Страница 33, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

8 Прочитай число: 8 372 507. Что обозначает каждая цифра 7 в записи этого числа? Какая цифра стоит в разряде сотен тысяч? Сколько сотен тысяч в числе? Запиши данное число в виде суммы разрядных слагаемых.

Прочитай число: 8 372 507.
Данное число читается: восемь миллионов триста семьдесят две тысячи пятьсот семь.
Ответ: восемь миллионов триста семьдесят две тысячи пятьсот семь.

Что обозначает каждая цифра 7 в записи этого числа?
В записи числа 8 372 507 цифра 7 встречается дважды. Первая цифра 7, если считать справа, находится в разряде единиц и обозначает 7 единиц. Вторая цифра 7 находится в разряде десятков тысяч и обозначает 7 десятков тысяч, то есть 70 000.
Ответ: 7 единиц и 70 000 (семьдесят тысяч).

Какая цифра стоит в разряде сотен тысяч?
Рассмотрим число 8 372 507. Разряды идут справа налево: единицы (7), десятки (0), сотни (5), единицы тысяч (2), десятки тысяч (7), сотни тысяч (3). Таким образом, в разряде сотен тысяч стоит цифра 3.
Ответ: 3.

Сколько сотен тысяч в числе?
Чтобы найти общее количество сотен тысяч в числе, нужно отбросить пять последних цифр (соответствующих разрядам от единиц до десятков тысяч). В числе 8 372 507, отбросив 72 507, мы получаем 83. Это означает, что в данном числе 83 полных сотни тысяч.
Ответ: 83.

Запиши данное число в виде суммы разрядных слагаемых.
Разложение числа на разрядные слагаемые представляет его в виде суммы значений каждой из его цифр. Для числа 8 372 507 это выглядит так:
$8\ 372\ 507 = 8\ 000\ 000 + 300\ 000 + 70\ 000 + 2\ 000 + 500 + 7$.
Ответ: $8\ 372\ 507 = 8\ 000\ 000 + 300\ 000 + 70\ 000 + 2\ 000 + 500 + 7$.

9 Вырази в указанных единицах измерения:

1) $8 \text{ см } 9 \text{ мм } = \text{ } \text{ мм}$

$8 \text{ дм } 9 \text{ мм } = \text{ } \text{ мм}$

$8 \text{ дм } 9 \text{ см } = \text{ } \text{ мм}$

$8 \text{ м } 9 \text{ мм } = \text{ } \text{ мм}$

$8 \text{ м } 9 \text{ дм } = \text{ } \text{ см}$

2) $8 \text{ км } 9 \text{ м } = \text{ } \text{ м}$

$8 \text{ км } 9 \text{ м } = \text{ } \text{ дм}$

$8 \text{ км } 9 \text{ м } = \text{ } \text{ см}$

$8 \text{ км } 9 \text{ м } = \text{ } \text{ мм}$

$8 \text{ км } 9 \text{ дм } = \text{ } \text{ мм}$

8 см 9 мм = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, сначала переведем сантиметры в миллиметры. Зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, получаем: $8 \text{ см} = 8 \times 10 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$.
Теперь сложим полученное значение с оставшимися миллиметрами: $80 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 89 \text{ мм}$.
Ответ: 89 мм

8 дм 9 мм = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, переведем дециметры в миллиметры. Зная, что $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$, получаем: $8 \text{ дм} = 8 \times 100 \text{ мм} = 800 \text{ мм}$.
Сложим полученное значение с оставшимися миллиметрами: $800 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 809 \text{ мм}$.
Ответ: 809 мм

8 дм 9 см = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, переведем дециметры и сантиметры в миллиметры. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$8 \text{ дм} = 8 \times 100 \text{ мм} = 800 \text{ мм}$.
$9 \text{ см} = 9 \times 10 \text{ мм} = 90 \text{ мм}$.
Теперь сложим полученные значения: $800 \text{ мм} + 90 \text{ мм} = 890 \text{ мм}$.
Ответ: 890 мм

8 м 9 мм = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, переведем метры в миллиметры. Зная, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, получаем: $8 \text{ м} = 8 \times 1000 \text{ мм} = 8000 \text{ мм}$.
Сложим полученное значение с оставшимися миллиметрами: $8000 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 8009 \text{ мм}$.
Ответ: 8009 мм

8 м 9 дм = ... см
Чтобы выразить данное значение в сантиметрах, переведем метры и дециметры в сантиметры. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$8 \text{ м} = 8 \times 100 \text{ см} = 800 \text{ см}$.
$9 \text{ дм} = 9 \times 10 \text{ см} = 90 \text{ см}$.
Сложим полученные значения: $800 \text{ см} + 90 \text{ см} = 890 \text{ см}$.
Ответ: 890 см

8 км 9 м = ... м
Чтобы выразить данное значение в метрах, переведем километры в метры. Зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, получаем: $8 \text{ км} = 8 \times 1000 \text{ м} = 8000 \text{ м}$.
Сложим полученное значение с оставшимися метрами: $8000 \text{ м} + 9 \text{ м} = 8009 \text{ м}$.
Ответ: 8009 м

8 км 9 м = ... дм
Чтобы выразить данное значение в дециметрах, переведем километры и метры в дециметры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 10000 \text{ дм}$ и $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
$8 \text{ км} = 8 \times 10000 \text{ дм} = 80000 \text{ дм}$.
$9 \text{ м} = 9 \times 10 \text{ дм} = 90 \text{ дм}$.
Сложим полученные значения: $80000 \text{ дм} + 90 \text{ дм} = 80090 \text{ дм}$.
Ответ: 80090 дм

8 км 9 м = ... см
Чтобы выразить данное значение в сантиметрах, переведем километры и метры в сантиметры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 100000 \text{ см}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
$8 \text{ км} = 8 \times 100000 \text{ см} = 800000 \text{ см}$.
$9 \text{ м} = 9 \times 100 \text{ см} = 900 \text{ см}$.
Сложим полученные значения: $800000 \text{ см} + 900 \text{ см} = 800900 \text{ см}$.
Ответ: 800900 см

8 км 9 м = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, переведем километры и метры в миллиметры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000000 \text{ мм}$ и $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.
$8 \text{ км} = 8 \times 1000000 \text{ мм} = 8000000 \text{ мм}$.
$9 \text{ м} = 9 \times 1000 \text{ мм} = 9000 \text{ мм}$.
Сложим полученные значения: $8000000 \text{ мм} + 9000 \text{ мм} = 8009000 \text{ мм}$.
Ответ: 8009000 мм

8 км 9 дм = ... мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, переведем километры и дециметры в миллиметры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000000 \text{ мм}$ и $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
$8 \text{ км} = 8 \times 1000000 \text{ мм} = 8000000 \text{ мм}$.
$9 \text{ дм} = 9 \times 100 \text{ мм} = 900 \text{ мм}$.
Сложим полученные значения: $8000000 \text{ мм} + 900 \text{ мм} = 8000900 \text{ мм}$.
Ответ: 8000900 мм

10 а) Таня спросила Юру: «Сколько тебе лет?» Юра ответил: «Если число моих лет увеличить в 3 раза, а потом уменьшить на 16, то мне было бы 17». Сколько лет Юре?
Математическая формула: $3x - 16 = 17$

б) Если число лет Кати увеличить сначала на 19, потом в 2 раза, затем полученный результат уменьшить на 10 и разделить на 11, то будет 4. Сколько лет Кате?
Математическая формула: $\frac{2(y + 19) - 10}{11} = 4$

а) Для решения этой задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — это возраст Юры. Согласно условию, если возраст Юры увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 16, получится 17. Запишем это математически:

$3 \cdot x - 16 = 17$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала перенесем 16 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный (сложение):

$3x = 17 + 16$

$3x = 33$

Далее, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{33}{3}$

$x = 11$

Таким образом, возраст Юры составляет 11 лет.

Ответ: 11 лет.

б) Обозначим возраст Кати за $y$. Составим уравнение, последовательно выполняя все действия, описанные в задаче:

1. Увеличить число лет Кати на 19: $y + 19$.

2. Потом результат увеличить в 2 раза: $(y + 19) \cdot 2$.

3. Затем полученный результат уменьшить на 10: $(y + 19) \cdot 2 - 10$.

4. И разделить на 11, чтобы получилось 4. Получаем уравнение:

$\frac{(y + 19) \cdot 2 - 10}{11} = 4$

Чтобы решить это уравнение, будем выполнять обратные действия. Сначала умножим обе части уравнения на 11:

$(y + 19) \cdot 2 - 10 = 4 \cdot 11$

$(y + 19) \cdot 2 - 10 = 44$

Теперь прибавим 10 к обеим частям:

$(y + 19) \cdot 2 = 44 + 10$

$(y + 19) \cdot 2 = 54$

Далее разделим обе части на 2:

$y + 19 = \frac{54}{2}$

$y + 19 = 27$

Наконец, чтобы найти $y$, вычтем 19 из обеих частей:

$y = 27 - 19$

$y = 8$

Следовательно, возраст Кати — 8 лет.

Ответ: 8 лет.

11 На луче отмечены некоторые числа: 7, 15, 21, 32

Запиши такое двойное неравенство, чтобы:

а) каждое из данных на луче чисел было его решением;

б) ни одно из этих чисел не было его решением.

а) каждое из данных на луче чисел было его решением;

На числовом луче даны числа: 7, 15, 21, 32. Чтобы каждое из этих чисел было решением двойного неравенства, нужно составить такое неравенство, которое определяет промежуток, включающий все эти числа.

Самое маленькое из данных чисел — 7, а самое большое — 32. Следовательно, искомый промежуток должен начинаться с числа, которое меньше или равно 7, и заканчиваться числом, которое больше или равно 32.

Обозначим искомое число переменной $x$. Мы можем выбрать в качестве левой границы любое число, меньшее 7 (например, 6), а в качестве правой — любое число, большее 32 (например, 33).

Таким образом, мы можем составить следующее двойное неравенство: $6 < x < 33$.

Проверим, что все числа удовлетворяют этому неравенству:
$6 < 7 < 33$ (верно)
$6 < 15 < 33$ (верно)
$6 < 21 < 33$ (верно)
$6 < 32 < 33$ (верно)

Все числа являются решениями. Стоит отметить, что существует бесконечно много правильных ответов, например: $5 < x < 35$ или $7 \le x \le 32$.

Ответ: $6 < x < 33$

б) ни одно из этих чисел не было его решением.

Чтобы ни одно из чисел 7, 15, 21, 32 не было решением двойного неравенства, нужно выбрать такой числовой промежуток, в который не попадает ни одно из этих чисел.

Мы можем выбрать промежуток, который находится:

• до всех чисел (например, от 1 до 5),
• между любыми двумя соседними числами из данного набора,
• после всех чисел (например, от 40 до 50).

Выберем промежуток между числами 15 и 21. Например, от 16 до 20.

Составим соответствующее двойное неравенство: $16 < x < 20$.

Проверим: ни одно из чисел 7, 15, 21, 32 не попадает в этот промежуток, а значит, не является его решением.

Другие возможные варианты ответа: $8 < x < 14$ или $25 < x < 30$.

Ответ: $16 < x < 20$

12 Задача очень непроста —

Найти не каждый сможет:

Чему равняется звезда, Велосипед и ёжик?

$\star = \square$ $\text{Велосипед} = \square$ $\text{Ёжик} = \square$

$\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r} & \text{Велосипед} & \text{Ёжик} & 7 \\ & \star & \text{Велосипед} & 4 \\+ & & \star & \text{Ёжик} \\\hline & 1 & 6 & 0 \\ \end{array}$

(Фигуры обозначают цифры, отличающиеся от указанных на рисунке. Разные фигуры обозначают разные цифры, а одинаковые — одинаковые.)

Для решения этой задачи запишем пример в виде столбика, заменив фигуры на буквы: В (велосипед), Ё (ёжик), З (звезда).

 В Ё 7+ З 4-------1 В 0 З

Будем решать его по разрядам, справа налево.

Чему равняется звезда

Рассмотрим разряд единиц. Сумма в этом разряде равна $7 + 4 = 11$. Последняя цифра результата (1) соответствует звезде (З). Таким образом, звезда равна 1, и мы переносим 1 в разряд десятков.

Стоит отметить, что по условию "Фигуры обозначают цифры, отличающиеся от указанных на рисунке". В результате сложения есть цифра 1, что создает противоречие с условием. Однако, без допущения, что $З = 1$, задачу решить невозможно. Вероятно, это неточность в условии.

Ответ: Звезда = 1.

Чему равняется велосипед и ёжик?

1. Находим ёжика:

Рассмотрим разряд десятков. Сумма в этом разряде складывается из ёжика (Ё), звезды (З) и 1, перенесенной из разряда единиц. Результат в разряде десятков равен 0.

Получаем выражение: $Ё + З + 1$.

Подставляем найденное значение $З=1$: $Ё + 1 + 1 = Ё + 2$.

Сумма $Ё + 2$ должна оканчиваться на 0. Единственная цифра от 2 до 9 (так как $З=1$ и они должны быть разными), которая удовлетворяет этому условию — это 8, поскольку $8 + 2 = 10$.

Таким образом, ёжик равен 8. В разряд сотен переносится 1.

Ответ: Ёжик = 8.

2. Находим велосипед:

Рассмотрим разряд сотен. Сумма в этом разряде складывается из велосипеда (В) и 1, перенесенной из разряда десятков. Результат в разряде сотен должен быть равен В, а в разряде тысяч должна появиться 1.

Это означает, что сумма $В + 1$ должна быть двузначным числом, которое записывается как $1В$ (что равно $10 + В$).

Составим уравнение: $В + 1 = 10 + В$.

Если вычесть В из обеих частей уравнения, мы получим неверное равенство: $1 = 10$.

Это математическое противоречие указывает на то, что в условии задачи содержится ошибка, и в рамках стандартной арифметики она не имеет решения. Никакая цифра, подставленная вместо В, не может удовлетворить этому условию.

Ответ: Задача не имеет корректного решения из-за ошибки в условии.

2 Игра «Океанариум».

a) Реши примеры и расшифруй названия обитателей морей и рек. Каких ещё рыб и морских животных ты знаешь?

К $4 + \frac{3}{5} = \boxed{}$

Л $13\frac{8}{11} - 9 = \boxed{}$

Р $2\frac{4}{8} + 4\frac{1}{8} = \boxed{}$

Н $\frac{4}{5} + 8 = \boxed{}$

М $7\frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \boxed{}$

Т $8\frac{8}{9} - 2\frac{3}{9} = \boxed{}$

И $5\frac{2}{7} + 4 = \boxed{}$

Ф $4\frac{1}{9} + 2\frac{7}{9} = \boxed{}$

Д $4\frac{2}{5} + 3\frac{1}{5} = \boxed{}$

Г $9\frac{2}{3} - 5 = \boxed{}$

Ь $\frac{5}{12} + 6\frac{2}{12} = \boxed{}$

Е $7\frac{5}{6} - 3\frac{5}{6} = \boxed{}$

А $8 + 1\frac{5}{7} = \boxed{}$

О $3\frac{6}{11} - \frac{2}{11} = \boxed{}$

С $5\frac{3}{8} - 5\frac{2}{8} = \boxed{}$

$3\frac{4}{5}$ $9\frac{2}{7}$ $6\frac{5}{9}$

$8\frac{4}{5}$ $9\frac{5}{7}$ $4\frac{8}{11}$ $9\frac{2}{7}$ $7\frac{1}{8}$

$3\frac{4}{11}$ $\frac{1}{8}$ $6\frac{7}{12}$ $7\frac{1}{8}$

$9\frac{2}{7}$ $8\frac{4}{5}$ $3\frac{4}{11}$ $4\frac{2}{3}$

$6\frac{5}{8}$ $9\frac{5}{7}$ $4\frac{3}{5}$

$7\frac{3}{5}$ $4$ $4\frac{8}{11}$ $6\frac{7}{12}$ $6\frac{8}{9}$ $9\frac{2}{7}$ $8\frac{4}{5}$

б) Составь примеры на разные случаи сложения и вычитания смешанных чисел и зашифруй название какого-нибудь морского жителя.

а) Реши примеры и расшифруй названия обитателей морей и рек. Каких ещё рыб и морских животных ты знаешь?

Сначала решим все примеры:

К) $4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$
Ответ: $4\frac{3}{5}$

Л) $13\frac{8}{11} - 9 = (13 - 9) + \frac{8}{11} = 4\frac{8}{11}$
Ответ: $4\frac{8}{11}$

Р) $2\frac{4}{8} + 4\frac{1}{8} = (2 + 4) + (\frac{4}{8} + \frac{1}{8}) = 6 + \frac{5}{8} = 6\frac{5}{8}$
Ответ: $6\frac{5}{8}$

Н) $\frac{4}{5} + 8 = 8\frac{4}{5}$
Ответ: $8\frac{4}{5}$

М) $7\frac{3}{8} - \frac{2}{8} = 7 + (\frac{3}{8} - \frac{2}{8}) = 7 + \frac{1}{8} = 7\frac{1}{8}$
Ответ: $7\frac{1}{8}$

Т) $8\frac{8}{9} - 2\frac{3}{9} = (8 - 2) + (\frac{8}{9} - \frac{3}{9}) = 6 + \frac{5}{9} = 6\frac{5}{9}$
Ответ: $6\frac{5}{9}$

И) $5\frac{2}{7} + 4 = (5 + 4) + \frac{2}{7} = 9\frac{2}{7}$
Ответ: $9\frac{2}{7}$

Ф) $4\frac{1}{9} + 2\frac{7}{9} = (4 + 2) + (\frac{1}{9} + \frac{7}{9}) = 6 + \frac{8}{9} = 6\frac{8}{9}$
Ответ: $6\frac{8}{9}$

Д) $4\frac{2}{5} + 3\frac{1}{5} = (4 + 3) + (\frac{2}{5} + \frac{1}{5}) = 7 + \frac{3}{5} = 7\frac{3}{5}$
Ответ: $7\frac{3}{5}$

Г) $9\frac{2}{3} - 5 = (9 - 5) + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$

Б) $\frac{5}{12} + 6\frac{2}{12} = 6 + (\frac{5}{12} + \frac{2}{12}) = 6 + \frac{7}{12} = 6\frac{7}{12}$
Ответ: $6\frac{7}{12}$

Е) $7\frac{5}{6} - 3\frac{5}{6} = (7 - 3) + (\frac{5}{6} - \frac{5}{6}) = 4 + 0 = 4$
Ответ: $4$

А) $8 + 1\frac{5}{7} = (8 + 1) + \frac{5}{7} = 9\frac{5}{7}$
Ответ: $9\frac{5}{7}$

О) $3\frac{6}{11} - \frac{2}{11} = 3 + (\frac{6}{11} - \frac{2}{11}) = 3 + \frac{4}{11} = 3\frac{4}{11}$
Ответ: $3\frac{4}{11}$

С) $5\frac{3}{8} - 5\frac{2}{8} = (5 - 5) + (\frac{3}{8} - \frac{2}{8}) = 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$
Ответ: $\frac{1}{8}$

Теперь подставим буквы в таблицы в соответствии с полученными ответами:

Первая таблица:

Получились слова: КИТ, НАЛИМ.

Вторая таблица:

Получилось слово: ОСЬМИНОГ.

Третья таблица:

Получились слова: РАК, ДЕЛЬФИН.

Другие рыбы и морские животные:

• Акула
• Скат
• Медуза
• Морской конёк
• Морская звезда
• Креветка
• Кальмар
• Щука
• Окунь
• Карась

б) Составь примеры на разные случаи сложения и вычитания смешанных чисел и зашифруй название какого-нибудь морского жителя.

Зашифруем слово "Скат". Для этого составим 4 примера на сложение и вычитание смешанных чисел.

С) $5\frac{2}{7} + 3\frac{4}{7} = (5+3) + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7}) = 8 + \frac{6}{7} = 8\frac{6}{7}$
Ответ: $8\frac{6}{7}$

К) $10\frac{5}{8} - 4 = (10-4) + \frac{5}{8} = 6\frac{5}{8}$
Ответ: $6\frac{5}{8}$

А) $9 - 2\frac{1}{3} = 8\frac{3}{3} - 2\frac{1}{3} = (8-2) + (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) = 6 + \frac{2}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $6\frac{2}{3}$

Т) $4\frac{8}{9} - 1\frac{3}{9} = (4-1) + (\frac{8}{9} - \frac{3}{9}) = 3 + \frac{5}{9} = 3\frac{5}{9}$
Ответ: $3\frac{5}{9}$

Таблица для расшифровки:

Реши уравнение:

а) $(x + 4\frac{2}{7}) - 3\frac{6}{7} = 6;$

б) $9\frac{5}{13} - (7\frac{6}{13} - y) = 2\frac{3}{13}.$

а) $(x + 4\frac{2}{7}) - 3\frac{6}{7} = 6$

В данном уравнении выражение $(x + 4\frac{2}{7})$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

$x + 4\frac{2}{7} = 6 + 3\frac{6}{7}$

$x + 4\frac{2}{7} = 9\frac{6}{7}$

Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 9\frac{6}{7} - 4\frac{2}{7}$

$x = (9-4) + (\frac{6}{7} - \frac{2}{7}) = 5 + \frac{4}{7} = 5\frac{4}{7}$

Ответ: $5\frac{4}{7}$.

б) $9\frac{5}{13} - (7\frac{6}{13} - y) = 2\frac{3}{13}$

В данном уравнении выражение $(7\frac{6}{13} - y)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$7\frac{6}{13} - y = 9\frac{5}{13} - 2\frac{3}{13}$

$7\frac{6}{13} - y = (9-2) + (\frac{5}{13} - \frac{3}{13})$

$7\frac{6}{13} - y = 7\frac{2}{13}$

Теперь $y$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$y = 7\frac{6}{13} - 7\frac{2}{13}$

$y = (7-7) + (\frac{6}{13} - \frac{2}{13}) = 0 + \frac{4}{13} = \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{4}{13}$.

Найди неизвестную операцию:

От начального значения a, верхний путь: прибавить $ +2\frac{1}{5} $ к промежуточному значению, затем прибавить $ +4\frac{3}{5} $ к конечному значению.

От начального значения a, нижний путь: применить операцию $ ? $ к конечному значению.

От начального значения b, верхний путь: прибавить $ +\frac{5}{9} $ к промежуточному значению, затем применить операцию $ ? $ к конечному значению.

От начального значения b, нижний путь: прибавить $ -1\frac{7}{9} $ к конечному значению.

От начального значения c, верхний путь: применить операцию $ ? $ к промежуточному значению, затем прибавить $ +2\frac{6}{7} $ к конечному значению.

От начального значения c, нижний путь: прибавить $ +3\frac{6}{7} $ к конечному значению.

a

Чтобы найти неизвестную операцию на нижнем пути, нужно сложить операции, выполненные последовательно на верхнем пути. Результат движения по обоим путям из начальной точки в конечную должен быть одинаковым.

Найдем сумму чисел, которые прибавляются на верхнем пути:

$2\frac{1}{5} + 4\frac{3}{5}$

Сложим отдельно целые и дробные части:

Целые части: $2 + 4 = 6$

Дробные части: $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5}$

Результат сложения: $6 + \frac{4}{5} = 6\frac{4}{5}$

Следовательно, неизвестная операция — это прибавление $6\frac{4}{5}$.

Ответ: $+6\frac{4}{5}$

b

В этом случае известна общая операция на нижнем пути ($+1\frac{7}{9}$) и первая операция на верхнем пути ($+\frac{5}{9}$). Сумма двух операций на верхнем пути должна быть равна операции на нижнем пути. Чтобы найти вторую неизвестную операцию, нужно из результата вычесть известную часть.

Обозначим неизвестное число как $x$. Тогда:

$\frac{5}{9} + x = 1\frac{7}{9}$

Найдем $x$:

$x = 1\frac{7}{9} - \frac{5}{9}$

Вычтем дробные части:

$x = 1 + (\frac{7}{9} - \frac{5}{9}) = 1 + \frac{2}{9} = 1\frac{2}{9}$

Неизвестная операция — это прибавление $1\frac{2}{9}$.

Ответ: $+1\frac{2}{9}$

c

Здесь известна общая операция на нижнем пути ($+3\frac{6}{7}$) и вторая операция на верхнем пути ($+2\frac{6}{7}$). Чтобы найти первую неизвестную операцию, нужно из общего результата вычесть вторую операцию.

Обозначим неизвестное число как $y$. Тогда:

$y + 2\frac{6}{7} = 3\frac{6}{7}$

Найдем $y$:

$y = 3\frac{6}{7} - 2\frac{6}{7}$

Вычтем отдельно целые и дробные части:

Целые части: $3 - 2 = 1$

Дробные части: $\frac{6}{7} - \frac{6}{7} = 0$

Результат: $y = 1 + 0 = 1$

Неизвестная операция — это прибавление $1$.

Ответ: $+1$

10 Определи цену деления шкалы координатной прямой и запиши координаты точек $A$, $B$ и $C$.

а) $A (4)$, $B (18)$, $C (28)$

б) $A (0.75)$, $B (2.75)$, $C (4.75)$

в) $A (2.5)$, $B (5)$, $C (7.5)$

г) $A (10)$, $B (35)$, $C (55)$

а)

Чтобы определить цену деления шкалы, выберем две соседние числовые отметки, например, 0 и 8. Разность между ними составляет $8 - 0 = 8$. Этот отрезок разделен на 2 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна $8 \div 2 = 4$.

Теперь найдем координаты указанных точек:
- Точка A находится на первом делении справа от 0. Ее координата: $0 + 1 \times 4 = 4$.
- Точка B находится на первом делении справа от 16. Ее координата: $16 + 1 \times 4 = 20$.
- Точка C находится на первом делении справа от 24. Ее координата: $24 + 1 \times 4 = 28$.

Ответ: A(4), B(20), C(28)

б)

Определим цену деления. Возьмем отметки 0 и 1. Разность между ними $1 - 0 = 1$. Этот отрезок разделен на 4 деления. Значит, цена одного деления: $1 \div 4 = 0,25$.

Найдем координаты точек:
- Точка A находится на третьем делении справа от 0. Ее координата: $0 + 3 \times 0,25 = 0,75$.
- Точка B находится на втором делении справа от 2. Ее координата: $2 + 2 \times 0,25 = 2 + 0,5 = 2,5$.
- Точка C находится на третьем делении справа от 4. Ее координата: $4 + 3 \times 0,25 = 4 + 0,75 = 4,75$.

Ответ: A(0,75), B(2,5), C(4,75)

в)

Определим цену деления. Возьмем отметки 0 и 1. Разность между ними $1 - 0 = 1$. Между ними 2 деления. Цена одного деления: $1 \div 2 = 0,5$. Для проверки возьмем другой участок: между отметками 3 и 6 разность равна $6 - 3 = 3$, а количество делений — 6. Цена деления: $3 \div 6 = 0,5$. Цена деления постоянна и равна 0,5.

Найдем координаты точек:
- Точка A находится на первом делении справа от 1. Ее координата: $1 + 1 \times 0,5 = 1,5$.
- Точка B находится на четвертом делении справа от 3. Ее координата: $3 + 4 \times 0,5 = 3 + 2 = 5$.
- Точка C находится на третьем делении справа от 6. Ее координата: $6 + 3 \times 0,5 = 6 + 1,5 = 7,5$.

Ответ: A(1,5), B(5), C(7,5)

г)

Определим цену деления. Возьмем отметки 0 и 20. Разность между ними $20 - 0 = 20$. Этот отрезок разделен на 4 деления. Цена одного деления: $20 \div 4 = 5$.

Найдем координаты точек:
- Точка A находится на третьем делении справа от 0. Ее координата: $0 + 3 \times 5 = 15$.
- Точка B находится на третьем делении справа от 20. Ее координата: $20 + 3 \times 5 = 35$.
- Точка C находится на третьем делении справа от 40. Ее координата: $40 + 3 \times 5 = 55$.

Ответ: A(15), B(35), C(55)

11 Объясни, какая из точек расположена на координатной прямой левее, а какая — правее, и найди расстояние между ними:

а) A (879) и B (3004);

б) C (20350) и D (9817);

в) E (72954) и F (72918);

г) M (5432003) и K (546999).

а) A(879) и B(3004)

На координатной прямой точка с меньшей координатой всегда расположена левее точки с большей координатой. Сравниваем координаты данных точек: $879 < 3004$. Это означает, что точка A(879) находится левее, а точка B(3004) — правее.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Для положительных координат это разность между большим и меньшим числом. Вычисляем расстояние: $3004 - 879 = 2125$.

Ответ: точка A(879) левее, точка B(3004) правее; расстояние между ними равно 2125.

б) C(20350) и D(9817)

Сравниваем координаты точек C и D: $9817 < 20350$. Следовательно, точка D(9817) расположена левее, а точка C(20350) — правее.

Чтобы найти расстояние между точками, вычитаем из большей координаты меньшую: $20350 - 9817 = 10533$.

Ответ: точка D(9817) левее, точка C(20350) правее; расстояние между ними равно 10533.

в) E(72954) и F(72918)

Сравниваем координаты точек E и F: $72918 < 72954$. Следовательно, точка F(72918) расположена левее, а точка E(72954) — правее.

Находим расстояние между точками: $72954 - 72918 = 36$.

Ответ: точка F(72918) левее, точка E(72954) правее; расстояние между ними равно 36.

г) M(5432003) и K(546999)

Сравниваем координаты точек M и K: $546999 < 5432003$. Следовательно, точка K(546999) расположена левее, а точка M(5432003) — правее.

Находим расстояние между точками: $5432003 - 546999 = 4885004$.

Ответ: точка K(546999) левее, точка M(5432003) правее; расстояние между ними равно 4885004.

12 а) Маруся надоила от своей коровы 20 л молока. При его переработке объём сметаны составил $\frac{3}{5}$ от всего объёма молока. Сколько сметаны получил Маруся?

б) Кролик прополол 40 грядок морковки, что составило 20 % всего огорода. Сколько всего грядок на огороде у Кролика?

в) Матвей мечтал купить велосипед по цене 6400 р. Однажды ему приснилось, что этот велосипед подешевел на 70 %. Сколько стоил его любимый велосипед во сне?

а) Чтобы найти, сколько сметаны получила Маруся, необходимо общий объём молока умножить на ту часть, которую составляет сметана.
$20 \times \frac{3}{5} = \frac{20 \times 3}{5} = \frac{60}{5} = 12$ л.
Ответ: Маруся получила 12 л сметаны.

б) Нам известно, что 40 грядок моркови составляют 20% от всего огорода. Чтобы найти общее количество грядок (которое соответствует 100%), можно составить пропорцию. Пусть $x$ — это общее количество грядок на огороде.
40 грядок — 20%
$x$ грядок — 100%
$x = \frac{40 \times 100}{20} = \frac{4000}{20} = 200$ грядок.
Другой способ: можно 40 разделить на долю, которую эти грядки составляют, предварительно переведя проценты в десятичную дробь ($20\% = 0.2$).
$x = \frac{40}{0.2} = 200$ грядок.
Ответ: всего на огороде у Кролика 200 грядок.

в) Первоначальная цена велосипеда — 6400 р. Во сне он подешевел на 70%.
Сначала найдём размер скидки в рублях, вычислив 70% от 6400 р.
$6400 \times \frac{70}{100} = 64 \times 70 = 4480$ р.
Теперь вычтем размер скидки из первоначальной цены, чтобы найти новую стоимость.
$6400 - 4480 = 1920$ р.
Можно решить иначе: если цена снизилась на 70%, то новая цена составляет $100\% - 70\% = 30\%$ от старой. Найдём 30% от 6400 р.
$6400 \times \frac{30}{100} = 6400 \times 0.3 = 1920$ р.
Ответ: во сне велосипед стоил 1920 р.

13 а) $410 \cdot (95 + 28860 : 39) : 167 \cdot 40 - 963214 : (93090 : 870);$

* б) $(791315 : 983 \cdot 2030 - 1578595) \cdot (932 \cdot 59 : 54988 - 0 : 7).$

а) $410 \cdot (95 + 28860 : 39) : 167 \cdot 40 - 963214 : (93090 : 870)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь — сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним деление в первых скобках: $28860 : 39 = 740$.

2. Теперь выполним сложение в первых скобках: $95 + 740 = 835$.

3. Выполним деление во вторых скобках: $93090 : 870 = 107$.

4. Теперь выражение выглядит так: $410 \cdot 835 : 167 \cdot 40 - 963214 : 107$.

5. Выполняем умножение и деление по порядку. Первое умножение: $410 \cdot 835 = 342350$.

6. Далее деление: $342350 : 167 = 2050$.

7. Следующее умножение: $2050 \cdot 40 = 82000$.

8. Последнее деление: $963214 : 107 = 9002$.

9. И последнее действие — вычитание: $82000 - 9002 = 72998$.

Ответ: 72998

б) $(791315 : 983 \cdot 2030 - 1578595) \cdot (932 \cdot 59 : 54988 - 0 : 7)$

Решаем по действиям, начиная с вычислений в каждой из скобок.

Действия в первой скобке:

1. Сначала деление: $791315 : 983 = 805$.

2. Затем умножение: $805 \cdot 2030 = 1634150$.

3. И вычитание: $1634150 - 1578595 = 55555$.

Действия во второй скобке:

4. Сначала умножение: $932 \cdot 59 = 54988$.

5. Затем деление: $54988 : 54988 = 1$.

6. Деление нуля: $0 : 7 = 0$.

7. И вычитание: $1 - 0 = 1$.

Последнее действие:

8. Умножаем результат первой скобки на результат второй: $55555 \cdot 1 = 55555$.

Ответ: 55555

14 Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть каждых суток танцевала, шестую часть — пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

Чтобы узнать, сколько времени Стрекоза готовилась к зиме, необходимо вычислить, сколько часов она тратила на другие занятия, и вычесть это время из общего количества часов в сутках.

В сутках 24 часа.

1. Рассчитаем время, которое Стрекоза спала.
Половина времени от суток составляет $\frac{1}{2}$ от 24 часов.
$24 \times \frac{1}{2} = 12$ часов.

2. Рассчитаем время, которое Стрекоза танцевала.
Третья часть суток составляет $\frac{1}{3}$ от 24 часов.
$24 \times \frac{1}{3} = 8$ часов.

3. Рассчитаем время, которое Стрекоза пела.
Шестая часть суток составляет $\frac{1}{6}$ от 24 часов.
$24 \times \frac{1}{6} = 4$ часа.

4. Найдем общее время, потраченное на все эти занятия.
Сложим время, потраченное на сон, танцы и пение:
$12 + 8 + 4 = 24$ часа.

5. Найдем оставшееся время на подготовку к зиме.
Вычтем из общего количества часов в сутках время, которое Стрекоза потратила на свои дела:
$24 - 24 = 0$ часов.

Таким образом, у Стрекозы совсем не осталось времени на подготовку к зиме, так как всё время было потрачено на сон и развлечения.

Ответ: 0 часов.

15 Кролик за день съедает 4 морковки и 1 кочан капусты, или 2 кочана капусты или 9 морковок. За неделю Кролик съел 30 морковок. Сколько кочанов капусты он съел за эту неделю?

Для решения задачи введем переменные для каждого из трех вариантов дневного рациона кролика:

• Пусть $A$ — это количество дней, когда кролик съедал 4 морковки и 1 кочан капусты.
• Пусть $B$ — это количество дней, когда кролик съедал 2 кочана капусты (и 0 морковок).
• Пусть $C$ — это количество дней, когда кролик съедал 9 морковок (и 0 кочанов капусты).

Поскольку в неделе 7 дней, мы можем составить первое уравнение:

$A + B + C = 7$

Известно, что за неделю кролик съел 30 морковок. Морковь он ел только в дни типа $A$ (по 4 штуки) и в дни типа $C$ (по 9 штук). Это дает нам второе уравнение:

$4A + 9C = 30$

Нам нужно найти общее количество съеденных кочанов капусты, которое вычисляется по формуле: $1 \cdot A + 2 \cdot B$.

Теперь решим второе уравнение $4A + 9C = 30$. Поскольку $A$ и $C$ — это количество дней, они должны быть целыми неотрицательными числами. Рассмотрим возможные значения для $C$:

• Если $C = 0$, то $4A = 30$. $A = 7.5$, что не является целым числом.
• Если $C = 1$, то $4A + 9(1) = 30$, откуда $4A = 21$. $A = 5.25$, что не является целым числом.
• Если $C = 2$, то $4A + 9(2) = 30$, откуда $4A = 12$. $A = 3$, что является целым числом. Это возможное решение.
• Если $C = 3$, то $4A + 9(3) = 30$, откуда $4A = 3$. $A = 0.75$, что не является целым числом.
• Если $C \geq 4$, то $9C$ будет больше или равно 36, что превышает общее количество морковок (30). Следовательно, дальнейшие значения $C$ рассматривать не нужно.

Единственное возможное решение в целых числах — это $A=3$ и $C=2$.

Подставим найденные значения $A$ и $C$ в первое уравнение, чтобы найти $B$:

$3 + B + 2 = 7$

$5 + B = 7$

$B = 2$

Итак, мы определили, как кролик питался в течение недели: 3 дня по первому варианту, 2 дня по второму и 2 дня по третьему. Проверим общее количество дней: $3+2+2=7$. Всё верно.

Теперь вычислим общее количество кочанов капусты, съеденных за неделю. Капусту он получал в дни типа $A$ (по 1 кочану) и в дни типа $B$ (по 2 кочана):

Количество капусты = $(A \cdot 1) + (B \cdot 2) = (3 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = 3 + 4 = 7$.

Ответ: 7 кочанов капусты.