Страница 31, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Сделай прикидку и подбери частное чисел:

$152 : 19;$ $175 : 35;$ $159 : 53;$ $648 : 72;$
$104 : 26;$ $294 : 49;$ $427 : 61;$ $504 : 84.$

Образец:

$296 : 37 \approx 280 : 40 = 7$
$37 \cdot 7 = 259$ — не подходит
$37 \cdot 8 = 296$, значит, $296 : 37 = 8.$

152 : 19

Сделаем прикидку, округлив числа: $152 : 19 \approx 160 : 20 = 8$.
Проверим, является ли 8 частным. Для этого умножим 19 на 8:
$19 \times 8 = 152$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 8

175 : 35

Сделаем прикидку, округлив числа: $175 : 35 \approx 180 : 40 = 4.5$. Попробуем число 5.
Проверим, является ли 5 частным. Для этого умножим 35 на 5:
$35 \times 5 = 175$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 5

159 : 53

Сделаем прикидку, округлив числа: $159 : 53 \approx 150 : 50 = 3$.
Проверим, является ли 3 частным. Для этого умножим 53 на 3:
$53 \times 3 = 159$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 3

648 : 72

Сделаем прикидку, округлив числа: $648 : 72 \approx 630 : 70 = 9$.
Проверим, является ли 9 частным. Для этого умножим 72 на 9:
$72 \times 9 = 648$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 9

104 : 26

Сделаем прикидку, округлив числа: $104 : 26 \approx 100 : 25 = 4$.
Проверим, является ли 4 частным. Для этого умножим 26 на 4:
$26 \times 4 = 104$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 4

294 : 49

Сделаем прикидку, округлив числа: $294 : 49 \approx 300 : 50 = 6$.
Проверим, является ли 6 частным. Для этого умножим 49 на 6:
$49 \times 6 = 294$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 6

427 : 61

Сделаем прикидку, округлив числа: $427 : 61 \approx 420 : 60 = 7$.
Проверим, является ли 7 частным. Для этого умножим 61 на 7:
$61 \times 7 = 427$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 7

504 : 84

Сделаем прикидку, округлив числа: $504 : 84 \approx 480 : 80 = 6$.
Проверим, является ли 6 частным. Для этого умножим 84 на 6:
$84 \times 6 = 504$.
Так как результат умножения равен делимому, частное найдено верно.

Ответ: 6

2 Выполни деление:

$954 : 318;$ $1376 : 172;$ $3575 : 715;$

$1028 : 257;$ $2180 : 436;$ $3378 : 563.$

954 : 318
Для решения этого примера можно использовать метод подбора. Оценим, на какое число нужно умножить делитель $318$, чтобы получить делимое $954$.
Поскольку $300 \times 3 = 900$, а $954$ близко к $900$, попробуем умножить $318$ на $3$.
Проверка: $318 \times 3 = 954$.
Результат совпадает с делимым, значит, частное найдено верно.
Ответ: 3

1376 : 172
Для деления $1376$ на $172$ обратим внимание на последние цифры. Делимое оканчивается на $6$, а делитель на $2$. Чтобы в произведении получить на конце $6$, нужно $2$ умножить на $3$ или на $8$.
Оценим результат: $172$ близко к $200$. $1376$ близко к $1400$. $1400 / 200 = 7$. Значит, вероятный ответ - $8$.
Проверка: $172 \times 8 = 1376$.
Деление выполнено верно.
Ответ: 8

3575 : 715
Чтобы найти частное от деления $3575$ на $715$, округлим числа. $715$ близко к $700$, а $3575$ к $3500$.
$3500 : 700 = 5$.
Проверим умножением: $715 \times 5 = 3575$.
Произведение равно делимому, значит, частное найдено верно.
Ответ: 5

1028 : 257
Выполним деление $1028 : 257$. Оценим частное: $257$ — это примерно $250$, а $1028$ — примерно $1000$.
$1000 : 250 = 4$.
Также можно проверить по последним цифрам: делитель оканчивается на $7$, делимое — на $8$. Число $4$ при умножении на $7$ дает $28$, что оканчивается на $8$.
Проверка: $257 \times 4 = 1028$.
Результат верный.
Ответ: 4

2180 : 436
Для решения примера $2180 : 436$ посмотрим на последние цифры. Делитель $436$ оканчивается на $6$, а делимое $2180$ — на $0$. Число, которое при умножении на $6$ дает результат, оканчивающийся на $0$, это $5$ ($6 \times 5 = 30$).
Проверим эту догадку: $436 \times 5 = 2180$.
Результат верный.
Ответ: 5

3378 : 563
Чтобы разделить $3378$ на $563$, обратим внимание на последние цифры. Делитель оканчивается на $3$, а делимое — на $8$. На какое число нужно умножить $3$, чтобы получить число, оканчивающееся на $8$? Это $6$, так как $3 \times 6 = 18$.
Проверим, является ли $6$ искомым частным: $563 \times 6 = 3378$.
Деление выполнено правильно.
Ответ: 6

8 БЛИЦтурнир.

а) У Миши было $a$ груш, $\frac{3}{8}$ груш он съел. Сколько груш он съел?

б) Мама дала детям $b$ яблок. Это составило $\frac{2}{7}$ всех яблок, лежавших в корзине. Сколько яблок лежало в корзине?

в) Бабушка испекла $c$ пирожков. За ужином съели 8 пирожков. Какую часть всех пирожков съели за ужином?

г) В школе $d$ учеников. $12\%$ всех учеников учится в четвёртых классах. Сколько четвероклассников в этой школе?

д) В первом вагоне поезда $x$ пассажиров, что составляет $15\%$ всех пассажиров этого поезда. Сколько пассажиров в этом поезде?

а) У Миши было $a$ груш. Он съел $\frac{3}{8}$ от общего количества. Чтобы найти, сколько груш он съел, нужно общее количество груш умножить на ту часть, которую он съел.
$a \cdot \frac{3}{8} = \frac{3a}{8}$ (груш).
Ответ: $\frac{3a}{8}$ груш.

б) Мама дала детям $b$ яблок, и это количество составляет $\frac{2}{7}$ от всех яблок в корзине. Чтобы найти общее количество яблок в корзине, нужно известную часть ($b$) разделить на соответствующую ей долю ($\frac{2}{7}$).
$b \div \frac{2}{7} = b \cdot \frac{7}{2} = \frac{7b}{2}$ (яблок).
Ответ: $\frac{7b}{2}$ яблок.

в) Бабушка испекла $c$ пирожков, а за ужином съели 8. Чтобы найти, какую часть съеденные пирожки составляют от общего количества, нужно количество съеденных пирожков (8) разделить на общее количество испечённых пирожков ($c$).
$8 \div c = \frac{8}{c}$.
Ответ: $\frac{8}{c}$ всех пирожков.

г) В школе $d$ учеников. Четвероклассники составляют 12% от всех учеников. Чтобы найти количество четвероклассников, нужно общее число учеников умножить на долю, которую они составляют. Сначала переведём проценты в десятичную дробь: $12\% = 0.12$.
$d \cdot 0.12 = 0.12d$ (учеников).
Ответ: $0.12d$ учеников.

д) В первом вагоне $x$ пассажиров, что составляет 15% от всех пассажиров поезда. Чтобы найти общее количество пассажиров, нужно известную часть ($x$) разделить на долю, которую она составляет. Переведём проценты в десятичную дробь: $15\% = 0.15$.
$x \div 0.15 = \frac{x}{0.15}$ (пассажиров). Это выражение также можно упростить: $\frac{x}{0.15} = \frac{x}{15/100} = x \cdot \frac{100}{15} = \frac{20x}{3}$.
Ответ: $\frac{x}{0.15}$ пассажиров.

9 Миша задумал число, умножил его на 4, из получившегося произведения вычел 14 и результат разделил на 6. В частном у него получилось наибольшее однозначное число. Какое число задумал Миша?

Чтобы найти число, которое задумал Миша, можно решить задачу с конца, выполняя обратные действия, или составить уравнение. Рассмотрим решение с помощью уравнения.

Пусть $x$ – это число, которое задумал Миша. Запишем все действия, которые он совершил, в виде математического выражения.

1. Он умножил число на 4, получилось $4x$.
2. Из полученного произведения вычел 14, получилось $4x - 14$.
3. Результат разделил на 6, получилось $(4x - 14) \div 6$.

В условии сказано, что в частном получилось наибольшее однозначное число. Наибольшее однозначное число — это 9.

Теперь мы можем составить уравнение:
$(4x - 14) \div 6 = 9$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$.
Сначала умножим обе части уравнения на 6:
$4x - 14 = 9 \cdot 6$
$4x - 14 = 54$

Затем прибавим 14 к обеим частям уравнения:
$4x = 54 + 14$
$4x = 68$

И, наконец, разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = 68 \div 4$
$x = 17$

Таким образом, Миша задумал число 17.

Проверка:
1. Задуманное число – 17.
2. Умножаем его на 4: $17 \cdot 4 = 68$.
3. Вычитаем 14 из результата: $68 - 14 = 54$.
4. Делим результат на 6: $54 \div 6 = 9$.
Полученное число 9 действительно является наибольшим однозначным числом. Решение верное.

Ответ: 17

10 Реши уравнение:

а) $115 - 6 \cdot x = 73;$

б) $540 \div x + 85 = 91;$

в) $18 + (16 - x) \cdot 8 = 90;$

г) $(4900 \div y - 280) \div 60 = 7.$

а)

$115 - 6 \cdot x = 73$

В данном уравнении выражение $6 \cdot x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого ($115$) вычесть разность ($73$).

$6 \cdot x = 115 - 73$

$6 \cdot x = 42$

Теперь $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($42$) разделить на известный множитель ($6$).

$x = 42 : 6$

$x = 7$

Проверка: $115 - 6 \cdot 7 = 115 - 42 = 73$.

Ответ: 7.

б)

$540 : x + 85 = 91$

В этом уравнении выражение $540 : x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($91$) вычесть известное слагаемое ($85$).

$540 : x = 91 - 85$

$540 : x = 6$

Теперь $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($540$) разделить на частное ($6$).

$x = 540 : 6$

$x = 90$

Проверка: $540 : 90 + 85 = 6 + 85 = 91$.

Ответ: 90.

в)

$18 + (16 - x) \cdot 8 = 90$

Выражение $(16 - x) \cdot 8$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($90$) вычесть известное слагаемое ($18$).

$(16 - x) \cdot 8 = 90 - 18$

$(16 - x) \cdot 8 = 72$

Теперь выражение в скобках $(16 - x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($72$) разделить на известный множитель ($8$).

$16 - x = 72 : 8$

$16 - x = 9$

В полученном уравнении $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($16$) вычесть разность ($9$).

$x = 16 - 9$

$x = 7$

Проверка: $18 + (16 - 7) \cdot 8 = 18 + 9 \cdot 8 = 18 + 72 = 90$.

Ответ: 7.

г)

$(4900 : y - 280) : 60 = 7$

Выражение в скобках $(4900 : y - 280)$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное ($7$) умножить на делитель ($60$).

$4900 : y - 280 = 7 \cdot 60$

$4900 : y - 280 = 420$

Теперь выражение $4900 : y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно к разности ($420$) прибавить вычитаемое ($280$).

$4900 : y = 420 + 280$

$4900 : y = 700$

В этом уравнении $y$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое ($4900$) разделить на частное ($700$).

$y = 4900 : 700$

$y = 7$

Проверка: $(4900 : 7 - 280) : 60 = (700 - 280) : 60 = 420 : 60 = 7$.

Ответ: 7.

11 Выбери из множества ${3\frac{1}{4}, 5\frac{1}{2}, 6, 7\frac{8}{9}, 8\frac{1}{10}}$ решения неравенства $4 \le x < 8$.

Чтобы выбрать решения неравенства $4 \le x < 8$ из множества $\{3\frac{1}{4}, 5\frac{1}{2}, 6, 7\frac{8}{9}, 8\frac{1}{10}\}$, нужно проверить каждое число из этого множества. Решением будет число, которое больше или равно 4 и одновременно строго меньше 8.

1. Проверим число $3\frac{1}{4}$.
Сравниваем с 4: $3\frac{1}{4} < 4$. Это число не удовлетворяет условию $4 \le x$, поэтому оно не является решением неравенства.

2. Проверим число $5\frac{1}{2}$.
Сравниваем с 4: $4 \le 5\frac{1}{2}$ (верно).
Сравниваем с 8: $5\frac{1}{2} < 8$ (верно).
Оба условия выполняются, значит, $5\frac{1}{2}$ является решением.

3. Проверим число $6$.
Сравниваем с 4: $4 \le 6$ (верно).
Сравниваем с 8: $6 < 8$ (верно).
Оба условия выполняются, значит, $6$ является решением.

4. Проверим число $7\frac{8}{9}$.
Сравниваем с 4: $4 \le 7\frac{8}{9}$ (верно).
Сравниваем с 8: $7\frac{8}{9} < 8$ (верно).
Оба условия выполняются, значит, $7\frac{8}{9}$ является решением.

5. Проверим число $8\frac{1}{10}$.
Сравниваем с 8: $8\frac{1}{10} > 8$. Это число не удовлетворяет условию $x < 8$, поэтому оно не является решением неравенства.

Таким образом, решениями неравенства из данного множества являются числа $5\frac{1}{2}$, $6$ и $7\frac{8}{9}$.

Ответ: $5\frac{1}{2}, 6, 7\frac{8}{9}$.

12 Найди 3 значения t, удовлетворяющие неравенству:

а) $1 < t < 2$;

б) $t \ge \frac{5}{4}$;

в) $t < 2\frac{6}{7}$.

а)

Согласно неравенству $1 < t < 2$, искомые значения $t$ должны быть строго больше 1, но строго меньше 2. Между 1 и 2 находится бесконечно много чисел. В качестве примера можно взять любые три дробных числа из этого интервала. Например, подойдут значения $1,2$, $1,5$ и $1,8$. Каждое из них удовлетворяет условию: $1 < 1,2 < 2$, $1 < 1,5 < 2$, $1 < 1,8 < 2$.

Ответ: $1,2; 1,5; 1,8$.

б)

Неравенство $t \ge \frac{5}{4}$ означает, что значение $t$ должно быть больше или равно $\frac{5}{4}$. Переведем дробь $\frac{5}{4}$ в десятичный вид для наглядности: $\frac{5}{4} = 1,25$. Таким образом, нам нужны числа, которые не меньше $1,25$. Поскольку неравенство нестрогое, одним из решений является само число $\frac{5}{4}$. Другими двумя решениями могут быть любые числа, большие $\frac{5}{4}$, например, целые числа $2$ и $3$.

Ответ: $\frac{5}{4}; 2; 3$.

в)

В неравенстве $t < \frac{6}{7}$ значение $t$ должно быть строго меньше $\frac{6}{7}$. Дробь $\frac{6}{7}$ — положительное число, меньшее 1. Следовательно, любое число, которое меньше $\frac{6}{7}$, будет решением. Можно выбрать, например, другую положительную дробь с меньшим числителем, как $\frac{1}{7}$. Также подойдет ноль, так как $0 < \frac{6}{7}$. Кроме того, любое отрицательное число, например $-5$, будет решением, так как оно меньше любого положительного числа.

Ответ: $\frac{1}{7}; 0; -5$.

13 Найди наибольшее натуральное решение неравенства:

a) $k \le 568 + 80 \cdot (205 \cdot 906 - 124885) : 400;$

б) $n < (643 + 257) \cdot (497 \cdot 403 - 155956 : 307).$

а) $k \le 568 + 80 \cdot (205 \cdot 906 - 124 885) : 400$

Для решения неравенства необходимо сначала вычислить значение выражения в правой части, соблюдая правильный порядок арифметических действий.

1. Выполним действия в скобках (сначала умножение, затем вычитание):
$205 \cdot 906 = 185 730$
$185 730 - 124 885 = 60 845$

2. Теперь неравенство выглядит так: $k \le 568 + 80 \cdot 60 845 : 400$. Выполним умножение и деление слева направо:
$80 \cdot 60 845 = 4 867 600$
$4 867 600 : 400 = 12 169$

3. Выполним последнее действие — сложение:
$568 + 12 169 = 12 737$

Таким образом, мы получаем неравенство: $k \le 12 737$.

Наибольшее натуральное число $k$, которое удовлетворяет этому условию, это 12 737, так как знак неравенства нестрогий (меньше или равно).

Ответ: 12 737.

б) $n < (643 + 257) \cdot (497 \cdot 403 - 155 956 : 307)$

Вычислим значение выражения в правой части неравенства, соблюдая порядок действий.

1. Вычислим значение в первых скобках:
$643 + 257 = 900$

2. Вычислим значение во вторых скобках (сначала деление и умножение, затем вычитание):
$155 956 : 307 = 508$
$497 \cdot 403 = 200 291$
$200 291 - 508 = 199 783$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в скобках:
$900 \cdot 199 783 = 179 804 700$

В результате неравенство принимает вид: $n < 179 804 700$.

Поскольку $n$ должно быть строго меньше, чем $179 804 700$, наибольшим натуральным числом, удовлетворяющим этому условию, будет число, на единицу меньшее: $179 804 700 - 1 = 179 804 699$.

Ответ: 179 804 699.

14 Тане с Сашей вместе 14 лет, Саше с Петей — 20 лет, а Тане с Петей — 16 лет. Сколько лет Тане, Саше и Пете вместе? Сколько лет каждому из них?

Для решения задачи обозначим возраст каждого ребенка первой буквой его имени:

• $Т$ — возраст Тани
• $С$ — возраст Саши
• $П$ — возраст Пети

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1) $Т + С = 14$
2) $С + П = 20$
3) $Т + П = 16$

Сколько лет Тане, Саше и Пете вместе?

Чтобы найти, сколько лет всем детям вместе, нужно сложить все три уравнения. В левой части мы получим удвоенную сумму возрастов каждого ребенка, так как имя каждого встречается дважды:

$(Т + С) + (С + П) + (Т + П) = 14 + 20 + 16$

$2Т + 2С + 2П = 50$

Вынесем 2 за скобки:

$2(Т + С + П) = 50$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти суммарный возраст:

$Т + С + П = 50 / 2$

$Т + С + П = 25$

Ответ: Вместе Тане, Саше и Пете 25 лет.

Сколько лет каждому из них?

Теперь, зная общий возраст ($25$ лет), мы можем найти возраст каждого ребенка, вычитая из общей суммы возраст двух других детей (который нам известен из условия).

1. Возраст Пети ($П$):
Мы знаем, что общий возраст $Т + С + П = 25$ лет, а возраст Тани и Саши вместе $Т + С = 14$ лет. Найдем возраст Пети:
$П = (Т + С + П) - (Т + С) = 25 - 14 = 11$ лет.

2. Возраст Тани ($Т$):
Мы знаем, что общий возраст $Т + С + П = 25$ лет, а возраст Саши и Пети вместе $С + П = 20$ лет. Найдем возраст Тани:
$Т = (Т + С + П) - (С + П) = 25 - 20 = 5$ лет.

3. Возраст Саши ($С$):
Мы знаем, что общий возраст $Т + С + П = 25$ лет, а возраст Тани и Пети вместе $Т + П = 16$ лет. Найдем возраст Саши:
$С = (Т + С + П) - (Т + П) = 25 - 16 = 9$ лет.

Ответ: Тане 5 лет, Саше 9 лет, а Пете 11 лет.

3 Отложи указанные углы по обе стороны данных лучей:

а) угол $20^\circ$

в) угол $35^\circ$

б) угол $140^\circ$

г) угол $90^\circ$

а) угол 20°

Чтобы отложить угол $20^\circ$ по обе стороны от луча OA, необходимо приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (точкой O), а его нулевая линия (основание) легла на луч OA. Затем на шкале транспортира нужно найти отметку $20^\circ$ с одной стороны от луча (например, сверху) и поставить там точку M. После этого, аналогично, нужно найти отметку $20^\circ$ с другой стороны от луча (снизу) и поставить точку N. Соединив с помощью линейки точку O с точками M и N, мы получим два новых луча: OM и ON. Таким образом, построены два угла, равные $20^\circ$: $\angle MOA = 20^\circ$ и $\angle NOA = 20^\circ$.

Ответ: Построены два луча OM и ON с началом в точке O, которые образуют с лучом OA углы $\angle MOA = 20^\circ$ и $\angle NOA = 20^\circ$ по разные стороны от него.

б) угол 140°

Для построения угла $140^\circ$ по обе стороны от луча OC, прикладываем транспортир центром к точке O и совмещаем его нулевую линию с лучом OC. На шкале транспортира находим деление $140^\circ$ с одной стороны от луча и отмечаем точку P. Затем, не меняя положения транспортира, находим деление $140^\circ$ с другой стороны от луча OC и отмечаем точку Q. Проводим лучи OP и OQ из точки O через отмеченные точки. В результате мы получаем два искомых тупых угла: $\angle POC = 140^\circ$ и $\angle QOC = 140^\circ$.

Ответ: Построены два луча OP и OQ с началом в точке O, которые образуют с лучом OC углы $\angle POC = 140^\circ$ и $\angle QOC = 140^\circ$ по разные стороны от него.

в) угол 35°

Чтобы отложить угол в $35^\circ$ по обе стороны от луча OB, следует совместить центр транспортира с точкой O, а его нулевую отметку — с лучом OB. После этого нужно найти на шкале транспортира отметку $35^\circ$ с одной стороны от луча и поставить в этом месте точку R. Затем необходимо найти отметку $35^\circ$ с другой стороны от луча и поставить точку S. Соединив точку O с точками R и S, мы получим лучи OR и OS. В результате будут построены два острых угла: $\angle ROB = 35^\circ$ и $\angle SOB = 35^\circ$.

Ответ: Построены два луча OR и OS с началом в точке O, которые образуют с лучом OB углы $\angle ROB = 35^\circ$ и $\angle SOB = 35^\circ$ по разные стороны от него.

г) угол 90°

Для построения прямого угла ($90^\circ$) по обе стороны от луча OD, нужно поместить центр транспортира в точку O, а его нулевую линию совместить с лучом OD. Затем на шкале транспортира находим отметку $90^\circ$ и ставим точку T с одной стороны от луча. Аналогично, находим отметку $90^\circ$ с другой стороны от луча и ставим точку U. Проводим лучи OT и OU. В результате получаем два прямых угла: $\angle TOD = 90^\circ$ и $\angle UOD = 90^\circ$. Построенные лучи OT и OU являются перпендикулярами к лучу OD.

Ответ: Построены два луча OT и OU с началом в точке O, которые образуют с лучом OD прямые углы $\angle TOD = 90^\circ$ и $\angle UOD = 90^\circ$ по разные стороны от него.

4 Начерти луч $OA$. С помощью транспортира отложи по одну и ту же сторону от этого луча углы: $\angle AOB = 30^{\circ}$, $\angle AOC = 60^{\circ}$, $\angle AOD = 90^{\circ}$, $\angle AOE = 120^{\circ}$, $\angle AOM = 150^{\circ}$, $\angle AOK = 180^{\circ}$. Назови несколько острых, прямых и тупых углов. Что ты замечаешь?

Назови несколько острых, прямых и тупых углов.

После построения всех углов от луча OA, мы можем классифицировать их и другие углы, образованные получившимися лучами.
Острые углы (меньше $90^\circ$): К ним относятся заданные в условии $\angle AOB = 30^\circ$ и $\angle AOC = 60^\circ$. Также острыми будут углы между некоторыми соседними лучами, например, $\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ или $\angle COD = \angle AOD - \angle AOC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Прямые углы (равны $90^\circ$): В условии задан прямой угол $\angle AOD = 90^\circ$. Также можно найти и другие прямые углы, например, $\angle DOK = \angle AOK - \angle AOD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Еще один пример - $\angle BOE = \angle AOE - \angle AOB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.
Тупые углы (больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$): В условии даны $\angle AOE = 120^\circ$ и $\angle AOM = 150^\circ$. Другим примером тупого угла является $\angle BOK = \angle AOK - \angle AOB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Угол $\angle AOK = 180^\circ$ является развернутым.

Ответ: Острые углы: $\angle AOB, \angle AOC, \angle BOC$. Прямые углы: $\angle AOD, \angle DOK$. Тупые углы: $\angle AOE, \angle AOM$.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что лучи OA и OK являются дополнительными друг к другу, то есть образуют прямую. Угол $\angle AOK$ — развернутый и равен $180^\circ$.
Основное наблюдение заключается в том, что если вычислить градусные меры углов между всеми соседними лучами, они окажутся равными:
$\angle AOB = 30^\circ$
$\angle BOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$
$\angle COD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$
$\angle DOE = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$
$\angle EOM = 150^\circ - 120^\circ = 30^\circ$
$\angle MOK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$
Таким образом, лучи OB, OC, OD, OE, OM делят развернутый угол $\angle AOK$ на 6 равных углов.

Ответ: Лучи OB, OC, OD, OE, OM делят развернутый угол $\angle AOK$ на 6 равных углов по $30^\circ$ каждый.

5 Построй угол, составляющий:

а) $\frac{2}{9}$ развёрнутого угла;

б) $\frac{11}{18}$ прямого угла;

в) $\frac{7}{5}$ прямого угла.

а)

Чтобы построить угол, составляющий $\frac{2}{9}$ развёрнутого угла, сначала найдём его градусную меру. Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$.

Вычислим, чему равны $\frac{2}{9}$ от $180^\circ$:
$\frac{2}{9} \cdot 180^\circ = 2 \cdot \frac{180^\circ}{9} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Следовательно, нужно построить угол, равный $40^\circ$. Для этого с помощью линейки чертим луч, а затем с помощью транспортира откладываем от этого луча угол в $40^\circ$ и проводим второй луч.

Ответ: $40^\circ$.

б)

Чтобы построить угол, составляющий $\frac{11}{18}$ прямого угла, сначала найдём его градусную меру. Величина прямого угла составляет $90^\circ$.

Вычислим, чему равны $\frac{11}{18}$ от $90^\circ$:
$\frac{11}{18} \cdot 90^\circ = 11 \cdot \frac{90^\circ}{18} = 11 \cdot 5^\circ = 55^\circ$.

Следовательно, нужно построить угол, равный $55^\circ$. Построение выполняется с помощью линейки и транспортира.

Ответ: $55^\circ$.

в)

Чтобы построить угол, составляющий $\frac{7}{5}$ прямого угла, сначала найдём его градусную меру. Величина прямого угла составляет $90^\circ$.

Вычислим, чему равны $\frac{7}{5}$ от $90^\circ$:
$\frac{7}{5} \cdot 90^\circ = 7 \cdot \frac{90^\circ}{5} = 7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$.

Следовательно, нужно построить угол, равный $126^\circ$. Это тупой угол, который строится с помощью линейки и транспортира.

Ответ: $126^\circ$.

6 Построй угол, если известно, что:

a) $\frac{3}{8}$ его составляют $27^{\circ}$;

б) $\frac{7}{20}$ его составляют $42^{\circ}$;

в) $\frac{5}{3}$ его составляют $60^{\circ}$.

а)

Чтобы найти градусную меру всего угла, необходимо значение его части ($27^\circ$) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($ \frac{3}{8} $).

$ 27 \div \frac{3}{8} = 27 \times \frac{8}{3} = \frac{27 \times 8}{3} = 9 \times 8 = 72^\circ $

Таким образом, нужно построить угол, равный $ 72^\circ $. Для этого с помощью транспортира откладываем от произвольного луча угол заданной величины.

Ответ: $ 72^\circ $.

б)

Аналогично, найдем градусную меру всего угла, зная, что $ \frac{7}{20} $ его составляют $ 42^\circ $. Для этого разделим $ 42^\circ $ на $ \frac{7}{20} $.

$ 42 \div \frac{7}{20} = 42 \times \frac{20}{7} = \frac{42 \times 20}{7} = 6 \times 20 = 120^\circ $

Строим с помощью транспортира угол, равный $ 120^\circ $.

Ответ: $ 120^\circ $.

в)

Найдем градусную меру всего угла, зная, что $ \frac{5}{3} $ его составляют $ 60^\circ $. Для этого разделим $ 60^\circ $ на $ \frac{5}{3} $.

$ 60 \div \frac{5}{3} = 60 \times \frac{3}{5} = \frac{60 \times 3}{5} = 12 \times 3 = 36^\circ $

Строим с помощью транспортира угол, равный $ 36^\circ $.

Ответ: $ 36^\circ $.

7 Чем отличается расположение вершин и сторон углов $ABC$, $MNK$ и $DEF$ относительно соответствующих окружностей?

Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

а) $\angle ABC$ — вписанный угол

Для того чтобы ответить на вопрос, рассмотрим расположение каждого угла относительно окружности.

Угол ABC

Вершина угла, точка B, расположена на окружности. Обе стороны угла, лучи BA и BC, пересекают окружность (в точках A и C соответственно). Такие стороны, пересекающие окружность в двух точках, называются секущими. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Ответ: Вершина угла $ \angle ABC $ лежит на окружности, а обе его стороны являются секущими к окружности.

Угол MNK

Вершина угла, точка N, расположена внутри окружности. Стороны угла, лучи NM и NK, пересекают окружность в точках M и K.

Ответ: Вершина угла $ \angle MNK $ находится внутри окружности, а его стороны пересекают окружность.

Угол DEF

Вершина угла, точка E, расположена на окружности. Одна сторона угла, луч ED, имеет с окружностью только одну общую точку (точку E), то есть является касательной к окружности. Другая сторона, луч EF, пересекает окружность в двух точках (E и F), то есть является секущей.

Ответ: Вершина угла $ \angle DEF $ лежит на окружности, одна его сторона является касательной к окружности, а другая — секущей.

Таким образом, углы отличаются как расположением своих вершин (на окружности или внутри нее), так и тем, как их стороны взаимодействуют с окружностью (являются секущими или касательными).