Страница 34, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Выполни деление $218 : 35$. Что ты замечаешь? Какими способами можно записать решение этого примера?

Выполни деление 218 : 35.

Чтобы разделить 218 на 35, необходимо найти, сколько раз 35 помещается в 218. Для этого подберем ближайшее к 218 число, которое делится на 35 без остатка.

Выполним умножение 35 на несколько чисел, чтобы найти подходящее:

$35 \times 5 = 175$
$35 \times 6 = 210$
$35 \times 7 = 245$

Мы видим, что $35 \times 6 = 210$, что меньше 218, а $35 \times 7 = 245$, что больше 218. Следовательно, целая часть от деления (неполное частное) равна 6.

Теперь найдем остаток. Для этого вычтем из делимого (218) произведение делителя (35) и неполного частного (6):

$218 - 210 = 8$

Остаток равен 8. Так как остаток меньше делителя ($8 < 35$), деление выполнено верно.

Ответ: $218 : 35 = 6$ (остаток $8$).

Что ты замечаешь?

При выполнении деления 218 на 35 можно заметить, что оно не выполняется нацело. В результате получается целое число (неполное частное) и остаток, отличный от нуля. Это означает, что число 218 не кратно числу 35.

Ответ: Деление числа 218 на 35 выполняется с остатком.

Какими способами можно записать решение этого примера?

Решение этого примера можно записать несколькими способами, в зависимости от требуемой формы ответа:

1. В виде частного и остатка. Это наиболее распространенный способ в начальной школе при изучении деления.
   $218 : 35 = 6$ (ост. $8$)
   Также можно записать это в виде формулы деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $r < b$.
   $218 = 35 \cdot 6 + 8$
2. В виде смешанной дроби. В этом случае неполное частное становится целой частью, остаток — числителем, а делитель — знаменателем дробной части.
   $6\frac{8}{35}$
3. В виде неправильной дроби. Это просто представление операции деления в виде дроби.
   $\frac{218}{35}$
4. В виде десятичной дроби. Для этого необходимо продолжить деление остатка на делитель. В данном случае получится бесконечная периодическая десятичная дробь.
   $218 : 35 = 6.22857142... \approx 6.23$ (при округлении до сотых).
   Точная запись в виде периодической дроби: $6.\overline{285714}$.

Ответ: Решение можно записать в виде деления с остатком ($6$ (ост. $8$)), в виде смешанной дроби ($6\frac{8}{35}$) или в виде десятичной дроби (приближенно $6.23$ или точно $6.\overline{285714}$).

2 Выполни деление с остатком и сделай проверку:

$57 : 16; \quad 149 : 37; \quad 641 : 203; \quad 50 \ 000 : 7104;$

$97 : 23; \quad 284 : 81; \quad 947 : 312; \quad 17 \ 526 : 8422;$

$98 : 15; \quad 567 : 99; \quad 1367 : 225; \quad 26 \ 914 : 5130.$

57 : 16
1. Выполним деление с остатком. Чтобы найти неполное частное, подберем число, которое при умножении на 16 даст результат, наиболее близкий к 57, но не превышающий его. $16 \cdot 3 = 48$.
$16 \cdot 4 = 64$ (это больше 57, значит, неполное частное равно 3).
Теперь найдем остаток: $57 - 48 = 9$.
Таким образом, $57 : 16 = 3$ (ост. $9$).
2. Выполним проверку. Для этого неполное частное умножим на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому. Также остаток должен быть меньше делителя.
$3 \cdot 16 + 9 = 48 + 9 = 57$.
$9 < 16$.
Проверка показала, что деление выполнено верно.
Ответ: $3$ (ост. $9$).

149 : 37
1. Выполним деление с остатком. $37 \cdot 4 = 148$.
$37 \cdot 5 = 185$ (больше 149). Неполное частное равно 4.
Находим остаток: $149 - 148 = 1$.
$149 : 37 = 4$ (ост. $1$).
2. Проверка: $4 \cdot 37 + 1 = 148 + 1 = 149$.
$1 < 37$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $4$ (ост. $1$).

641 : 203
1. Выполним деление с остатком. $203 \cdot 3 = 609$.
$203 \cdot 4 = 812$ (больше 641). Неполное частное равно 3.
Находим остаток: $641 - 609 = 32$.
$641 : 203 = 3$ (ост. $32$).
2. Проверка: $3 \cdot 203 + 32 = 609 + 32 = 641$.
$32 < 203$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $3$ (ост. $32$).

50 000 : 7104
1. Выполним деление с остатком. $7104 \cdot 7 = 49728$.
$7104 \cdot 8 = 56832$ (больше 50 000). Неполное частное равно 7.
Находим остаток: $50000 - 49728 = 272$.
$50000 : 7104 = 7$ (ост. $272$).
2. Проверка: $7 \cdot 7104 + 272 = 49728 + 272 = 50000$.
$272 < 7104$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $7$ (ост. $272$).

97 : 23
1. Выполним деление с остатком. $23 \cdot 4 = 92$.
$23 \cdot 5 = 115$ (больше 97). Неполное частное равно 4.
Находим остаток: $97 - 92 = 5$.
$97 : 23 = 4$ (ост. $5$).
2. Проверка: $4 \cdot 23 + 5 = 92 + 5 = 97$.
$5 < 23$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $4$ (ост. $5$).

284 : 81
1. Выполним деление с остатком. $81 \cdot 3 = 243$.
$81 \cdot 4 = 324$ (больше 284). Неполное частное равно 3.
Находим остаток: $284 - 243 = 41$.
$284 : 81 = 3$ (ост. $41$).
2. Проверка: $3 \cdot 81 + 41 = 243 + 41 = 284$.
$41 < 81$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $3$ (ост. $41$).

947 : 312
1. Выполним деление с остатком. $312 \cdot 3 = 936$.
$312 \cdot 4 = 1248$ (больше 947). Неполное частное равно 3.
Находим остаток: $947 - 936 = 11$.
$947 : 312 = 3$ (ост. $11$).
2. Проверка: $3 \cdot 312 + 11 = 936 + 11 = 947$.
$11 < 312$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $3$ (ост. $11$).

17 526 : 8422
1. Выполним деление с остатком. $8422 \cdot 2 = 16844$.
$8422 \cdot 3 = 25266$ (больше 17 526). Неполное частное равно 2.
Находим остаток: $17526 - 16844 = 682$.
$17526 : 8422 = 2$ (ост. $682$).
2. Проверка: $2 \cdot 8422 + 682 = 16844 + 682 = 17526$.
$682 < 8422$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $2$ (ост. $682$).

98 : 15
1. Выполним деление с остатком. $15 \cdot 6 = 90$.
$15 \cdot 7 = 105$ (больше 98). Неполное частное равно 6.
Находим остаток: $98 - 90 = 8$.
$98 : 15 = 6$ (ост. $8$).
2. Проверка: $6 \cdot 15 + 8 = 90 + 8 = 98$.
$8 < 15$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $6$ (ост. $8$).

567 : 99
1. Выполним деление с остатком. $99 \cdot 5 = 495$.
$99 \cdot 6 = 594$ (больше 567). Неполное частное равно 5.
Находим остаток: $567 - 495 = 72$.
$567 : 99 = 5$ (ост. $72$).
2. Проверка: $5 \cdot 99 + 72 = 495 + 72 = 567$.
$72 < 99$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $5$ (ост. $72$).

1367 : 225
1. Выполним деление с остатком. $225 \cdot 6 = 1350$.
$225 \cdot 7 = 1575$ (больше 1367). Неполное частное равно 6.
Находим остаток: $1367 - 1350 = 17$.
$1367 : 225 = 6$ (ост. $17$).
2. Проверка: $6 \cdot 225 + 17 = 1350 + 17 = 1367$.
$17 < 225$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $6$ (ост. $17$).

26 914 : 5130
1. Выполним деление с остатком. $5130 \cdot 5 = 25650$.
$5130 \cdot 6 = 30780$ (больше 26 914). Неполное частное равно 5.
Находим остаток: $26914 - 25650 = 1264$.
$26914 : 5130 = 5$ (ост. $1264$).
2. Проверка: $5 \cdot 5130 + 1264 = 25650 + 1264 = 26914$.
$1264 < 5130$.
Деление выполнено верно.
Ответ: $5$ (ост. $1264$).

3 Прочитай число: 18 560 025. Что означает каждая цифра 5 в записи этого числа? Какая цифра записана в разряде десятков тысяч? Сколько десятков тысяч в этом числе?

Прочитай число: 18 560 025.
Чтобы прочитать многозначное число, его разбивают на классы, по три цифры в каждом, справа налево. Первый класс справа — класс единиц, второй — класс тысяч, третий — класс миллионов.
В данном числе 18 560 025:
- Класс миллионов: 18 (восемнадцать миллионов)
- Класс тысяч: 560 (пятьсот шестьдесят тысяч)
- Класс единиц: 025 (двадцать пять)
Читаем число слева направо: восемнадцать миллионов пятьсот шестьдесят тысяч двадцать пять.
Ответ: Восемнадцать миллионов пятьсот шестьдесят тысяч двадцать пять.

Что означает каждая цифра 5 в записи этого числа?
В числе 18 560 025 цифра 5 встречается дважды. Значение цифры зависит от ее позиции (разряда) в числе.
- Первая цифра 5 (слева) находится в разряде сотен тысяч (6-я позиция справа). Она означает 5 сотен тысяч, или $5 \times 100 000 = 500 000$.
- Вторая цифра 5 находится в разряде единиц (1-я позиция справа). Она означает 5 единиц, или $5 \times 1 = 5$.
Ответ: Первая цифра 5 означает 5 сотен тысяч (500 000), вторая — 5 единиц (5).

Какая цифра записана в разряде десятков тысяч?
Разряд десятков тысяч — это пятый разряд, если считать справа налево. Посмотрим на число 18 560 025:
- 5 — единицы
- 2 — десятки
- 0 — сотни
- 0 — единицы тысяч
- 6 — десятки тысяч
В разряде десятков тысяч стоит цифра 6.
Ответ: 6.

Сколько десятков тысяч в этом числе?
Этот вопрос отличается от предыдущего. Здесь нужно найти общее количество десятков тысяч во всем числе.
Один десяток тысяч равен 10 000. Чтобы найти, сколько раз 10 000 содержится в числе 18 560 025, нужно разделить это число на 10 000 и взять целую часть от результата.
$18 560 025 \div 10 000 = 1856,0025$
Целая часть равна 1856. Это можно также сделать, отбросив в числе 18 560 025 четыре последние цифры (разряды единиц, десятков, сотен и единиц тысяч).
Таким образом, в этом числе 1856 десятков тысяч.
Ответ: 1856.

5 У кого какая формула? Объясни их смысл.

У птицы: $s = v \cdot t$

У пчелы: $A = v \cdot t$

У колобка: $P = (a + b) \cdot 2$

У мыши: $V = a \cdot b \cdot c$

У мальчика: $C = a \cdot n$

У осла: $S = a \cdot b$

У улитки: $S = a \cdot a$

У свиньи: $a = b \cdot c + r, r < b$

Птичка: $s = v \cdot t$

Это формула пути (расстояния). Чтобы найти расстояние $s$, нужно скорость $v$ умножить на время $t$. Например, если птичка летит со скоростью 10 км/ч в течение 2 часов, она пролетит расстояние $10 \cdot 2 = 20$ км. Ответ: Формула нахождения расстояния.

Мальчик: $C = a \cdot n$

Это формула стоимости. Чтобы найти общую стоимость покупки $C$, нужно цену одного товара $a$ умножить на количество товаров $n$. Например, если мальчик покупает 3 конфеты по цене 5 рублей за штуку, общая стоимость будет $5 \cdot 3 = 15$ рублей. Ответ: Формула нахождения стоимости покупки.

Пчела: $A = v \cdot t$

Это формула работы. Чтобы найти объём выполненной работы $A$, нужно производительность (скорость работы) $v$ умножить на время работы $t$. Например, если пчела опыляет 20 цветков в минуту, то за 5 минут она выполнит работу, равную $20 \cdot 5 = 100$ опылённым цветкам. Ответ: Формула нахождения выполненной работы.

Ослик: $S = a \cdot b$

Это формула площади прямоугольника. Чтобы найти площадь $S$, нужно умножить его длину $a$ на ширину $b$. Например, если у ослика есть загон длиной 8 метров и шириной 5 метров, его площадь будет $8 \cdot 5 = 40$ квадратных метров. Ответ: Формула нахождения площади прямоугольника.

Колобок: $P = (a + b) \cdot 2$

Это формула периметра прямоугольника. Периметр $P$ — это сумма длин всех сторон. Чтобы его найти, нужно сложить длину $a$ и ширину $b$, а затем умножить полученную сумму на 2. Например, для прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см периметр равен $(7 + 3) \cdot 2 = 20$ см. Ответ: Формула нахождения периметра прямоугольника.

Улитка: $S = a \cdot a$

Это формула площади квадрата. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Чтобы найти его площадь $S$, нужно умножить длину стороны $a$ на саму себя (возвести в квадрат). Например, площадь квадрата со стороной 4 см равна $4 \cdot 4 = 16$ квадратных сантиметров. Ответ: Формула нахождения площади квадрата.

Мышка: $V = a \cdot b \cdot c$

Это формула объёма прямоугольного параллелепипеда. Чтобы найти объём $V$, нужно перемножить его три измерения: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$. Например, объём коробки с размерами 10 см, 5 см и 4 см равен $10 \cdot 5 \cdot 4 = 200$ кубических сантиметров. Ответ: Формула нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда.

Поросёнок: $a = b \cdot c + r, r < b$

Это формула деления с остатком. Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — неполное частное, а $r$ — остаток. Формула показывает, что делимое можно получить, умножив делитель на неполное частное и прибавив остаток. Важное условие: остаток $r$ всегда должен быть меньше делителя $b$. Например, при делении 17 на 5 получаем: $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Здесь $2 < 5$. Ответ: Формула деления с остатком.

6 БЛИЦтурнир.

а) Карлсон пролетел за 2 часа $a$ км. Сколько километров он пролетит с той же скоростью за 5 часов?

б) Царевне-лягушке надо испечь за ночь $b$ одинаковых пирожков. В час она печёт $c$ пирожков. Сколько пирожков ей оста- нется испечь после 3 ч работы?

в) Настасья Петровна заплатила за 2 кг колбасы $n$ р., а за 3 кг сыра — $m$ р. На сколько рублей 1 кг колбасы дороже, чем 1 кг сыра?

г) Дениска нарисовал квадрат со стороной $a$ см. Потом он каждую его сторону уменьшил на 2 см. На сколько квадратных сантиметров уменьшилась площадь квадрата?

а) 1. Сначала найдем скорость Карлсона. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.
Скорость $V = \frac{a}{2}$ (км/ч).
2. Теперь, зная скорость, найдем расстояние, которое Карлсон пролетит за 5 часов. Для этого умножим скорость на новое время.
Расстояние $S = \frac{a}{2} \cdot 5 = \frac{5a}{2}$ (км).
Ответ: $\frac{5a}{2}$ км.

б) 1. Узнаем, сколько пирожков Царевна-лягушка испечет за 3 часа. Она печет $c$ пирожков в час, значит за 3 часа она испечет:
$3 \cdot c = 3c$ (пирожков).
2. Всего ей нужно испечь $b$ пирожков. Чтобы найти, сколько останется, вычтем из общего количества уже испеченные пирожки.
$b - 3c$ (пирожков).
Ответ: $b - 3c$ пирожков.

в) 1. Найдем цену 1 кг колбасы. За 2 кг заплатили $n$ рублей, значит 1 кг стоит:
$\frac{n}{2}$ (рублей).
2. Найдем цену 1 кг сыра. За 3 кг заплатили $m$ рублей, значит 1 кг стоит:
$\frac{m}{3}$ (рублей).
3. Чтобы узнать, на сколько 1 кг колбасы дороже 1 кг сыра, вычтем из цены колбасы цену сыра.
$\frac{n}{2} - \frac{m}{3}$ (рублей).
Ответ: на $\frac{n}{2} - \frac{m}{3}$ рублей.

г) 1. Площадь исходного квадрата со стороной $a$ см равна $S_1 = a \cdot a = a^2$ (см²).
2. Длина стороны нового квадрата стала $(a - 2)$ см.
3. Площадь нового квадрата равна $S_2 = (a - 2) \cdot (a - 2) = (a-2)^2$ (см²).
4. Чтобы найти, на сколько уменьшилась площадь, нужно из старой площади вычесть новую:
$S_1 - S_2 = a^2 - (a-2)^2 = a^2 - (a^2 - 4a + 4) = a^2 - a^2 + 4a - 4 = 4a - 4$ (см²).
Ответ: на $4a - 4$ квадратных сантиметров.

7 Поезд должен проехать 1200 км за 16 ч. Оказалось, что первые 35 % пути поезд проехал за 6 ч. С какой скоростью ему надо ехать дальше, чтобы прибыть в пункт назначения по расписанию?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найти расстояние первого участка пути.

Поезд проехал 35% от всего пути в 1200 км. Чтобы найти это расстояние ($S_1$), нужно общее расстояние умножить на долю, выраженную в виде десятичной дроби (35% = 0.35).

$S_1 = 1200 \times \frac{35}{100} = 1200 \times 0.35 = 420$ км.

2. Найти оставшееся расстояние.

Чтобы найти расстояние, которое поезду осталось проехать ($S_2$), нужно из общего расстояния вычесть уже пройденное.

$S_2 = 1200 - 420 = 780$ км.

3. Найти оставшееся время.

Поезд должен прибыть по расписанию, то есть уложиться в 16 часов. На первую часть пути он уже затратил 6 часов. Найдем, сколько времени ($t_2$) у него осталось.

$t_2 = 16 - 6 = 10$ ч.

4. Найти необходимую скорость.

Чтобы найти скорость ($v_2$), с которой поезду нужно ехать на оставшемся участке, необходимо оставшееся расстояние ($S_2$) разделить на оставшееся время ($t_2$).

$v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{780}{10} = 78$ км/ч.

Ответ: чтобы прибыть в пункт назначения по расписанию, дальше поезду надо ехать со скоростью 78 км/ч.

Заполним также таблицу, представленную в задании:

1 На сколько градусов повернётся большая стрелка часов за 5 мин, 15 мин, 20 мин, 30 мин, 1 ч?

Большая (минутная) стрелка часов совершает полный оборот, равный $360^{\circ}$, за 60 минут. Чтобы найти, на сколько градусов она поворачивается за 1 минуту, нужно разделить общее количество градусов на количество минут:

$360^{\circ} \div 60 \text{ мин} = 6^{\circ} \text{ в минуту}$

Теперь, зная, что за одну минуту большая стрелка поворачивается на $6^{\circ}$, мы можем рассчитать угол поворота для каждого указанного промежутка времени.

5 мин

Умножим 5 минут на $6^{\circ}$:

$5 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$.

15 мин

Умножим 15 минут на $6^{\circ}$:

$15 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 90^{\circ}$

Ответ: $90^{\circ}$.

20 мин

Умножим 20 минут на $6^{\circ}$:

$20 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 120^{\circ}$

Ответ: $120^{\circ}$.

30 мин

Умножим 30 минут на $6^{\circ}$:

$30 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 180^{\circ}$

Ответ: $180^{\circ}$.

1 ч

Сначала переведем 1 час в минуты: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$. Затем умножим 60 минут на $6^{\circ}$:

$60 \text{ мин} \times 6^{\circ}/\text{мин} = 360^{\circ}$

Ответ: $360^{\circ}$.

2 а) Начерти в тетради луч $AB$ и отложи от него $\angle BAC = 130^\circ$. Сколько решений имеет эта задача?

б) Отметь в тетради точку $O$. Проведи лучи $OA$ и $OB$ так, чтобы $\angle AOB = 73^\circ$. Сколько решений имеет эта задача?

а)

Чтобы решить эту задачу, сначала нужно начертить луч AB. Луч имеет начало в точке A и проходит через точку B. Вершиной угла $\angle BAC$ является точка A, а одной из его сторон — луч AB. Вторую сторону, луч AC, нужно построить так, чтобы угол между лучами AB и AC составлял $130^\circ$.

От луча AB можно отложить угол в $130^\circ$ в двух направлениях: в одну полуплоскость относительно прямой, содержащей луч AB, и в другую. Представим, что луч AB — это стрелка часов, указывающая на 3 часа. Тогда луч AC можно провести так, чтобы он указывал примерно на 11 часов, или так, чтобы он указывал примерно на 7 часов. Оба положения образуют с лучом AB угол в $130^\circ$.

Таким образом, существует два возможных положения для луча AC, а значит, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Сначала нужно отметить точку O в произвольном месте. Эта точка будет вершиной угла $\angle AOB$. Затем нужно провести два луча, OA и OB, выходящих из этой точки под углом $73^\circ$ друг к другу.

Мы можем провести первый луч, OA, в абсолютно любом направлении. Его положение в пространстве не задано. После того как мы выбрали направление для луча OA, мы можем построить луч OB, отложив от OA угол в $73^\circ$.

Поскольку начальное направление для первого луча OA может быть любым (мы можем поворачивать его вокруг точки O как угодно), существует бесконечное множество способов расположить угол $\angle AOB$ на плоскости. Каждое такое расположение будет являться новым решением задачи.

Следовательно, данная задача имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

3 Что общего в расположении углов A, B и C относительно окружностей? Измерь эти углы. Обведи цветным карандашом принадлежащие им дуги окружностей.

Угол, вершина которого совпадает с центром окружности, называется центральным углом.
$\angle AOB$ — центральный. На рисунке выделена дуга $AB$ окружности, на которую он опирается.

Что общего в расположении углов A, B и C относительно окружностей?

Общим в расположении углов A, B и C относительно окружностей является то, что стороны каждого угла пересекают окружность. Таким образом, каждый из этих углов высекает на окружности (опирается на) определённую её часть, которая называется дугой. Несмотря на то, что вершины углов находятся в разных местах (вершина угла A — вне окружности, вершина угла B — на окружности, а вершина угла C — в центре окружности), все они определяют соответствующую дугу на окружности.

Ответ: Общее в расположении углов A, B и C — каждый из них своими сторонами пересекает окружность и высекает на ней дугу.

Измерь эти углы.

Для измерения величины углов необходимо использовать транспортир. Приложив транспортир к каждому из углов на рисунке, можно получить следующие примерные значения:

Величина угла A составляет примерно $45^\circ$.

Величина угла B составляет примерно $115^\circ$.

Величина угла C является прямым углом и составляет ровно $90^\circ$.

Ответ: $ \angle A \approx 45^\circ $, $ \angle B \approx 115^\circ $, $ \angle C = 90^\circ $.

Обведи цветным карандашом принадлежащие им дуги окружностей.

Принадлежащая углу дуга — это часть окружности, которая заключена между точками пересечения сторон угла с этой окружностью. На каждом из рисунков необходимо цветным карандашом обвести ту часть линии окружности, которая находится внутри угла. Эта линия и будет являться дугой, на которую опирается соответствующий угол. На рисунках эти дуги являются границей закрашенных оранжевым цветом областей.

Ответ: Дуги, принадлежащие углам, — это части окружностей, заключённые внутри этих углов. На рисунках они соответствуют внешним границам закрашенных областей.

4 Построй центральные углы и обведи цветным карандашом дуги, на которые они опираются:

a) $ \angle AOB = 67^\circ$

б) $ \angle CDE = 90^\circ$

в) $ \angle MKT = 115^\circ$

Чтобы построить центральные углы и обвести дуги, на которые они опираются, необходимо выполнить следующие действия для каждого случая.

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются её радиусами. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Для построения центрального угла $\angle AOB = 67^\circ$ в окружности с центром O:

1. Проведите из центра О произвольный радиус ОА. Точка А будет лежать на окружности.
2. Возьмите транспортир. Совместите его центр с точкой О, а нулевую отметку на шкале — с лучом ОА.
3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее $67^\circ$, и поставьте метку.
4. Проведите через эту метку из центра О второй радиус до пересечения с окружностью в точке В.
5. Полученный угол $\angle AOB$ и есть искомый центральный угол.
6. Цветным карандашом выделите часть окружности между точками А и В. Это и есть дуга, на которую опирается угол $\angle AOB$.

Ответ: Построен центральный угол $\angle AOB = 67^\circ$ с вершиной в центре O, и выделена цветом дуга $\overset{\frown}{AB}$, на которую он опирается. Градусная мера дуги $\overset{\frown}{AB}$ также равна $67^\circ$.

Для построения центрального угла $\angle CDE = 90^\circ$ в окружности с центром D:

1. Проведите из центра D произвольный радиус DC. Точка C будет лежать на окружности.
2. Угол в $90^\circ$ является прямым. Его можно построить с помощью транспортира (аналогично пункту а) или с помощью чертёжного угольника.
3. Приложите угольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой D, а одна из его сторон легла на радиус DC.
4. Вдоль второй стороны прямого угла проведите второй радиус до пересечения с окружностью в точке E.
5. Полученный угол $\angle CDE$ — искомый прямой центральный угол.
6. Цветным карандашом выделите часть окружности между точками C и E.

Ответ: Построен центральный угол $\angle CDE = 90^\circ$ с вершиной в центре D, и выделена цветом дуга $\overset{\frown}{CE}$, на которую он опирается. Градусная мера дуги $\overset{\frown}{CE}$ равна $90^\circ$.

Для построения центрального угла $\angle MKT = 115^\circ$ в окружности с центром K:

1. Проведите из центра K произвольный радиус KM. Точка M будет лежать на окружности.
2. С помощью транспортира, совмещённого с центром K и лучом KM, отложите угол $115^\circ$. Этот угол является тупым.
3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее $115^\circ$, и поставьте метку.
4. Проведите через эту метку из центра K второй радиус до пересечения с окружностью в точке T.
5. Полученный угол $\angle MKT$ — искомый центральный угол.
6. Цветным карандашом выделите часть окружности между точками M и T.

Ответ: Построен центральный угол $\angle MKT = 115^\circ$ с вершиной в центре K, и выделена цветом дуга $\overset{\frown}{MT}$, на которую он опирается. Градусная мера дуги $\overset{\frown}{MT}$ равна $115^\circ$.