Тани и Светы делится на 3: $13 + 5 = 18$. (Верно)
  Оставшийся возраст, 15 лет, достается Лене. Эта гипотеза удовлетворяет всем условиям.
• Гипотеза 3: Тане 13 лет, Свете 8 лет.
  Из условия «Таня старше, чем Юра» ($13 > \text{возраст Юры}$), следует, что Юре должно быть 5 лет (так как возраст 8 лет занят Светой). Снова возраст 5 лет достается мальчику, что противоречит первому условию. Эта гипотеза неверна.

Единственный вариант, который подходит под все условия, — второй.
Ответ: Тане 13 лет, Свете 5 лет, Юре 8 лет, Лене 15 лет.

5 Пользуясь рисунком, заполни пропуски:

a) На числовой прямой отмечены: 0, 1, 2, 3, 4, $4\frac{1}{3}$. Дуги сверху показывают 3 и $1\frac{1}{3}$.

$4\frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{\Box}{3} = 2 + \frac{\Box}{3} = 1 + \frac{\Box}{3}$

б) На числовой прямой отмечены: 0, 1, 2, 3, $3\frac{2}{4}$. Дуги сверху показывают 2 и $1\frac{2}{4}$.

$3\frac{2}{4} = 3 + \frac{2}{4} = 2 + \frac{\Box}{4} = 1 + \frac{\Box}{4}$

а)

В этом задании необходимо представить смешанное число $4\frac{1}{3}$ различными способами, уменьшая его целую часть и увеличивая числитель дробной части. Смешанное число $4\frac{1}{3}$ равно сумме его целой и дробной частей: $4 + \frac{1}{3}$.

1. Рассмотрим равенство $4\frac{1}{3} = 3 + \frac{\square}{3}$. Мы можем представить $4\frac{1}{3}$ как $3 + 1 + \frac{1}{3}$. Чтобы сложить $1$ и $\frac{1}{3}$, представим единицу как дробь со знаменателем 3: $1 = \frac{3}{3}$. Тогда $3 + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 3 + \frac{3+1}{3} = 3 + \frac{4}{3}$. Таким образом, в первом пропуске стоит число 4.

2. Рассмотрим равенство $4\frac{1}{3} = 2 + \frac{\square}{3}$. Представим $4\frac{1}{3}$ как $2 + 2 + \frac{1}{3}$. Представим 2 как дробь со знаменателем 3: $2 = \frac{6}{3}$. Тогда $2 + \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{6+1}{3} = 2 + \frac{7}{3}$. Таким образом, во втором пропуске стоит число 7.

3. Рассмотрим равенство $4\frac{1}{3} = 1 + \frac{\square}{3}$. Представим $4\frac{1}{3}$ как $1 + 3 + \frac{1}{3}$. Представим 3 как дробь со знаменателем 3: $3 = \frac{9}{3}$. Тогда $1 + \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = 1 + \frac{9+1}{3} = 1 + \frac{10}{3}$. Таким образом, в третьем пропуске стоит число 10.

Ответ: $4\frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{4}{3} = 2 + \frac{7}{3} = 1 + \frac{10}{3}$

б)

Аналогично пункту а), представим смешанное число $3\frac{2}{4}$ различными способами.

1. Рассмотрим равенство $3\frac{2}{4} = 2 + \frac{\square}{4}$. Представим $3\frac{2}{4}$ как $2 + 1 + \frac{2}{4}$. Представим единицу как дробь со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$. Тогда $2 + \frac{4}{4} + \frac{2}{4} = 2 + \frac{4+2}{4} = 2 + \frac{6}{4}$. Таким образом, в первом пропуске стоит число 6.

2. Рассмотрим равенство $3\frac{2}{4} = 1 + \frac{\square}{4}$. Представим $3\frac{2}{4}$ как $1 + 2 + \frac{2}{4}$. Представим 2 как дробь со знаменателем 4: $2 = \frac{8}{4}$. Тогда $1 + \frac{8}{4} + \frac{2}{4} = 1 + \frac{8+2}{4} = 1 + \frac{10}{4}$. Таким образом, во втором пропуске стоит число 10.

Ответ: $3\frac{2}{4} = 3 + \frac{2}{4} = 2 + \frac{6}{4} = 1 + \frac{10}{4}$

6 Запиши в окошки подходящие числители дробей:

$3 \frac{1}{7} = 2 \frac{\square}{7};$ $2 \frac{7}{5} = 3 \frac{\square}{5};$ $8 \frac{4}{5} = 6 \frac{\square}{5};$ $7 \frac{9}{4} = 9 \frac{\square}{4};$

$5 \frac{2}{3} = 4 \frac{\square}{3};$ $4 \frac{3}{2} = 5 \frac{\square}{2};$ $7 \frac{1}{6} = 5 \frac{\square}{6};$ $4 \frac{13}{5} = 6 \frac{\square}{5}.$

Что общего в примерах каждого столбика?

$3\frac{1}{7} = 2\frac{\square}{7}$
Чтобы уменьшить целую часть с 3 до 2, мы "занимаем" единицу. Представляем эту единицу в виде дроби со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$. Теперь прибавляем эту дробь к имеющейся дробной части: $\frac{1}{7} + \frac{7}{7} = \frac{8}{7}$. Таким образом, $3\frac{1}{7} = 2 + 1 + \frac{1}{7} = 2 + \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = 2\frac{8}{7}$.
Ответ: 8

$2\frac{7}{5} = 3\frac{\square}{5}$
Дробная часть $\frac{7}{5}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $\frac{7}{5} = \frac{5+2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5}$. Теперь прибавим эту целую часть к имеющейся: $2 + 1\frac{2}{5} = 3\frac{2}{5}$.
Ответ: 2

$8\frac{4}{5} = 6\frac{\square}{5}$
Чтобы уменьшить целую часть с 8 до 6, мы "занимаем" 2 единицы. Представим 2 в виде дроби со знаменателем 5: $2 = \frac{2 \times 5}{5} = \frac{10}{5}$. Теперь прибавим эту дробь к имеющейся дробной части: $\frac{4}{5} + \frac{10}{5} = \frac{14}{5}$. Таким образом, $8\frac{4}{5} = 6 + 2 + \frac{4}{5} = 6 + \frac{10}{5} + \frac{4}{5} = 6\frac{14}{5}$.
Ответ: 14

$7\frac{9}{4} = 9\frac{\square}{4}$
Дробная часть $\frac{9}{4}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $\frac{9}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}$. Теперь прибавим эту целую часть к имеющейся: $7 + 2\frac{1}{4} = 9\frac{1}{4}$.
Ответ: 1

$5\frac{2}{3} = 4\frac{\square}{3}$
Чтобы уменьшить целую часть с 5 до 4, мы "занимаем" единицу. Представляем 1 в виде дроби со знаменателем 3: $1 = \frac{3}{3}$. Теперь прибавляем эту дробь к имеющейся дробной части: $\frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}$. Таким образом, $5\frac{2}{3} = 4 + 1 + \frac{2}{3} = 4 + \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = 4\frac{5}{3}$.
Ответ: 5

$4\frac{3}{2} = 5\frac{\square}{2}$
Дробная часть $\frac{3}{2}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $\frac{3}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$. Теперь прибавим эту целую часть к имеющейся: $4 + 1\frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$.
Ответ: 1

$7\frac{1}{6} = 5\frac{\square}{6}$
Чтобы уменьшить целую часть с 7 до 5, мы "занимаем" 2 единицы. Представим 2 в виде дроби со знаменателем 6: $2 = \frac{2 \times 6}{6} = \frac{12}{6}$. Теперь прибавим эту дробь к имеющейся дробной части: $\frac{1}{6} + \frac{12}{6} = \frac{13}{6}$. Таким образом, $7\frac{1}{6} = 5 + 2 + \frac{1}{6} = 5 + \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = 5\frac{13}{6}$.
Ответ: 13

$4\frac{13}{5} = 6\frac{\square}{5}$
Дробная часть $\frac{13}{5}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $\frac{13}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = 2\frac{3}{5}$. Теперь прибавим эту целую часть к имеющейся: $4 + 2\frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$.
Ответ: 3

Что общего в примерах каждого столбика?
Общее в примерах заключается в принципе преобразования смешанных чисел.

• В первом и третьем столбиках происходит уменьшение целой части смешанного числа. Для этого одна или несколько единиц из целой части переводятся в дробную часть, из-за чего числитель дроби увеличивается, и дробь становится неправильной.
• Во втором и четвертом столбиках происходит обратный процесс: целая часть смешанного числа увеличивается. Это происходит за счет того, что исходная дробная часть является неправильной дробью. Из этой неправильной дроби выделяется целая часть и прибавляется к уже имеющейся целой части числа, а дробная часть становится правильной.

7 Сравни:

$\frac{2}{15} \Box \frac{4}{15};$ $1 \Box \frac{5}{16};$ $2\frac{3}{9} \Box 8\frac{3}{9};$ $7\frac{4}{5} \Box 7\frac{2}{5};$

$\frac{8}{9} \Box \frac{8}{20};$ $\frac{3}{7} \Box \frac{9}{4};$ $5\frac{2}{7} \Box 3\frac{6}{7};$ $6\frac{1}{18} \Box 6\frac{11}{14}.$

$ \frac{2}{15} \ldots \frac{4}{15} $

Для сравнения двух дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сравнить их числители. У дробей $ \frac{2}{15} $ и $ \frac{4}{15} $ знаменатели равны 15. Сравниваем числители: $ 2 < 4 $. Следовательно, первая дробь меньше второй.

Ответ: $ \frac{2}{15} < \frac{4}{15} $

$ 1 \ldots \frac{5}{16} $

Дробь $ \frac{5}{16} $ является правильной, так как её числитель (5) меньше знаменателя (16). Любая правильная дробь всегда меньше 1. Другой способ: представим 1 в виде дроби со знаменателем 16, то есть $ 1 = \frac{16}{16} $. Теперь сравним $ \frac{16}{16} $ и $ \frac{5}{16} $. Так как $ 16 > 5 $, то и $ \frac{16}{16} > \frac{5}{16} $.

Ответ: $ 1 > \frac{5}{16} $

$ 2\frac{3}{9} \ldots 8\frac{3}{9} $

При сравнении смешанных чисел в первую очередь сравниваются их целые части. Целая часть первого числа — 2, а второго — 8. Поскольку $ 2 < 8 $, то первое число меньше второго, независимо от их дробных частей.

Ответ: $ 2\frac{3}{9} < 8\frac{3}{9} $

$ 7\frac{4}{5} \ldots 7\frac{2}{5} $

Целые части данных смешанных чисел равны (7). В этом случае для сравнения чисел нужно сравнить их дробные части: $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{2}{5} $. Так как знаменатели у дробей одинаковые (5), сравниваем числители. Поскольку $ 4 > 2 $, то $ \frac{4}{5} > \frac{2}{5} $. Следовательно, и первое смешанное число больше второго.

Ответ: $ 7\frac{4}{5} > 7\frac{2}{5} $

$ \frac{8}{9} \ldots \frac{8}{20} $

Для сравнения двух дробей с одинаковыми числителями большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. У дробей $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{8}{20} $ числители равны 8. Сравниваем знаменатели: $ 9 < 20 $. Следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $ \frac{8}{9} > \frac{8}{20} $

$ \frac{3}{7} \ldots \frac{9}{4} $

Дробь $ \frac{3}{7} $ является правильной (числитель 3 меньше знаменателя 7), поэтому она меньше 1. Дробь $ \frac{9}{4} $ является неправильной (числитель 9 больше знаменателя 4), поэтому она больше 1. Следовательно, правильная дробь меньше неправильной.

Ответ: $ \frac{3}{7} < \frac{9}{4} $

$ 5\frac{2}{7} \ldots 3\frac{6}{7} $

При сравнении смешанных чисел в первую очередь сравниваются их целые части. Целая часть первого числа — 5, а второго — 3. Поскольку $ 5 > 3 $, то первое число больше второго.

Ответ: $ 5\frac{2}{7} > 3\frac{6}{7} $

$ 6\frac{11}{18} \ldots 6\frac{11}{14} $

Целые части данных смешанных чисел равны (6). В этом случае необходимо сравнить их дробные части: $ \frac{11}{18} $ и $ \frac{11}{14} $. Так как числители у дробей одинаковые (11), большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Сравниваем знаменатели: $ 18 > 14 $. Это означает, что $ \frac{11}{18} < \frac{11}{14} $. Следовательно, и первое смешанное число меньше второго.

Ответ: $ 6\frac{11}{18} < 6\frac{11}{14} $

8. Какое арифметическое действие обозначает черта дроби?

Реши уравнение:

а) $ \frac{x}{5} = 4; $

б) $ \frac{18}{y} = 3; $

в) $ \frac{m}{8} = 5; $

г) $ \frac{27}{k} = 3. $

Черта дроби обозначает арифметическое действие деление.

а) Дано уравнение $ \frac{x}{5} = 4 $.
В этом уравнении $x$ — неизвестное делимое, 5 — делитель, 4 — частное.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$ x = 4 \cdot 5 $
$ x = 20 $
Ответ: 20

б) Дано уравнение $ \frac{18}{y} = 3 $.
В этом уравнении 18 — делимое, $y$ — неизвестный делитель, 3 — частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$ y = 18 : 3 $
$ y = 6 $
Ответ: 6

в) Дано уравнение $ \frac{m}{8} = 5 $.
В этом уравнении $m$ — неизвестное делимое, 8 — делитель, 5 — частное.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$ m = 5 \cdot 8 $
$ m = 40 $
Ответ: 40

г) Дано уравнение $ \frac{27}{k} = 3 $.
В этом уравнении 27 — делимое, $k$ — неизвестный делитель, 3 — частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$ k = 27 : 3 $
$ k = 9 $
Ответ: 9

Игра «Лабиринты».

Лабиринт 1

Центр: 1

Внутренний круг (по часовой стрелке сверху): $\frac{3}{8}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{1}{5}$

Внешний круг (по часовой стрелке сверху-слева): $\frac{5}{8}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$

Лабиринт 2

Центр: 2

Внутренний круг (по часовой стрелке сверху): $1\frac{3}{4}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{6}{7}$

Внешний круг (по часовой стрелке сверху-слева): $1\frac{4}{7}$, $\frac{8}{7}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{4}$

Лабиринт 3

Центр: 3

Внутренний круг (по часовой стрелке сверху): $\frac{1}{2}$, $\frac{8}{6}$, $1\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$

Внешний круг (по часовой стрелке сверху-слева): $\frac{3}{2}$, $1\frac{4}{6}$, $1\frac{1}{6}$, $2\frac{1}{2}$

Общая задача для каждого лабиринта заключается в том, чтобы найти на его кругах числа, сумма которых равна числу, указанному в центре.

1

В первом лабиринте центральное число — 1. Необходимо найти комбинацию дробей, сумма которых равна 1. Рассмотрим дроби $ \frac{3}{8} $ с внутреннего круга и $ \frac{5}{8} $ с внешнего круга.

Вычислим их сумму:

$ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3+5}{8} = \frac{8}{8} = 1 $

Результат совпадает с числом в центре лабиринта. Существуют и другие пары дробей, дающие в сумме 1, например $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{1}{8} $.

Ответ: $ \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1 $.

2

Во втором лабиринте в центре стоит число 2. Требуется найти числа на кругах, которые в сумме дают 2. Возьмем смешанное число $ 1\frac{3}{4} $ с внутреннего круга и дробь $ \frac{1}{4} $ с внешнего круга.

Для выполнения сложения сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$ 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} $

Теперь сложим дроби:

$ \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

Полученная сумма равна числу в центре. Другой пример решения: $ \frac{6}{7} + \frac{8}{7} = \frac{14}{7} = 2 $.

Ответ: $ 1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 2 $.

3

В третьем лабиринте центральное число — 3. Задача — найти числа, сумма которых равна 3. Рассмотрим смешанное число $ 1\frac{1}{2} $ с внутреннего круга и дробь $ \frac{3}{2} $ с внешнего круга.

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $

Теперь найдем их сумму:

$ \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3+3}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

Результат соответствует числу в центре. В этом лабиринте также есть несколько решений, например, можно сложить $ \frac{8}{6} $ и $ 1\frac{4}{6} $: $ \frac{8}{6} + \frac{10}{6} = \frac{18}{6} = 3 $.

Ответ: $ 1\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 3 $.

3 а) Измерь углы четырёхугольника и найди их сумму:

$\angle A = $

$\angle B = $

$\angle C = $

$\angle D = $

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = $

б) Начерти в тетради произвольный четырёхугольник FKME и найди сумму его углов. Что ты наблюдаешь? Сделай вывод.

Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников?

в) В четырёхугольнике ABCD проведи диагональ AC. Сколько треугольников получилось? Дополни общее высказывание и обоснуй его:

Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырехугольника равна __________.

а) Измерь углы четырёхугольника и найди их сумму:

Для измерения углов четырёхугольника ABCD на рисунке необходимо использовать транспортир. Из-за возможных погрешностей при измерении на изображении, мы будем использовать теоретически точные значения, сумма которых должна быть $360^\circ$. Примерные результаты измерений могут быть следующими:
$ \angle A \approx 75^\circ $
$ \angle B \approx 115^\circ $
$ \angle C \approx 105^\circ $
$ \angle D \approx 65^\circ $
Теперь найдем их сумму:
$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D \approx 75^\circ + 115^\circ + 105^\circ + 65^\circ = 360^\circ $
Ответ: Приблизительные значения углов: $ \angle A \approx 75^\circ $, $ \angle B \approx 115^\circ $, $ \angle C \approx 105^\circ $, $ \angle D \approx 65^\circ $. Сумма углов равна $360^\circ$.

б) Начерти в тетради произвольный четырёхугольник FKME и найди сумму его углов. Что ты наблюдаешь? Сделай вывод. Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников?

Начертим произвольный четырёхугольник FKME и измерим его углы транспортиром. Например, у нас могли получиться углы: $ \angle F = 80^\circ $, $ \angle K = 120^\circ $, $ \angle M = 95^\circ $, $ \angle E = 65^\circ $.
Сумма его углов будет: $ 80^\circ + 120^\circ + 95^\circ + 65^\circ = 360^\circ $.
Что ты наблюдаешь? Я наблюдаю, что сумма углов этого произвольного четырёхугольника, как и в задании (а), оказалась равна $360^\circ$.
Сделай вывод. Можно сделать вывод (выдвинуть гипотезу), что сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$.
Почему пока полученный вывод нельзя считать доказанным для всех четырёхугольников? Этот вывод нельзя считать доказанным, потому что он сделан на основе рассмотрения всего двух частных случаев. В математике утверждение считается доказанным, только если оно обосновано логически для всех возможных случаев, а не проверено на нескольких примерах. Измерения, к тому же, всегда неточны.
Ответ: Сумма углов начерченного четырёхугольника FKME также равна $360^\circ$. Наблюдение: сумма углов разных четырёхугольников одинакова. Вывод: сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$. Этот вывод нельзя считать доказанным, так как он основан на частных примерах, а не на строгом логическом обосновании.

в) В четырёхугольнике ABCD проведи диагональ AC. Сколько треугольников получилось? Дополни общее высказывание и обоснуй его:

Если в четырёхугольнике ABCD провести диагональ AC, то он разделится на два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
Дополним общее высказывание:
Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.
Обоснование:
Сумма углов четырёхугольника ABCD равна $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D $.
Диагональ AC делит угол $ \angle A $ на два угла ($ \angle BAC $ и $ \angle CAD $) и угол $ \angle C $ на два угла ($ \angle BCA $ и $ \angle ACD $).
Таким образом, $ \angle A = \angle BAC + \angle CAD $ и $ \angle C = \angle BCA + \angle ACD $.
Запишем сумму углов четырёхугольника, подставив эти выражения:
$ (\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle D $
Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы получились суммы углов двух треугольников:
$ (\angle BAC + \angle B + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle D + \angle ACD) $
Сумма углов в первых скобках - это сумма углов треугольника $ \triangle ABC $, которая равна $180^\circ$.
Сумма углов во вторых скобках - это сумма углов треугольника $ \triangle ADC $, которая также равна $180^\circ$.
Следовательно, сумма углов четырёхугольника равна $ 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ $.
Это рассуждение является доказательством, так как оно справедливо для любого выпуклого четырёхугольника.
Ответ: Получилось 2 треугольника. Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

4 Запиши подряд:

а) число 5 семь раз;

б) число 200 четыре раза;

в) число 30 пять раз. Назови получившиеся числа, их предыдущее и последующее числа. Какая цифра записана в разряде сотен тысяч каждого числа? Сколько всего сотен тысяч в каждом из них?

а) Запишем число 5 семь раз подряд: 5 555 555.
Это число читается как "пять миллионов пятьсот пятьдесят пять тысяч пятьсот пятьдесят пять".
Предыдущее число: 5 555 554 (пять миллионов пятьсот пятьдесят пять тысяч пятьсот пятьдесят четыре).
Последующее число: 5 555 556 (пять миллионов пятьсот пятьдесят пять тысяч пятьсот пятьдесят шесть).
В разряде сотен тысяч (шестой разряд справа) стоит цифра 5.
Чтобы найти, сколько всего сотен тысяч в этом числе, нужно отбросить последние 5 цифр (или разделить число на 100 000 и взять целую часть): $5 555 555 \div 100 000 = 55$ (остаток 55 555). Всего в числе 55 сотен тысяч.
Ответ: число 5 555 555; предыдущее 5 555 554; последующее 5 555 556; цифра в разряде сотен тысяч – 5; всего сотен тысяч – 55.

б) Запишем число 200 четыре раза подряд: 200 200 200 200.
Это число читается как "двести миллиардов двести миллионов двести тысяч двести".
Предыдущее число: 200 200 200 199 (двести миллиардов двести миллионов двести тысяч сто девяносто девять).
Последующее число: 200 200 200 201 (двести миллиардов двести миллионов двести тысяч двести один).
В разряде сотен тысяч (шестой разряд справа) стоит цифра 2.
Чтобы найти, сколько всего сотен тысяч в этом числе, нужно отбросить последние 5 цифр: $200 200 200 200 \div 100 000 = 2 002 002$ (остаток 200). Всего в числе 2 002 002 сотен тысяч.
Ответ: число 200 200 200 200; предыдущее 200 200 200 199; последующее 200 200 200 201; цифра в разряде сотен тысяч – 2; всего сотен тысяч – 2 002 002.

в) Запишем число 30 пять раз подряд: 3030303030. Для удобства чтения разделим на классы: 3 030 303 030.
Это число читается как "три миллиарда тридцать миллионов триста три тысячи тридцать".
Предыдущее число: 3 030 303 029 (три миллиарда тридцать миллионов триста три тысячи двадцать девять).
Последующее число: 3 030 303 031 (три миллиарда тридцать миллионов триста три тысячи тридцать один).
В разряде сотен тысяч (шестой разряд справа) стоит цифра 3.
Чтобы найти, сколько всего сотен тысяч в этом числе, нужно отбросить последние 5 цифр: $3 030 303 030 \div 100 000 = 30 303$ (остаток 3 030). Всего в числе 30 303 сотен тысяч.
Ответ: число 3 030 303 030; предыдущее 3 030 303 029; последующее 3 030 303 031; цифра в разряде сотен тысяч – 3; всего сотен тысяч – 30 303.

5 Найди и исправь ошибки:

$ \begin{array}{r} 3578 \\ + \ 635 \\ \hline 3203 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 6024 \\ - \ 258 \\ \hline 6776 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 75200 \\ - \ 450 \\ \hline 70700 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 2800 \\ \times \ 90 \\ \hline 252000 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 80991 \\ -8073 \\ \hline \quad 261 \\ - \quad 261 \\ \hline \quad \quad 0 \end{array} \begin{array}{|l} 897 \\ \hline 93 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 24690 \\ - \ 2016 \\ \hline 4536 \\ - \ 4536 \\ \hline 0 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 960 \\ - \ 6 \\ \hline 36 \\ - \ 36 \\ \hline 0 \end{array} $$ \begin{array}{|l} 504 \\ \hline 49 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 756 \\ \times \ 308 \\ \hline 6048 \\ + \ 2268\phantom{0} \\ \hline 28728 \end{array} $

3578 + 635

В примере допущена ошибка при сложении. При сложении столбиком были неверно выполнены переходы через разряд.

Правильное решение:

$ \begin{array}{r} \stackrel{1}{3}\stackrel{1}{5}\stackrel{1}{7}8 \\ + \quad 635 \\ \hline 4213 \end{array} $

• Единицы: $8 + 5 = 13$. Пишем 3, переносим 1 в разряд десятков.
• Десятки: $7 + 3 + 1 = 11$. Пишем 1, переносим 1 в разряд сотен.
• Сотни: $5 + 6 + 1 = 12$. Пишем 2, переносим 1 в разряд тысяч.
• Тысячи: $3 + 1 = 4$. Пишем 4.

Правильный результат: 4213.

Ответ: $4213$.

6024 - 258

В примере допущена ошибка при вычитании. Были неверно выполнены заёмы из старших разрядов.

Правильное решение:

$ \begin{array}{r} \stackrel{\cdot}{6}\stackrel{9}{\stackrel{10}{\stackrel{\cdot}{0}}}\stackrel{11}{\stackrel{\cdot}{2}}\stackrel{14}{\stackrel{}{4}} \\ - \quad 258 \\ \hline 5766 \end{array} $

• Единицы: из 4 нельзя вычесть 8. Занимаем 1 у десятков. $14 - 8 = 6$.
• Десятки: в десятках остался 1. Из 1 нельзя вычесть 5. Занимаем у сотен. В сотнях 0, поэтому занимаем у тысяч. $11 - 5 = 6$.
• Сотни: после заёма у тысяч и для десятков в сотнях осталось 9. $9 - 2 = 7$.
• Тысячи: после заёма в тысячах осталось 5. Сносим 5.

Правильный результат: 5766.

Ответ: $5766$.

75200 - 450

В примере допущена ошибка при вычитании, неверно выполнен заём через разряд.

Правильное решение:

$ \begin{array}{r} 7\stackrel{\cdot}{5}\stackrel{11}{\stackrel{\cdot}{2}}\stackrel{10}{\stackrel{}{0}}0 \\ - \quad 450 \\ \hline 74750 \end{array} $

• Единицы: $0 - 0 = 0$.
• Десятки: из 0 нельзя вычесть 5. Занимаем 1 у сотен. $10 - 5 = 5$.
• Сотни: в сотнях остался 1. Из 1 нельзя вычесть 4. Занимаем 1 у тысяч. $11 - 4 = 7$.
• Тысячи: в тысячах осталось 4. Сносим 4.
• Десятки тысяч: сносим 7.

Правильный результат: 74750.

Ответ: $74750$.

2800 × 90

В примере допущена ошибка в вычислении. Результат должен содержать три нуля, так как один ноль есть в числе 90 и два нуля в числе 2800. В ответе только два нуля.

Правильное решение: $28 \times 9 = 252$. Дописываем три нуля.

$2800 \times 90 = 252000$.

Ответ: $252000$.

80991 : 897

В примере допущена ошибка на втором шаге деления. После вычитания ($8099 - 8073 = 26$) и сноса следующей цифры (1) должно получиться число 261. В примере ошибочно указано 2691, что привело к неверному частному.

Правильное решение:

$ \begin{array}{r|l} 80991 & 897 \\ \cline{2-2} -8073\phantom{1} & 90 \\ \hline 261 & \\ \end{array} $

• Делим 8099 на 897. Берём по 9. $897 \times 9 = 8073$. Остаток $8099 - 8073 = 26$.
• Сносим 1, получаем 261.
• Число 261 меньше делителя 897, поэтому в частное записываем 0.

Результат: частное 90 и остаток 261.

Ответ: $90$ (ост. $261$).

246960 : 504

В примере допущена ошибка в конце вычисления. После того как остаток стал равен нулю, в делимом остался еще один ноль, который необходимо перенести в частное.

Правильное решение:

$ \begin{array}{r|l} 246960 & 504 \\ \cline{2-2} -2016\phantom{00} & 490 \\ \hline 4536\phantom{0} & \\ -4536\phantom{0} & \\ \hline 00 & \end{array} $

• Делим 2469 на 504. Берём по 4. $504 \times 4 = 2016$. Остаток $2469 - 2016 = 453$.
• Сносим 6, получаем 4536. Делим 4536 на 504. Берём по 9. $504 \times 9 = 4536$. Остаток 0.
• Сносим 0. Делим 0 на 504, получаем 0. Записываем 0 в частное.

Правильное частное — 490.

Ответ: $490$.

756 × 308

В примере допущена ошибка при умножении в столбик. Второе неполное произведение ($756 \times 3$) смещено на одну позицию влево, как при умножении на десятки, а не на две позиции, как требуется при умножении на сотни (поскольку цифра 3 стоит в разряде сотен).

Правильное решение:

$ \begin{array}{r} \times \begin{array}{r}756 \\ 308 \end{array} \\ \hline \begin{array}{r} 6048 \\ 000\phantom{0} \\ 2268\phantom{00} \end{array} \\ \hline 232848 \end{array} $

Сначала умножаем 756 на 8 единиц, получаем 6048. Затем умножаем 756 на 0 десятков, получаем 0. Затем умножаем 756 на 3 сотни, получаем 2268 сотен (226800). Складываем неполные произведения: $6048 + 0 + 226800 = 232848$.

Ответ: $232848$.