Страница 32, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 a) 57 яблок разложили на кучки по 6 яблок в каждой. Сколько получилось кучек и сколько яблок осталось?

б) Когда сливы разложили на 36 тарелок по 12 слив, осталось ещё 7 слив. Сколько было слив?

в) Было 120 конфет. После того как каждому ученику раздали по 4 конфеты, осталось 12 конфет. Сколько было учеников?

а) Чтобы определить количество кучек и оставшиеся яблоки, необходимо выполнить деление с остатком. Общее число яблок (57) нужно разделить на количество яблок в одной кучке (6).
$57 \div 6 = 9$ (остаток $3$).
Частное от деления (9) показывает, сколько получилось полных кучек. Остаток (3) — это количество яблок, которые не вошли в кучки.
Проверка: $9 \cdot 6 + 3 = 54 + 3 = 57$.
Ответ: получилось 9 кучек и 3 яблока осталось.

б) Чтобы найти общее количество слив, нужно сначала вычислить, сколько слив было разложено по тарелкам, а затем прибавить к этому числу оставшиеся сливы.
1. Узнаем, сколько слив на 36 тарелках:
$36 \cdot 12 = 432$ (сливы).
2. Прибавим оставшиеся 7 слив:
$432 + 7 = 439$ (слив).
Ответ: всего было 439 слив.

в) Чтобы найти количество учеников, нужно сначала определить, сколько всего конфет было роздано, а затем разделить это число на количество конфет, которое получил каждый ученик.
1. Узнаем, сколько конфет раздали, вычитая из общего числа оставшиеся конфеты:
$120 - 12 = 108$ (конфет).
2. Разделим количество розданных конфет на 4, чтобы узнать количество учеников:
$108 \div 4 = 27$ (учеников).
Ответ: было 27 учеников.

4 Пользуясь формулой деления с остатком $a = b \cdot c + r$, где $r < b$, заполни таблицу:

Делимое | $a$ | 29 | 46 | 94

Делитель | $b$ | 7 | 9 | 9

Частное | $c$ | 4 | 7 | 3

Остаток | $r$ | | 5 | 1 | 4

Для заполнения таблицы воспользуемся формулой деления с остатком: $a = b \cdot c + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное, а $r$ — остаток, причем по условию $r < b$.

Заполнение первого столбца (нахождение остатка r):

Дано: делимое $a = 29$, делитель $b = 7$, частное $c = 4$.

Чтобы найти остаток $r$, выразим его из основной формулы: $r = a - b \cdot c$.

Подставим известные значения в формулу:

$r = 29 - 7 \cdot 4 = 29 - 28 = 1$.

Проверим, выполняется ли условие $r < b$: $1 < 7$. Условие выполнено.

Ответ: 1.

Заполнение второго столбца (нахождение делимого a):

Дано: делитель $b = 9$, частное $c = 7$, остаток $r = 5$.

Чтобы найти делимое $a$, используем исходную формулу $a = b \cdot c + r$.

Подставим известные значения:

$a = 9 \cdot 7 + 5 = 63 + 5 = 68$.

Проверим условие $r < b$: $5 < 9$. Условие выполнено.

Ответ: 68.

Заполнение третьего столбца (нахождение делителя b):

Дано: делимое $a = 46$, частное $c = 3$, остаток $r = 1$.

Чтобы найти делитель $b$, выразим его из основной формулы. Сначала найдем произведение $b \cdot c = a - r$, а затем $b = (a - r) / c$.

Подставим известные значения:

$b = (46 - 1) / 3 = 45 / 3 = 15$.

Проверим условие $r < b$: $1 < 15$. Условие выполнено.

Ответ: 15.

Заполнение четвертого столбца (нахождение частного c):

Дано: делимое $a = 94$, делитель $b = 9$, остаток $r = 4$.

Чтобы найти частное $c$, выразим его из основной формулы. Сначала найдем произведение $b \cdot c = a - r$, а затем $c = (a - r) / b$.

Подставим известные значения:

$c = (94 - 4) / 9 = 90 / 9 = 10$.

Проверим условие $r < b$: $4 < 9$. Условие выполнено.

Ответ: 10.

5 а) Один прямоугольник имеет ширину 6 дм, а площадь 504 $\text{дм}^2$. Второй прямоугольник имеет ширину 8 дм, а площадь 336 $\text{дм}^2$. У какого прямоугольника больше длина и на сколько?

б) Мастер за 6 ч сделал 504 одинаковые детали, а его ученик за 8 ч сделал 336 таких же деталей. У кого из них производительность больше и на сколько?

Сравни задачи. Что ты замечаешь? Придумай задачу с другими величинами, которая имеет такое же решение.

а)

Чтобы найти длину прямоугольника, нужно его площадь разделить на ширину.

1. Найдем длину первого прямоугольника:
$504 \div 6 = 84$ дм.

2. Найдем длину второго прямоугольника:
$336 \div 8 = 42$ дм.

3. Теперь сравним длины и найдем разницу:
$84 - 42 = 42$ дм.

Ответ: Длина первого прямоугольника больше на 42 дм.

б)

Чтобы найти производительность, нужно общее количество сделанных деталей разделить на время работы.

1. Найдем производительность мастера:
$504 \div 6 = 84$ деталей в час.

2. Найдем производительность ученика:
$336 \div 8 = 42$ детали в час.

3. Сравним их производительность и найдем разницу:
$84 - 42 = 42$ детали в час.

Ответ: Производительность мастера больше на 42 детали в час.

Сравни задачи. Что ты замечаешь? Придумай задачу с другими величинами, которая имеет такое же решение.

Я замечаю, что обе задачи используют одинаковые числа (504, 6, 336, 8) и решаются с помощью одних и тех же математических действий: сначала деление, а затем вычитание. Из-за этого числовой ответ в обеих задачах получается одинаковым.

Эти задачи описывают разные ситуации, но их математическая структура одинакова. В первом случае это зависимость между площадью, длиной и шириной ($S = a \cdot b$), а во втором — между общим объемом работы, производительностью и временем ($A = v \cdot t$).

Задача с таким же решением (на движение):
Первый поезд проехал 504 км за 6 часов. Второй поезд проехал 336 км за 8 часов. У какого поезда скорость была больше и на сколько?

1. Скорость первого поезда: $504 \div 6 = 84$ км/ч.
2. Скорость второго поезда: $336 \div 8 = 42$ км/ч.
3. Разница в скорости: $84 - 42 = 42$ км/ч.

Ответ: Скорость первого поезда больше на 42 км/ч.

6 Пешеход прошёл $a$ км за $b$ ч, а велосипедист проехал $c$ км за $d$ ч. На сколько километров в час скорость пешехода меньше скорости велосипедиста?

Составь выражение и найди его значение при $a = 20$, $b = 4$, $c = 48$, $d = 3$.

Составь выражение

Чтобы определить, на сколько километров в час скорость пешехода меньше скорости велосипедиста, необходимо сначала найти скорость каждого из них, а затем вычесть скорость пешехода из скорости велосипедиста.

Скорость находится по формуле: $v = S / t$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

1. Найдём скорость пешехода ($v_{п}$). Он прошёл $a$ км за $b$ ч, значит его скорость равна:

$v_{п} = a / b$ (км/ч)

2. Найдём скорость велосипедиста ($v_{в}$). Он проехал $c$ км за $d$ ч, значит его скорость равна:

$v_{в} = c / d$ (км/ч)

3. Найдём разницу скоростей. Для этого вычтем из скорости велосипедиста скорость пешехода:

$v_{в} - v_{п} = (c / d) - (a / b)$

Ответ: $(c / d) - (a / b)$.

Найди его значение при a = 20, b = 4, c = 48, d = 3

Подставим числовые значения в полученное выражение.

1. Скорость пешехода:

$v_{п} = 20 / 4 = 5$ (км/ч)

2. Скорость велосипедиста:

$v_{в} = 48 / 3 = 16$ (км/ч)

3. Разница скоростей:

$16 - 5 = 11$ (км/ч)

Скорость пешехода на 11 км/ч меньше скорости велосипедиста.

Ответ: 11.

7. Найди наименьшее решение неравенства:

а) $y \ge 4005 \cdot 7030;$

б) $z > (27150 : 3 \cdot 80 - 6389 \cdot 26) : 7 + 604 \cdot 508.$

a) $y \ge 4005 \cdot 7030$

Сначала вычислим произведение в правой части неравенства:

$4005 \cdot 7030 = 28155150$

Теперь неравенство имеет вид:

$y \ge 28155150$

Требуется найти наименьшее решение. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак "больше или равно"), наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это $28155150$.

Ответ: 28155150

б) $z > (27150 : 3 \cdot 80 - 6389 \cdot 26) : 7 + 604 \cdot 508$

Для решения этого неравенства необходимо вычислить значение выражения в правой части, соблюдая порядок действий. Выполним вычисления по шагам:

1) $27150 : 3 = 9050$

2) $9050 \cdot 80 = 724000$

3) $6389 \cdot 26 = 166114$

4) $724000 - 166114 = 557886$ (результат выражения в скобках)

5) $557886 : 7 = 79698$

6) $604 \cdot 508 = 306832$

7) $79698 + 306832 = 386530$ (конечный результат правой части)

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$z > 386530$

Так как неравенство строгое ($z$ должен быть строго больше, чем $386530$), наименьшим целым решением будет следующее за $386530$ число.

Наименьшее целое решение: $386530 + 1 = 386531$.

Ответ: 386531

1 Выполни действия с фигурами и запиши равенства. Как складывают и вычитают смешанные числа?

a) $2\frac{1}{4} + 1\frac{2}{4} = $

б) $4\frac{3}{4} - 3\frac{2}{4} = $

в) $3\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = $

г) $2\frac{1}{2} + 3 = $

Чтобы сложить (вычесть) смешанные числа, можно сложить (вычесть) отдельно их целые и дробные части.

Примеры:

1) $8\frac{3}{5} + 2\frac{1}{5} = 10\frac{4}{5}$ (так как $8 + 2 = 10$, $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$);

2) $11\frac{8}{9} - 6\frac{7}{9} = 5\frac{1}{9}$ (так как $11 - 6 = 5$, $\frac{8}{9} - \frac{7}{9} = \frac{1}{9}$);

3) $4\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = 4\frac{5}{7}$ (так как $4 + 0 = 4$, $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$);

4) $9\frac{6}{11} - 2 = 7\frac{6}{11}$ (так как $9 - 2 = 7$, $\frac{6}{11} - 0 = \frac{6}{11}$).

Заметим, что при сложении и вычитании смешанных чисел приведённых правил может оказаться недостаточно. Более сложные случаи мы рассмотрим на следующих уроках.

а) $2\frac{1}{4} + 1\frac{2}{4}$

Чтобы сложить смешанные числа, нужно сложить отдельно их целые и дробные части.

Складываем целые части: $2 + 1 = 3$.

Складываем дробные части: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$.

Соединяем целую и дробную части, получаем $3\frac{3}{4}$.

Ответ: $3\frac{3}{4}$

б) $4\frac{3}{4} - 3\frac{2}{4}$

Чтобы вычесть смешанные числа, нужно вычесть отдельно их целые и дробные части.

Вычитаем целые части: $4 - 3 = 1$.

Вычитаем дробные части: $\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4}$.

Соединяем целую и дробную части, получаем $1\frac{1}{4}$.

Ответ: $1\frac{1}{4}$

в) $3\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$

В этом примере мы вычитаем из смешанного числа дробь. Целая часть уменьшаемого остается без изменений, так как у вычитаемого она равна нулю.

Целая часть: $3 - 0 = 3$.

Вычитаем дробные части: $\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6}$.

Дробь $\frac{2}{6}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{2:2}{6:2} = \frac{1}{3}$.

Соединяем целую и дробную части, получаем $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $3\frac{1}{3}$

г) $2\frac{1}{2} + 3$

В этом примере мы складываем смешанное и целое число. Дробная часть остается без изменений, так как у второго слагаемого она равна нулю.

Складываем целые части: $2 + 3 = 5$.

Дробная часть: $\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$.

Соединяем целую и дробную части, получаем $5\frac{1}{2}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}$

8 Найди вписанные углы и измерь их величину:

Для решения этой задачи необходимо определить, какие из представленных углов являются вписанными, и измерить их величину. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.

Рассмотрим каждый случай:

A

Вершина угла А лежит на окружности, а обе его стороны являются хордами. Следовательно, угол А — вписанный. При измерении его величины с помощью транспортира (или при визуальной оценке) получаем, что его градусная мера составляет приблизительно 60 градусов.

Ответ: Угол A является вписанным, его величина $∠A \approx 60°$.

B

Вершина угла B лежит на окружности, а обе его стороны являются хордами. Таким образом, угол B — вписанный. Это тупой угол. Его примерная величина составляет 125 градусов.

Ответ: Угол B является вписанным, его величина $∠B \approx 125°$.

C

Вершина угла C находится внутри окружности, а не на ней. Согласно определению, такой угол не является вписанным. Это угол между двумя пересекающимися хордами.

Ответ: Угол C не является вписанным.

D

Вершина угла D лежит на окружности, и его стороны являются хордами. Следовательно, угол D — вписанный. Это острый угол. Его примерная величина составляет 35 градусов.

Ответ: Угол D является вписанным, его величина $∠D \approx 35°$.

E

Вершина угла E находится на окружности, а его стороны являются хордами. Это вписанный угол. Его примерная величина составляет 45 градусов.

Ответ: Угол E является вписанным, его величина $∠E \approx 45°$.

F

Вершина угла F лежит на окружности, однако одна его сторона является хордой, а другая — касательной к окружности в точке F. Вписанный угол образуется двумя хордами, поэтому угол F не является вписанным в классическом определении. Это угол между хордой и касательной.

Ответ: Угол F не является вписанным.

9 а) Вписанные углы $A_1$, $A_2$ и $A_3$ опираются на дугу $BC$ (рис. 1). Измерь их величину. Что ты замечаешь?

б) Измерь вписанный угол $E_1$ (рис. 2). Построй и измерь вписанные углы, опирающиеся на ту же дугу $DF$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

в) Проверь свою гипотезу для углов, опирающихся на дугу $MN$ (рис. 3). Почему мы пока не можем считать, что гипотеза доказана для всех вписанных углов?

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

а) Вписанные углы $A_1$, $A_2$ и $A_3$ — это углы $∠BA_1C$, $∠BA_2C$ и $∠BA_3C$. Все они опираются на одну и ту же дугу $BC$. Если измерить эти углы с помощью транспортира, мы обнаружим, что их градусные меры примерно одинаковы. Например, если $∠BA_1C ≈ 35°$, то и $∠BA_2C ≈ 35°$, и $∠BA_3C ≈ 35°$.
Можно заметить, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Ответ: При измерении углов $A_1$, $A_2$ и $A_3$ мы замечаем, что их величины равны: $∠A_1 = ∠A_2 = ∠A_3$.

б) Измерив вписанный угол $E_1$ ($∠DE_1F$), который опирается на дугу $DF$, мы получим некоторую величину. Теперь построим еще один вписанный угол, например $∠DE_2F$, вершина которого ($E_2$) также лежит на окружности и который опирается на ту же дугу $DF$. При измерении этого нового угла мы обнаружим, что его величина равна величине угла $E_1$.
Это наблюдение позволяет сформулировать следующую гипотезу: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Ответ: Измерив угол $E_1$ и построив другие вписанные углы, опирающиеся на ту же дугу $DF$, мы замечаем, что все они равны. Гипотеза: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

в) Для проверки гипотезы рассмотрим угол $∠MK_1N$, опирающийся на дугу $MN$ (рис. 3). Если мы построим любой другой вписанный угол, опирающийся на дугу $MN$, например $∠MK_2N$, то его измерение покажет, что он равен углу $∠MK_1N$. Таким образом, наша гипотеза подтверждается и в этом случае.
Однако мы пока не можем считать эту гипотезу доказанной для абсолютно всех вписанных углов. Причина в том, что проверка на нескольких частных примерах с помощью измерений не является строгим математическим доказательством. Математическое доказательство должно основываться на аксиомах и ранее доказанных теоремах и быть справедливым для любого возможного случая, а не только для тех, которые мы нарисовали и измерили. Измерения могут содержать погрешности и охватывают лишь конечное число случаев, в то время как доказываемое утверждение должно быть верным для бесконечного множества всех возможных вписанных углов.
Ответ: Гипотеза подтверждается и для углов, опирающихся на дугу $MN$. Мы пока не можем считать гипотезу доказанной, потому что проверка на нескольких конкретных примерах с помощью измерений не является строгим математическим доказательством, которое должно быть общим для всех случаев и не зависеть от погрешностей измерений.