Страница 38, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Выполни деление:

$1428 : 42; 30296 : 56; 254415 : 35; 16514 : 718;$

$2924 : 68; 136576 : 64; 710278 : 91; 15830 : 293.$

1428 : 42
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 142. Делим 142 на 42. Подбираем число, которое при умножении на 42 даст результат, близкий к 142. Это 3, так как $42 \times 3 = 126$. Записываем 3 в частное.
2. Находим остаток: $142 - 126 = 16$.
3. Сносим следующую цифру из делимого (8), получаем число 168.
4. Делим 168 на 42. Подбираем число. Это 4, так как $42 \times 4 = 168$. Записываем 4 в частное.
5. Находим остаток: $168 - 168 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 34

30296 : 56
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 302. Делим 302 на 56. Получаем 5. $56 \times 5 = 280$.
2. Остаток: $302 - 280 = 22$.
3. Сносим 9, получаем 229. Делим 229 на 56. Получаем 4. $56 \times 4 = 224$.
4. Остаток: $229 - 224 = 5$.
5. Сносим 6, получаем 56. Делим 56 на 56. Получаем 1. $56 \times 1 = 56$.
6. Остаток: $56 - 56 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 541

254415 : 35
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 254. Делим 254 на 35. Получаем 7. $35 \times 7 = 245$.
2. Остаток: $254 - 245 = 9$.
3. Сносим 4, получаем 94. Делим 94 на 35. Получаем 2. $35 \times 2 = 70$.
4. Остаток: $94 - 70 = 24$.
5. Сносим 1, получаем 241. Делим 241 на 35. Получаем 6. $35 \times 6 = 210$.
6. Остаток: $241 - 210 = 31$.
7. Сносим 5, получаем 315. Делим 315 на 35. Получаем 9. $35 \times 9 = 315$.
8. Остаток: $315 - 315 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 7269

16514 : 718
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 1651. Делим 1651 на 718. Получаем 2. $718 \times 2 = 1436$.
2. Остаток: $1651 - 1436 = 215$.
3. Сносим 4, получаем 2154. Делим 2154 на 718. Получаем 3. $718 \times 3 = 2154$.
4. Остаток: $2154 - 2154 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 23

2924 : 68
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 292. Делим 292 на 68. Получаем 4. $68 \times 4 = 272$.
2. Остаток: $292 - 272 = 20$.
3. Сносим 4, получаем 204. Делим 204 на 68. Получаем 3. $68 \times 3 = 204$.
4. Остаток: $204 - 204 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 43

136576 : 64
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 136. Делим 136 на 64. Получаем 2. $64 \times 2 = 128$.
2. Остаток: $136 - 128 = 8$.
3. Сносим 5, получаем 85. Делим 85 на 64. Получаем 1. $64 \times 1 = 64$.
4. Остаток: $85 - 64 = 21$.
5. Сносим 7, получаем 217. Делим 217 на 64. Получаем 3. $64 \times 3 = 192$.
6. Остаток: $217 - 192 = 25$.
7. Сносим 6, получаем 256. Делим 256 на 64. Получаем 4. $64 \times 4 = 256$.
8. Остаток: $256 - 256 = 0$. Деление окончено.
Ответ: 2134

710278 : 91
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 710. Делим 710 на 91. Получаем 7. $91 \times 7 = 637$.
2. Остаток: $710 - 637 = 73$.
3. Сносим 2, получаем 732. Делим 732 на 91. Получаем 8. $91 \times 8 = 728$.
4. Остаток: $732 - 728 = 4$.
5. Сносим 7, получаем 47. Так как 47 меньше 91, в частное записываем 0.
6. Сносим 8, получаем 478. Делим 478 на 91. Получаем 5. $91 \times 5 = 455$.
7. Остаток: $478 - 455 = 23$. Деление окончено, так как больше цифр в делимом нет. Результат — неполное частное 7805 и остаток 23.
Ответ: 7805 (ост. 23)

15830 : 293
Выполним деление столбиком.
1. Первое неполное делимое — 1583. Делим 1583 на 293. Получаем 5. $293 \times 5 = 1465$.
2. Остаток: $1583 - 1465 = 118$.
3. Сносим 0, получаем 1180. Делим 1180 на 293. Получаем 4. $293 \times 4 = 1172$.
4. Остаток: $1180 - 1172 = 8$. Деление окончено, так как больше цифр в делимом нет. Результат — неполное частное 54 и остаток 8.
Ответ: 54 (ост. 8)

2 Игра «Головоломки Стивенса».

Среди данных примеров только один решен верно. Найди его за одну минуту.

$1612 : 31 = 502; \quad 21888 : 72 = 34;$

$8589 : 409 = 21; \quad 61908 : 67 = 94.$

Чтобы найти единственный верный пример, необходимо проверить каждое из предложенных равенств. Сделать это можно двумя способами: быстрым (с помощью оценки результата) и точным (выполнив деление или умножение). Проверим все примеры.

1612 : 31 = 502;

Для быстрой проверки можно округлить числа: $1600 : 30 \approx 53$. Ответ $502$ очень далек от нашей оценки.Выполним точную проверку умножением делителя на частное:$31 \times 502 = 15562$.Поскольку $15562 \neq 1612$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

21 888 : 72 = 34;

Выполним оценку: $21 000 : 70 \approx 300$. Ответ $34$ сильно отличается от оценки.Выполним точную проверку умножением:$72 \times 34 = 2448$.Поскольку $2448 \neq 21 888$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

8589 : 409 = 21;

Выполним оценку: $8000 : 400 = 20$. Ответ $21$ очень близок к нашей оценке, что делает его вероятным кандидатом.Выполним точную проверку умножением:$409 \times 21 = 409 \times (20 + 1) = 8180 + 409 = 8589$.Поскольку $8589 = 8589$, равенство верно.
Ответ: верно.

61 908 : 67 = 94.

Выполним оценку: $62 000 : 70 \approx 885$. Ответ $94$ очень далек от нашей оценки.Выполним точную проверку умножением:$67 \times 94 = 6298$.Поскольку $6298 \neq 61 908$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственный пример, который решен правильно, это $8589 : 409 = 21$.

3 БЛИЦтурнир.

а) Пешеходу надо пройти $a$ км. Он шёл 4 ч со скоростью $b$ км/ч. Сколько километров ему осталось пройти?

б) Автобус ехал 2 ч со скоростью $c$ км/ч и 3 ч со скоростью $d$ км/ч. Какое расстояние проехал автобус?

в) Самолёт пролетел $y$ км за 2 ч. Какое расстояние он пролетит за 5 ч, если будет лететь с той же скоростью?

г) Лодка проплыла вниз по реке $x$ км за 3 ч, а обратный путь — за 4 ч. На сколько меньше была её скорость на обратном пути?

а) Чтобы найти, сколько километров осталось пройти пешеходу, нужно из общего расстояния $a$ км вычесть расстояние, которое он уже прошёл. Расстояние, которое он прошёл, равно произведению его скорости $b$ км/ч на время в пути 4 ч, то есть $4 \cdot b$ км. Таким образом, оставшееся расстояние вычисляется как разность общего и пройденного расстояний.

Ответ: $a - 4b$ (км)

б) Чтобы найти общее расстояние, которое проехал автобус, нужно сложить расстояния, пройденные на каждом из двух участков пути. Расстояние, пройденное за 2 часа со скоростью $c$ км/ч, равно $2 \cdot c$ км. Расстояние, пройденное за 3 часа со скоростью $d$ км/ч, равно $3 \cdot d$ км. Общее расстояние равно сумме этих двух расстояний.

Ответ: $2c + 3d$ (км)

в) Сначала найдём скорость самолёта. Она постоянна и равна расстоянию, делённому на время: $v = \frac{y}{2}$ км/ч. Чтобы найти расстояние, которое самолёт пролетит за 5 часов с этой же скоростью, нужно умножить найденную скорость на новое время (5 ч): $S = v \cdot 5 = \frac{y}{2} \cdot 5$.

Ответ: $\frac{5y}{2}$ (км)

г) Сначала найдём скорость лодки на каждом участке пути. Скорость вниз по реке равна расстоянию $x$ км, делённому на время 3 ч: $v_1 = \frac{x}{3}$ км/ч. Скорость на обратном пути равна тому же расстоянию $x$ км, делённому на время 4 ч: $v_2 = \frac{x}{4}$ км/ч. Чтобы найти, на сколько меньше была её скорость на обратном пути, нужно вычесть из большей скорости (вниз по реке) меньшую (на обратном пути): $\Delta v = v_1 - v_2 = \frac{x}{3} - \frac{x}{4}$. Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем: $\frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} = \frac{x}{12}$ км/ч.

Ответ: на $\frac{x}{12}$ км/ч

4. Реши уравнения:

а) $93 : x = 6231$

б) $15768 : y = 36$

в) $z : 407 = 814$

а) $93 \cdot x = 6231$

В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

$x = 6231 : 93$

Выполним деление столбиком:

$ \begin{array}{r|l} 6231 & 93 \\ \cline{2-2} -558 & 67 \\ \hline 651 \\ -651 \\ \hline 0 \end{array} $

$x = 67$

Проверка: $93 \cdot 67 = 6231$. Верно.

Ответ: $x = 67$

б) $15768 : y = 36$

В этом уравнении $y$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

$y = 15768 : 36$

Выполним деление столбиком:

$ \begin{array}{r|l} 15768 & 36 \\ \cline{2-2} -144 & 438 \\ \hline 136 \\ -108 \\ \hline 288 \\ -288 \\ \hline 0 \end{array} $

$y = 438$

Проверка: $15768 : 438 = 36$. Верно.

Ответ: $y = 438$

в) $z : 407 = 814$

В этом уравнении $z$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$z = 814 \cdot 407$

Выполним умножение столбиком:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 814 \\ 407 \\ \hline 5698 \\ 000\phantom{0} \\ 3256\phantom{00} \\ \hline 331298 \end{array} $

$z = 331298$

Проверка: $331298 : 407 = 814$. Верно.

Ответ: $z = 331298$

7 Какую часть каждый из отрезков $AB, CD$ и $EF$ составляет от другого отрезка? Сделай записи и найди правильные и неправильные части.

$AB = \square CD$

$AB = \square EF$

$CD = \square AB$

$CD = \square EF$

$EF = \square AB$

$EF = \square CD$

Для решения этой задачи необходимо определить длину каждого отрезка в условных единицах (делениях), а затем найти их соотношения.

1. Посчитаем количество делений в каждом отрезке:
   • Отрезок AB состоит из 4 делений.
   • Отрезок CD состоит из 3 делений.
   • Отрезок EF состоит из 6 делений.
2. Теперь найдем, какую часть один отрезок составляет от другого, разделив их длины.

AB = ... CD

Чтобы найти, какую часть отрезок AB составляет от CD, разделим длину AB на длину CD: $ \frac{AB}{CD} = \frac{4}{3} $. Это неправильная часть (дробь), так как числитель больше знаменателя.
Ответ: $ AB = \frac{4}{3} CD $

AB = ... EF

Чтобы найти, какую часть отрезок AB составляет от EF, разделим длину AB на длину EF: $ \frac{AB}{EF} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $. Это правильная часть (дробь), так как числитель меньше знаменателя.
Ответ: $ AB = \frac{2}{3} EF $

CD = ... AB

Чтобы найти, какую часть отрезок CD составляет от AB, разделим длину CD на длину AB: $ \frac{CD}{AB} = \frac{3}{4} $. Это правильная часть (дробь), так как числитель меньше знаменателя.
Ответ: $ CD = \frac{3}{4} AB $

CD = ... EF

Чтобы найти, какую часть отрезок CD составляет от EF, разделим длину CD на длину EF: $ \frac{CD}{EF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. Это правильная часть (дробь), так как числитель меньше знаменателя.
Ответ: $ CD = \frac{1}{2} EF $

EF = ... AB

Чтобы найти, какую часть отрезок EF составляет от AB, разделим длину EF на длину AB: $ \frac{EF}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $. Это неправильная часть (дробь), так как числитель больше знаменателя.
Ответ: $ EF = \frac{3}{2} AB $

EF = ... CD

Чтобы найти, какую часть отрезок EF составляет от CD, разделим длину EF на длину CD: $ \frac{EF}{CD} = \frac{6}{3} = 2 $. Число 2 можно представить в виде неправильной дроби $ \frac{2}{1} $, поэтому это неправильная часть.
Ответ: $ EF = 2 CD $

Таким образом, мы нашли все отношения и классифицировали их:

Правильные части:

• Отрезок AB составляет $ \frac{2}{3} $ от отрезка EF.
• Отрезок CD составляет $ \frac{3}{4} $ от отрезка AB.
• Отрезок CD составляет $ \frac{1}{2} $ от отрезка EF.

Неправильные части:

• Отрезок AB составляет $ \frac{4}{3} $ от отрезка CD.
• Отрезок EF составляет $ \frac{3}{2} $ от отрезка AB.
• Отрезок EF составляет $ 2 $ целых части от отрезка CD.

8 Торт весит 800 г.

а) Сколько весят вместе $ \frac{3}{16} $ и $ \frac{7}{16} $ этого торта? Сколько весит оставшаяся часть?

б) Сколько весят 2 торта и ещё $ \frac{7}{8} $ торта?

в) Сколько весят $ 4\frac{2}{5} $ торта?

1 — 800 г

$ \frac{3}{16} $

$ \frac{7}{16} $

ост.

? г

? г

? г

а) Сколько весят вместе 3/16 и 7/16 этого торта? Сколько весит оставшаяся часть?

1. Сначала найдем, какую общую часть торта составляют два куска. Для этого сложим дроби:

$\frac{3}{16} + \frac{7}{16} = \frac{3+7}{16} = \frac{10}{16}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

2. Теперь вычислим, сколько весит эта часть торта. Общий вес торта — 800 г. Находим $\frac{10}{16}$ от 800:

$800 \cdot \frac{10}{16} = \frac{800 \cdot 10}{16} = 50 \cdot 10 = 500$ г.

3. Затем найдем вес оставшейся части. Весь торт — это 1 (или $\frac{16}{16}$). Вычтем из него найденную часть:

$1 - \frac{10}{16} = \frac{16}{16} - \frac{10}{16} = \frac{6}{16}$

4. Вычислим вес оставшейся части. Можно просто вычесть из общего веса вес двух кусков:

$800 \text{ г} - 500 \text{ г} = 300 \text{ г}.$

Или можно найти вес части $\frac{6}{16}$ от 800 г:

$800 \cdot \frac{6}{16} = \frac{800 \cdot 6}{16} = 50 \cdot 6 = 300$ г.

Ответ: вместе части весят 500 г, а оставшаяся часть весит 300 г.

б) Сколько весят 2 торта и ещё 7/8 торта?

Нужно найти вес $2\frac{7}{8}$ торта. Вес одного торта — 800 г.

1. Найдем вес двух целых тортов:

$2 \cdot 800 = 1600$ г.

2. Найдем вес $\frac{7}{8}$ торта:

$800 \cdot \frac{7}{8} = \frac{800 \cdot 7}{8} = 100 \cdot 7 = 700$ г.

3. Сложим полученные значения:

$1600 + 700 = 2300$ г (или 2 кг 300 г).

Ответ: 2300 г.

в) Сколько весят 4 2/5 торта?

Нужно найти вес $4\frac{2}{5}$ торта. Вес одного торта — 800 г.

1. Представим смешанное число $4\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби:

$4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5}$

2. Умножим вес одного торта на эту дробь:

$800 \cdot \frac{22}{5} = \frac{800 \cdot 22}{5} = 160 \cdot 22 = 3520$ г.

Полученный вес можно выразить в килограммах: 3520 г = 3 кг 520 г.

Ответ: 3520 г.

9 Сравни части величин:

$\frac{7}{25}$ $\frac{16}{25}$; $\frac{8}{6}$ $1$; $5\frac{1}{3}$ $5\frac{1}{8}$; $6\frac{5}{9}$ $6+\frac{5}{9}$;

$14\%$ $\frac{14}{96}$; $\frac{12}{13}$ $\frac{13}{12}$; $7\frac{2}{5}$ $4\frac{3}{5}$; $4\frac{2}{3}$ $4-\frac{2}{3}$.

$\frac{7}{25} \square \frac{16}{25}$

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. У дробей $ \frac{7}{25} $ и $ \frac{16}{25} $ одинаковый знаменатель 25. Сравниваем числители: $ 7 < 16 $. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй, то и первая дробь меньше второй. Ответ: $ \frac{7}{25} < \frac{16}{25} $

$\frac{8}{6} \square 1$

Дробь $ \frac{8}{6} $ является неправильной, так как её числитель (8) больше знаменателя (6). Любая неправильная дробь больше единицы. Альтернативно, можно представить 1 как дробь со знаменателем 6: $ 1 = \frac{6}{6} $. Сравнивая $ \frac{8}{6} $ и $ \frac{6}{6} $, видим, что числитель $ 8 > 6 $, поэтому $ \frac{8}{6} > \frac{6}{6} $. Ответ: $ \frac{8}{6} > 1 $

$5\frac{1}{3} \square 5\frac{1}{8}$

При сравнении смешанных чисел с одинаковой целой частью необходимо сравнить их дробные части. Целые части обоих чисел равны 5. Сравним дробные части: $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{1}{8} $. Когда у дробей одинаковые числители (в данном случае 1), больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $ 3 < 8 $, то $ \frac{1}{3} > \frac{1}{8} $. Следовательно, $ 5\frac{1}{3} $ больше, чем $ 5\frac{1}{8} $. Ответ: $ 5\frac{1}{3} > 5\frac{1}{8} $

$6\frac{5}{9} \square 6 + \frac{5}{9}$

Смешанное число по определению представляет собой сумму его целой и дробной частей. Таким образом, запись $ 6\frac{5}{9} $ является сокращенной формой для $ 6 + \frac{5}{9} $. Следовательно, данные выражения равны. Ответ: $ 6\frac{5}{9} = 6 + \frac{5}{9} $

$14\% \square \frac{14}{96}$

Чтобы сравнить процент и дробь, приведем их к общему виду — к дробям. Процент — это сотая доля, поэтому $ 14\% $ можно записать как дробь $ \frac{14}{100} $. Теперь сравним дроби $ \frac{14}{100} $ и $ \frac{14}{96} $. У этих дробей одинаковые числители, равные 14. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравнивая знаменатели, получаем $ 100 > 96 $. Следовательно, $ \frac{14}{100} < \frac{14}{96} $. Ответ: $ 14\% < \frac{14}{96} $

$\frac{12}{13} \square \frac{13}{12}$

Сравним дроби, определив их тип. Дробь $ \frac{12}{13} $ — правильная, так как её числитель (12) меньше знаменателя (13). Любая правильная дробь меньше 1. Дробь $ \frac{13}{12} $ — неправильная, так как её числитель (13) больше знаменателя (12). Любая неправильная дробь больше 1. Поскольку $ \frac{12}{13} < 1 $ и $ \frac{13}{12} > 1 $, то первая дробь меньше второй. Ответ: $ \frac{12}{13} < \frac{13}{12} $

$7\frac{2}{5} \square 4\frac{3}{5}$

При сравнении смешанных чисел сначала сравнивают их целые части. Целая часть первого числа — 7, а второго — 4. Так как $ 7 > 4 $, то первое число больше второго, независимо от их дробных частей. Ответ: $ 7\frac{2}{5} > 4\frac{3}{5} $

$4\frac{2}{3} \square 4 - \frac{2}{3}$

Рассмотрим оба выражения. Первое выражение, $ 4\frac{2}{3} $, — это смешанное число, равное сумме $ 4 + \frac{2}{3} $. Это значение больше 4. Второе выражение, $ 4 - \frac{2}{3} $, — это разность, результат которой меньше 4. Число, которое больше 4, всегда больше числа, которое меньше 4. Можно также вычислить второе выражение: $ 4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $. Сравнивая $ 4\frac{2}{3} $ и $ 3\frac{1}{3} $, видим, что целая часть $ 4 > 3 $, поэтому первое число больше. Ответ: $ 4\frac{2}{3} > 4 - \frac{2}{3} $

После повышения цен на 10% костюм стал стоить 2750 р. Сколько рублей стоил этот костюм до повышения цен? На сколько рублей увеличилась его цена?

Сколько рублей стоил этот костюм до повышения цен?
Пусть первоначальная цена костюма, которую мы ищем, составляет $x$ рублей. Эту цену мы принимаем за 100%.
Цена была повышена на 10%. Следовательно, новая цена составляет 100% + 10% = 110% от первоначальной.
Мы знаем, что новая цена равна 2750 рублей. Составим пропорцию, чтобы найти первоначальную цену $x$:
$x$ рублей — 100%
2750 рублей — 110%
Чтобы найти $x$, воспользуемся правилом пропорции:
$x = \frac{2750 \cdot 100}{110}$
Сократим дробь на 10:
$x = \frac{2750 \cdot 10}{11} = \frac{27500}{11} = 2500$ рублей.
Таким образом, первоначальная стоимость костюма составляла 2500 рублей.
Ответ: 2500 рублей.

На сколько рублей увеличилась его цена?
Чтобы найти, на сколько рублей увеличилась цена, нужно вычесть из новой цены первоначальную:
$2750 - 2500 = 250$ рублей.
Другой способ — найти 10% от первоначальной цены:
$2500 \cdot \frac{10}{100} = 2500 \cdot 0.1 = 250$ рублей.
Ответ: на 250 рублей.

11 В первой вазе лежало $9$ яблок, во второй — на $2$ яблока больше, чем в первой, а в третьей вазе — в $4$ раза меньше, чем в первой и второй вазах вместе. Сколько яблок лежало в четвёртой вазе, если во всех четырёх вазах лежало $32$ яблока?

I II III IV

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём количество яблок во второй вазе.
В первой вазе было 9 яблок, а во второй — на 2 яблока больше.
$9 + 2 = 11$ (яблок) — лежало во второй вазе.

2. Найдём общее количество яблок в первой и второй вазах.
Для этого сложим количество яблок из этих двух ваз.
$9 + 11 = 20$ (яблок) — лежало в первой и второй вазах вместе.

3. Найдём количество яблок в третьей вазе.
В третьей вазе было в 4 раза меньше яблок, чем в первой и второй вазах вместе.
$20 / 4 = 5$ (яблок) — лежало в третьей вазе.

4. Найдём количество яблок в четвёртой вазе.
Всего в четырёх вазах было 32 яблока. Чтобы узнать, сколько яблок в четвёртой вазе, нужно из общего количества вычесть сумму яблок в первых трёх вазах.
Сначала найдём, сколько яблок в первых трёх вазах вместе: $9 + 11 + 5 = 25$ (яблок).
Теперь вычтем это количество из общего числа яблок: $32 - 25 = 7$ (яблок).

Ответ: в четвёртой вазе лежало 7 яблок.

На круговой диаграмме показано рекомендуемое врачами распределение питания в течение дня.

Ужин $15 \%$

Завтрак $25 \%$

Второй завтрак $15 \%$

Обед $45 \%$

1) Сколько раз в день рекомендуют питаться врачи?

2) Какие соотношения можно установить между завтраком, вторым завтраком, обедом и ужином?

3) На какую половину дня приходится большая часть дневного рациона питания?

1) Сколько раз в день рекомендуют питаться врачи?

На круговой диаграмме показано четыре приема пищи: завтрак, второй завтрак, обед и ужин. Следовательно, врачи рекомендуют питаться четыре раза в день.

Ответ: 4 раза.

2) Какие соотношения можно установить между завтраком, вторым завтраком, обедом и ужином?

Исходя из данных диаграммы, процентное соотношение калорийности приемов пищи можно записать в виде пропорции:

Завтрак : Второй завтрак : Обед : Ужин = $25\% : 15\% : 45\% : 15\%$

Это соотношение можно упростить, разделив все части на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$25:15:45:15 = (25 \div 5) : (15 \div 5) : (45 \div 5) : (15 \div 5) = 5:3:9:3$

Также можно установить, что доля обеда ($45\%$) в 3 раза больше доли второго завтрака ($15\%$) и ужина ($15\%$), так как $45\% / 15\% = 3$. Доли второго завтрака и ужина равны. Доля завтрака ($25\%$) относится к доле обеда ($45\%$) как $25:45$ или $5:9$.

Ответ: Соотношение завтрака, второго завтрака, обеда и ужина составляет $5:3:9:3$.

3) На какую половину дня приходится бóльшая часть дневного рациона питания?

Чтобы ответить на этот вопрос, разделим приемы пищи на две половины дня: первую (утреннюю) и вторую (дневную и вечернюю).

К первой половине дня отнесем завтрак и второй завтрак. Их общая доля в рационе составляет:

$25\% + 15\% = 40\%$

Ко второй половине дня отнесем обед и ужин. Их общая доля в рационе составляет:

$45\% + 15\% = 60\%$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $60\% > 40\%$. Следовательно, бóльшая часть дневного рациона приходится на вторую половину дня.

Ответ: На вторую половину дня.

2 Вода занимает $\frac{7}{10}$ поверхности Земли, а суша — лишь $\frac{3}{10}$ её часть. Построй круговую диаграмму, показывающую соотношение суши и водной поверхности на Земле.

Для построения круговой диаграммы, которая наглядно покажет соотношение суши и воды на поверхности Земли, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Анализ исходных данных

   Всю поверхность Земли принимаем за одну целую часть, или $1$. По условию задачи нам даны доли, которые занимают вода и суша:

   • Доля воды: $ \frac{7}{10} $
   • Доля суши: $ \frac{3}{10} $

   Чтобы убедиться, что мы учли всю поверхность, сложим эти доли: $ \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7+3}{10} = \frac{10}{10} = 1 $. Сумма равна единице, значит, данные охватывают всю поверхность Земли.

2. Расчет углов для секторов диаграммы

   Круговая диаграмма представляет собой круг, полный угол которого составляет $360^\circ$. Чтобы найти, какую часть круга (какой сектор) будет занимать каждая величина, нужно умножить долю этой величины на $360^\circ$.

   • Вычисляем центральный угол для сектора "Вода":
     Этот сектор будет занимать $ \frac{7}{10} $ от всего круга.
     $ \alpha_{воды} = \frac{7}{10} \times 360^\circ = 7 \times \frac{360^\circ}{10} = 7 \times 36^\circ = 252^\circ $

   • Вычисляем центральный угол для сектора "Суша":
     Этот сектор будет занимать $ \frac{3}{10} $ от всего круга.
     $ \alpha_{суши} = \frac{3}{10} \times 360^\circ = 3 \times \frac{360^\circ}{10} = 3 \times 36^\circ = 108^\circ $

   Проверим правильность расчетов, сложив полученные углы: $ 252^\circ + 108^\circ = 360^\circ $. Сумма углов равна полному кругу, значит, расчеты верны.

3. Построение и описание диаграммы

   Чтобы построить диаграмму, начертите окружность с помощью циркуля. Из центра окружности проведите радиус (линию к любой точке на окружности). Затем с помощью транспортира отложите от этого радиуса угол $108^\circ$ и проведите второй радиус. Получившийся сектор будет изображать сушу. Оставшаяся часть круга с углом $252^\circ$ будет изображать воду. Для наглядности секторы можно закрасить разными цветами (например, синим для воды и коричневым/зеленым для суши) и подписать.

Ниже представлен пример построенной диаграммы.

• ■ Вода — $ \frac{7}{10} $ ($252^\circ$)
• ■ Суша — $ \frac{3}{10} $ ($108^\circ$)

Ответ: Для построения круговой диаграммы необходимо разделить круг на два сектора. Сектор, соответствующий водной поверхности, должен иметь центральный угол $252^\circ$. Сектор, соответствующий суше, должен иметь центральный угол $108^\circ$.

3 Вася собирает «Киндер-сюрпризы». У него уже собрано 15 крокодильчиков, 9 львят, 6 машинок и 6 вертолётов. Ответь на вопросы и построй круговую диаграмму.

1) Сколько всего игрушек-сюрпризов у Васи?

2) Какая часть всех игрушек соответствует каждому виду?

3) Чему равны центральные углы круговой диаграммы, соответствующие каждому виду игрушек?

1) Сколько всего игрушек-сюрпризов у Васи?

Чтобы найти общее количество игрушек, необходимо сложить количество игрушек каждого вида, которые собрал Вася.

$15$ (крокодильчиков) $+ 9$ (львят) $+ 6$ (машинок) $+ 6$ (вертолётов) $= 36$ (игрушек).

Ответ: всего у Васи 36 игрушек-сюрпризов.

2) Какая часть всех игрушек соответствует каждому виду?

Чтобы определить, какую часть от общего числа составляют игрушки каждого вида, нужно количество игрушек данного вида разделить на общее количество всех игрушек (36).

Крокодильчики: $\frac{15}{36} = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$
Львята: $\frac{9}{36} = \frac{9 \div 9}{36 \div 9} = \frac{1}{4}$
Машинки: $\frac{6}{36} = \frac{6 \div 6}{36 \div 6} = \frac{1}{6}$
Вертолёты: $\frac{6}{36} = \frac{6 \div 6}{36 \div 6} = \frac{1}{6}$

Ответ: крокодильчики составляют $\frac{5}{12}$ всех игрушек, львята — $\frac{1}{4}$, а машинки и вертолёты — по $\frac{1}{6}$.

3) Чему равны центральные углы круговой диаграммы, соответствующие каждому виду игрушек?

Полный круг составляет $360^\circ$. Для нахождения центрального угла, соответствующего каждому виду игрушек, нужно умножить долю этого вида (рассчитанную в предыдущем пункте) на $360^\circ$.

Угол для крокодильчиков: $\frac{5}{12} \times 360^\circ = 5 \times (360^\circ \div 12) = 5 \times 30^\circ = 150^\circ$
Угол для львят: $\frac{1}{4} \times 360^\circ = 360^\circ \div 4 = 90^\circ$
Угол для машинок: $\frac{1}{6} \times 360^\circ = 360^\circ \div 6 = 60^\circ$
Угол для вертолётов: $\frac{1}{6} \times 360^\circ = 360^\circ \div 6 = 60^\circ$

Ответ: центральные углы равны: для крокодильчиков — $150^\circ$, для львят — $90^\circ$, для машинок — $60^\circ$, для вертолётов — $60^\circ$.

4 В солнечное утро Кот Леопольд ловил рыбу. Он поймал 30 рыб. $\frac{1}{6}$ часть всех рыб были ерши, $\frac{1}{3}$ часть — караси, $\frac{1}{5}$ часть — щуки, а остальные были окуни. Составь по алгоритму и проанализируй круговую диаграмму.

Для решения задачи и анализа круговой диаграммы выполним следующие шаги:

1. Найдем количество рыб каждого вида, которое поймал Кот Леопольд. Общее количество рыб — 30.

• Количество ершей составляет $\frac{1}{6}$ от всех рыб:
  $30 \cdot \frac{1}{6} = \frac{30}{6} = 5$ (ершей)

• Количество карасей составляет $\frac{1}{3}$ от всех рыб:
  $30 \cdot \frac{1}{3} = \frac{30}{3} = 10$ (карасей)

• Количество щук составляет $\frac{1}{5}$ от всех рыб:
  $30 \cdot \frac{1}{5} = \frac{30}{5} = 6$ (щук)

2. Найдем общее количество ершей, карасей и щук:

$5 + 10 + 6 = 21$ (рыба)

3. Найдем количество окуней, вычтя из общего числа рыб количество уже известных:

$30 - 21 = 9$ (окуней)

Ответ: Кот Леопольд поймал 5 ершей, 10 карасей, 6 щук и 9 окуней.

Круговая диаграмма представляет собой круг, разделенный на секторы, каждый из которых пропорционален количеству рыб определенного вида. Весь круг соответствует общему числу рыб (30) и составляет $360^\circ$. Чтобы проанализировать диаграмму, рассчитаем, какую часть круга (в градусах) занимает каждый вид рыбы.

• Сектор для ершей (5 рыб из 30, или $\frac{1}{6}$):
  $\frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ$

• Сектор для карасей (10 рыб из 30, или $\frac{1}{3}$):
  $\frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$

• Сектор для щук (6 рыб из 30, или $\frac{1}{5}$):
  $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$

• Сектор для окуней (9 рыб из 30, или $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$):
  $\frac{9}{30} \cdot 360^\circ = 9 \cdot 12^\circ = 108^\circ$

Проверка: $60^\circ + 120^\circ + 72^\circ + 108^\circ = 360^\circ$.

Анализируя диаграмму, мы можем сделать следующие выводы:

• Самый большой сектор на диаграмме будет соответствовать карасям ($120^\circ$), так как их поймано больше всего.

• Самый маленький сектор будет соответствовать ершам ($60^\circ$), так как их было поймано меньше всего.

• Сектор окуней ($108^\circ$) будет больше сектора щук ($72^\circ$) и сектора ершей ($60^\circ$), но меньше сектора карасей ($120^\circ$).

Ответ: На круговой диаграмме секторы, представляющие улов, будут иметь следующие размеры: ерши — $60^\circ$, караси — $120^\circ$, щуки — $72^\circ$, окуни — $108^\circ$.