Страница 26, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Сделай оценку следующих частных:

а) $\Box : \Box < 432 : 27 < \Box : \Box$

$\Box : \Box < 432 : 27 < \Box$

б) $\Box : \Box < 2128 : 38 < \Box : \Box$

$\Box : \Box < 2128 : 38 < \Box$

в) $\Box : \Box < 3025 : 75 < \Box : \Box$

$\Box : \Box < 3025 : 75 < \Box$

г) $\Box : \Box < 42849 : 529 < \Box : \Box$

$\Box : \Box < 42849 : 529 < \Box$

a)

Чтобы сделать оценку частного $432 : 27$, нужно найти два частных, которые легко вычисляются и между которыми находится искомое частное. Это можно сделать двумя способами.

1. Оценка путем подбора чисел, кратных делителю.
Определим, между какими "круглыми" числами находится результат. $10 \times 27 = 270$ (это меньше, чем 432). $20 \times 27 = 540$ (это больше, чем 432). Значит, результат деления находится между 10 и 20. Так как $270 < 432 < 540$, то, разделив все части неравенства на 27, получаем: $270 : 27 < 432 : 27 < 540 : 27$, то есть $10 < 432 : 27 < 20$.

2. Оценка путем округления делимого и делителя.
Чтобы получить нижнюю границу, уменьшим делимое и увеличим делитель, выбрав удобные "круглые" числа. Например, округлим 432 до 420, а 27 до 30. Получим: $420 : 30 = 14$. Чтобы получить верхнюю границу, увеличим делимое и уменьшим делитель. Например, округлим 432 до 450, а 27 до 25. Получим: $450 : 25 = 18$. Таким образом, получаем более точную оценку: $14 < 432 : 27 < 18$.

Ответ:
$270 : 27 < 432 : 27 < 540 : 27$
$420 : 30 < 432 : 27 < 450 : 25$

б)

Оценим частное $2128 : 38$.

1. Оценка путем подбора чисел, кратных делителю.
Найдем "круглые" числа, между которыми находится результат. $212 : 38 \approx 200 : 40 = 5$. Значит, частное начинается с цифры 5. $50 \times 38 = 1900$ (меньше 2128). $60 \times 38 = 2280$ (больше 2128). Результат деления находится между 50 и 60. Так как $1900 < 2128 < 2280$, то: $1900 : 38 < 2128 : 38 < 2280 : 38$, то есть $50 < 2128 : 38 < 60$.

2. Оценка путем округления делимого и делителя.
Нижняя граница: округлим 2128 вниз до 2000, а 38 вверх до 40. $2000 : 40 = 50$. Верхняя граница: округлим 2128 вверх до 2400, а 38 вниз до 30. $2400 : 30 = 80$. Получаем оценку: $50 < 2128 : 38 < 80$.

Ответ:
$1900 : 38 < 2128 : 38 < 2280 : 38$
$2000 : 40 < 2128 : 38 < 2400 : 30$

в)

Оценим частное $3025 : 75$.

1. Оценка путем подбора чисел, кратных делителю.
Определим первую цифру частного: $302 : 75 \approx 300 : 75 = 4$. $40 \times 75 = 3000$ (меньше 3025). $50 \times 75 = 3750$ (больше 3025). Результат деления находится между 40 и 50. Так как $3000 < 3025 < 3750$, то: $3000 : 75 < 3025 : 75 < 3750 : 75$, то есть $40 < 3025 : 75 < 50$.

2. Оценка путем округления делимого и делителя.
Нижняя граница: округлим 3025 вниз до 3000, а 75 вверх до 100. $3000 : 100 = 30$. Верхняя граница: округлим 3025 вверх до 3500, а 75 вниз до 70. $3500 : 70 = 50$. Получаем оценку: $30 < 3025 : 75 < 50$.

Ответ:
$3000 : 75 < 3025 : 75 < 3750 : 75$
$3000 : 100 < 3025 : 75 < 3500 : 70$

г)

Оценим частное $42849 : 529$.

1. Оценка путем подбора чисел, кратных делителю.
Определим первую цифру частного: $4284 : 529 \approx 4000 : 500 = 8$. $80 \times 529 = 42320$ (меньше 42849). $90 \times 529 = 47610$ (больше 42849). Результат деления находится между 80 и 90. Так как $42320 < 42849 < 47610$, то: $42320 : 529 < 42849 : 529 < 47610 : 529$, то есть $80 < 42849 : 529 < 90$.

2. Оценка путем округления делимого и делителя.
Нижняя граница: округлим 42849 вниз до 42000, а 529 вверх до 600. $42000 : 600 = 70$. Верхняя граница: округлим 42849 вверх до 45000, а 529 вниз до 500. $45000 : 500 = 90$. Получаем оценку: $70 < 42849 : 529 < 90$.

Ответ:
$42320 : 529 < 42849 : 529 < 47610 : 529$
$42000 : 600 < 42849 : 529 < 45000 : 500$

4 Докажи, что:

$698 : 2 > 300;$

$500 < 22\ 464 : 36 < 800;$

$785 : 5 < 200;$

$30 < 1645 : 47 < 50;$

$400 < 896 : 2 < 500;$

$700 < 385\ 636 : 458 < 1000.$

Для доказательства выполним деление в левой части неравенства:
$698 : 2 = 349$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью:
$349 > 300$.
Неравенство верно.
Ответ: Доказано, так как $349 > 300$.

Вычислим частное в левой части неравенства:
$785 : 5 = 157$.
Сравним полученное значение с правой частью:
$157 < 200$.
Неравенство верно.
Ответ: Доказано, так как $157 < 200$.

Сначала найдем значение выражения в середине двойного неравенства:
$896 : 2 = 448$.
Теперь подставим результат в неравенство:
$400 < 448 < 500$.
Это двойное неравенство верно, так как верны обе его части: $400 < 448$ и $448 < 500$.
Ответ: Доказано, так как $400 < 448 < 500$.

Вычислим значение выражения в центре неравенства:
$22464 : 36 = 624$.
Подставим полученное значение в двойное неравенство:
$500 < 624 < 800$.
Неравенство верно, поскольку обе его части верны: $500 < 624$ и $624 < 800$.
Ответ: Доказано, так как $500 < 624 < 800$.

Найдем значение частного в середине неравенства:
$1645 : 47 = 35$.
Подставим результат в двойное неравенство:
$30 < 35 < 50$.
Неравенство верно, так как $30 < 35$ и $35 < 50$.
Ответ: Доказано, так как $30 < 35 < 50$.

Вычислим значение выражения в центре неравенства:
$385636 : 458 = 842$.
Подставим полученное значение в двойное неравенство:
$700 < 842 < 1000$.
Это неравенство является верным, потому что обе его части верны: $700 < 842$ и $842 < 1000$.
Ответ: Доказано, так как $700 < 842 < 1000$.

5 В каких границах заключены частные:

$423 : 9$; $124056 : 6$; $22848 : 56$; $367846 : 698$?

Чтобы определить границы, в которых заключено частное, нужно найти два удобных для деления числа (кратных делителю), между которыми находится делимое. Затем разделить эти числа на делитель, получив таким образом нижнюю и верхнюю границы для искомого частного.

423 : 9

Найдем два числа, кратных 9, между которыми находится число 423. Возьмем $9 \times 40 = 360$ и $9 \times 50 = 450$. Поскольку $360 < 423 < 450$, то и частное от деления 423 на 9 будет находиться между результатами деления 360 и 450 на 9. Запишем это в виде двойного неравенства: $360 : 9 < 423 : 9 < 450 : 9$ $40 < 423 : 9 < 50$ Таким образом, частное заключено в границах от 40 до 50.
Ответ: от 40 до 50.

124056 : 6

Найдем два числа, кратных 6, между которыми находится 124056. Рассмотрим числа $6 \times 20000 = 120000$ и $6 \times 21000 = 126000$. Так как $120000 < 124056 < 126000$, можем составить неравенство: $120000 : 6 < 124056 : 6 < 126000 : 6$ $20000 < 124056 : 6 < 21000$ Таким образом, частное заключено в границах от 20000 до 21000.
Ответ: от 20000 до 21000.

22848 : 56

Найдем два числа, кратных 56, между которыми находится 22848. Подберем множители, оканчивающиеся на нули: $56 \times 400 = 22400$ и $56 \times 500 = 28000$. Поскольку $22400 < 22848 < 28000$, то: $22400 : 56 < 22848 : 56 < 28000 : 56$ $400 < 22848 : 56 < 500$ Таким образом, частное заключено в границах от 400 до 500.
Ответ: от 400 до 500.

367846 : 698

Найдем два числа, кратных 698, между которыми находится 367846. Умножим делитель 698 на "круглые" числа: $698 \times 500 = 349000$ $698 \times 600 = 418800$ Так как $349000 < 367846 < 418800$, то: $349000 : 698 < 367846 : 698 < 418800 : 698$ $500 < 367846 : 698 < 600$ Таким образом, частное заключено в границах от 500 до 600.
Ответ: от 500 до 600.

Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

а) $6 + m \cdot 4 = 70;$

б) $k : 5 + 8 = 27;$

в) $30 - 200 : n = 25;$

г) $t \cdot 20 - 36 = 144.$

а) $6 + m \cdot 4 = 70$

В этом уравнении выражение $m \cdot 4$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (70) вычесть известное слагаемое (6).

$m \cdot 4 = 70 - 6$

$m \cdot 4 = 64$

Теперь в уравнении неизвестен множитель $m$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (64) разделить на известный множитель (4).

$m = 64 : 4$

$m = 16$

Проверка:

Подставим найденное значение $m = 16$ в исходное уравнение:

$6 + 16 \cdot 4 = 70$

$6 + 64 = 70$

$70 = 70$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $m=16$.

б) $k : 5 + 8 = 27$

В этом уравнении выражение $k : 5$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (27) вычесть известное слагаемое (8).

$k : 5 = 27 - 8$

$k : 5 = 19$

Теперь в уравнении неизвестно делимое $k$. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное (19) умножить на делитель (5).

$k = 19 \cdot 5$

$k = 95$

Проверка:

Подставим найденное значение $k = 95$ в исходное уравнение:

$95 : 5 + 8 = 27$

$19 + 8 = 27$

$27 = 27$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $k=95$.

в) $30 - 200 : n = 25$

В этом уравнении выражение $200 : n$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (30) вычесть разность (25).

$200 : n = 30 - 25$

$200 : n = 5$

Теперь в уравнении неизвестен делитель $n$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (200) разделить на частное (5).

$n = 200 : 5$

$n = 40$

Проверка:

Подставим найденное значение $n = 40$ в исходное уравнение:

$30 - 200 : 40 = 25$

$30 - 5 = 25$

$25 = 25$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $n=40$.

г) $t \cdot 20 - 36 = 144$

В этом уравнении выражение $t \cdot 20$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (144) прибавить вычитаемое (36).

$t \cdot 20 = 144 + 36$

$t \cdot 20 = 180$

Теперь в уравнении неизвестен множитель $t$. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (180) разделить на известный множитель (20).

$t = 180 : 20$

$t = 9$

Проверка:

Подставим найденное значение $t = 9$ в исходное уравнение:

$9 \cdot 20 - 36 = 144$

$180 - 36 = 144$

$144 = 144$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $t=9$.

7 Выполни действия:

a) $(375018 + 5678 \cdot 924) \div 7 - 15192$;

б) $4280185 + (89040 \cdot 705 - 478760) \div 8$.

а) $(375018 + 5678 \cdot 924) : 7 - 15192$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются операции в скобках (умножение, затем сложение), после этого деление и, наконец, вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:
   $5678 \cdot 924 = 5246472$

2. Выполним сложение в скобках:
   $375018 + 5246472 = 5621490$

3. Выполним деление:
   $5621490 : 7 = 803070$

4. Выполним вычитание:
   $803070 - 15192 = 787878$

Ответ: 787878

б) $4280185 + (89040 \cdot 705 - 478760) : 8$

Решим данный пример по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление и в конце сложение.

1. Выполним умножение в скобках:
   $89040 \cdot 705 = 62773200$

2. Выполним вычитание в скобках:
   $62773200 - 478760 = 62294440$

3. Выполним деление:
   $62294440 : 8 = 7786805$

4. Выполним сложение:
   $4280185 + 7786805 = 12066990$

Ответ: 12066990

8 Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Пользуясь ими, упрости выражения:

$a + 23 + 67$, $42 + b + 128$, $15 \cdot c \cdot 4$, $2 \cdot d \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2$.

Сначала запишем переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения с помощью букв.

• Переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. $a + b = b + a$
• Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Переместительное свойство умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. $a \cdot b = b \cdot a$
• Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Теперь, пользуясь этими свойствами, упростим выражения.

a + 23 + 67

Чтобы упростить выражение, воспользуемся сочетательным свойством сложения и сгруппируем числовые слагаемые: $a + 23 + 67 = a + (23 + 67)$. Теперь выполним сложение в скобках: $23 + 67 = 90$. В результате получаем: $a + 90$.

Ответ: $a + 90$

42 + b + 128

Чтобы упростить выражение, воспользуемся переместительным свойством сложения, чтобы поставить числа рядом, а затем сочетательным свойством, чтобы их сгруппировать: $42 + b + 128 = 42 + 128 + b = (42 + 128) + b$. Выполним сложение в скобках: $42 + 128 = 170$. В результате получаем: $170 + b$.

Ответ: $170 + b$

15 · c · 4

Чтобы упростить выражение, используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать числовые множители: $15 \cdot c \cdot 4 = 15 \cdot 4 \cdot c = (15 \cdot 4) \cdot c$. Выполним умножение в скобках: $15 \cdot 4 = 60$. В результате получаем: $60 \cdot c$ или просто $60c$.

Ответ: $60c$

2 · d · 7 · 5 · 5 · 2

Чтобы упростить выражение, используем переместительное и сочетательное свойства умножения. Сгруппируем множители так, чтобы было удобно считать. Например, сгруппируем пары чисел, дающие в произведении 10: $2 \cdot d \cdot 7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 = (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 7 \cdot d$. Выполним умножение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$. Получаем: $10 \cdot 10 \cdot 7 \cdot d$. Теперь перемножим оставшиеся числа: $(10 \cdot 10) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700$. В результате получаем: $700 \cdot d$ или просто $700d$.

Ответ: $700d$

9 Продолжи ряд на три числа, сохраняя закономерность:

а) 15, 16, 18, 21, 25, ...

б) 4, 7, 13, 22, 34, ...

а) 15, 16, 18, 21, 25, ...

Для определения закономерности в данном ряду чисел, найдем разность между каждым последующим и предыдущим числом:

• $16 - 15 = 1$
• $18 - 16 = 2$
• $21 - 18 = 3$
• $25 - 21 = 4$

Как видно, разность между соседними числами каждый раз увеличивается на 1. То есть, чтобы получить следующее число в ряду, нужно к предыдущему прибавить число, на 1 большее, чем прибавлялось на предыдущем шаге. Последовательность разностей: 1, 2, 3, 4, ...

Продолжим эту закономерность, чтобы найти следующие три числа в ряду:

• К 25 нужно прибавить 5: $25 + 5 = 30$
• К 30 нужно прибавить 6: $30 + 6 = 36$
• К 36 нужно прибавить 7: $36 + 7 = 43$

Таким образом, ряд продолжается числами 30, 36, 43.

Ответ: 30, 36, 43.

б) 4, 7, 13, 22, 34, ...

Найдем разность между соседними числами в этом ряду, чтобы выявить закономерность:

• $7 - 4 = 3$
• $13 - 7 = 6$
• $22 - 13 = 9$
• $34 - 22 = 12$

Разности (3, 6, 9, 12) образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий член на 3 больше предыдущего. Это последовательность чисел, кратных 3.

Чтобы продолжить ряд, мы должны последовательно прибавлять следующие члены этой прогрессии: $12 + 3 = 15$, затем $15 + 3 = 18$, и затем $18 + 3 = 21$.

• К 34 нужно прибавить 15: $34 + 15 = 49$
• К 49 нужно прибавить 18: $49 + 18 = 67$
• К 67 нужно прибавить 21: $67 + 21 = 88$

Таким образом, ряд продолжается числами 49, 67, 88.

Ответ: 49, 67, 88.

1 Раздели с остатком:

$14 \div 6 = $

$25 \div 3 = $

$48 \div 9 = $

14 : 6 =

Чтобы разделить 14 на 6 с остатком, нужно найти самое большое число до 14, которое делится на 6 без остатка. Это число 12.
Делим 12 на 6, чтобы найти неполное частное:
$12 : 6 = 2$
Теперь найдем остаток. Для этого вычтем из делимого (14) число, которое мы разделили (12):
$14 - 12 = 2$
Остаток (2) меньше делителя (6), значит, деление выполнено верно.
Проверка: $2 \times 6 + 2 = 12 + 2 = 14$.
Ответ: 2 (ост. 2).

25 : 3 =

Найдем самое большое число до 25, которое делится на 3 без остатка. Это число 24.
Найдем неполное частное:
$24 : 3 = 8$
Найдем остаток, вычтя из 25 число 24:
$25 - 24 = 1$
Остаток (1) меньше делителя (3), что является верным.
Проверка: $8 \times 3 + 1 = 24 + 1 = 25$.
Ответ: 8 (ост. 1).

48 : 9 =

Найдем самое большое число до 48, которое делится на 9 без остатка. Это число 45.
Вычислим неполное частное:
$45 : 9 = 5$
Вычислим остаток:
$48 - 45 = 3$
Остаток (3) меньше делителя (9), следовательно, решение правильное.
Проверка: $5 \times 9 + 3 = 45 + 3 = 48$.
Ответ: 5 (ост. 3).

2 Найди по рисунку смешанное число, равное дроби $ \frac{17}{5} $.

На числовой прямой от 0 до 4 отмечена точка, соответствующая $ \frac{17}{5} $.

Как найти это смешанное число с помощью вычислений?

В дроби $ \frac{17}{5} $ столько целых единиц, сколько раз по 5 содержится в 17. Так как $ 17 : 5 = 3 $ (ост. 2), то дробь $ \frac{17}{5} $ содержит 3 целые единицы и ещё $ \frac{2}{5} $. Значит, $ \frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5} $.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, можно её числитель разделить с остатком на знаменатель. Неполное частное будет целой частью полученного смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а делитель — её знаменателем.

Пример:

$ \frac{67}{12} = 5 \frac{7}{12} $ так как 67 : 12 = 5 (ост. 7). Здесь 12 — знаменатель, 5 — целая часть, 7 — числитель.

$ \frac{a}{b} = c \frac{r}{b} $

Проверка: $ a = b \cdot c + r $

Найди по рисунку смешанное число, равное дроби 17/5
На числовой прямой каждый единичный отрезок (например, от 0 до 1) разделен на 5 равных частей. Это значит, что одно такое деление представляет собой дробь $\frac{1}{5}$.
Чтобы найти точку, соответствующую дроби $\frac{17}{5}$, нужно отсчитать 17 таких делений от нуля. На рисунке видно, что эта точка находится за целым числом 3. После тройки точка отстоит на 2 деления. Таким образом, число состоит из 3 целых единиц и $\frac{2}{5}$.
Следовательно, смешанное число, равное дроби $\frac{17}{5}$, — это $3\frac{2}{5}$.
Ответ: $3\frac{2}{5}$

Как найти это смешанное число с помощью вычислений?
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно ее числитель разделить на знаменатель с остатком. Для дроби $\frac{17}{5}$ выполним следующие действия:
1. Разделим числитель 17 на знаменатель 5: $17 \div 5 = 3$ (остаток 2).
2. Полученное неполное частное (3) станет целой частью смешанного числа.
3. Остаток от деления (2) станет числителем дробной части.
4. Знаменатель (5) останется без изменений.
Таким образом, мы получаем смешанное число $3\frac{2}{5}$.
Ответ: Чтобы найти смешанное число, нужно разделить числитель 17 на знаменатель 5 с остатком. Неполное частное 3 будет целой частью, остаток 2 — числителем дробной части, а знаменатель 5 останется прежним: $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.

3 Выдели целую часть из неправильной дроби и сделай проверку:

$ \frac{5}{3} = [\text{ }] $ $ \frac{12}{5} = [\text{ }] $ $ \frac{46}{8} = [\text{ }] $ $ \frac{50}{7} = [\text{ }] $

$\frac{5}{3}$

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить ее числитель на знаменатель с остатком.
Делим 5 на 3: $5 \div 3 = 1$ (остаток 2).
Неполное частное (1) становится целой частью. Остаток (2) становится числителем дробной части, а знаменатель (3) остается прежним.
Таким образом, $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Проверка:
Чтобы преобразовать смешанное число обратно в неправильную дробь, нужно умножить целую часть на знаменатель, прибавить к результату числитель, а знаменатель оставить тем же.
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$.
Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $1\frac{2}{3}$

$\frac{12}{5}$

Делим числитель 12 на знаменатель 5 с остатком:
$12 \div 5 = 2$ (остаток 2).
Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 2, знаменатель остается 5.
Таким образом, $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.
Проверка:
$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10+2}{5} = \frac{12}{5}$.
Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $2\frac{2}{5}$

$\frac{46}{8}$

Делим числитель 46 на знаменатель 8 с остатком:
$46 \div 8 = 5$ (остаток 6).
Целая часть равна 5, числитель дробной части равен 6, знаменатель остается 8.
Таким образом, $\frac{46}{8} = 5\frac{6}{8}$.
Проверка:
$5\frac{6}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 6}{8} = \frac{40+6}{8} = \frac{46}{8}$.
Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $5\frac{6}{8}$

$\frac{50}{7}$

Делим числитель 50 на знаменатель 7 с остатком:
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1).
Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 1, знаменатель остается 7.
Таким образом, $\frac{50}{7} = 7\frac{1}{7}$.
Проверка:
$7\frac{1}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{49+1}{7} = \frac{50}{7}$.
Результат совпадает с исходной дробью.

Ответ: $7\frac{1}{7}$

4 Запиши неправильную дробь в виде смешанного числа:

a) $\frac{29}{13}$;

б) $\frac{53}{19}$;

в) $\frac{80}{21}$;

г) $\frac{72}{14}$;

д) $\frac{95}{16}$;

е) $\frac{47}{46}$.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем его дробной части, а знаменатель останется тот же.

а) Для дроби $\frac{29}{13}$ разделим 29 на 13 с остатком:
$29 \div 13 = 2$ (остаток $3$)
Таким образом, целая часть равна 2, числитель дробной части — 3, а знаменатель — 13.
$\frac{29}{13} = 2\frac{3}{13}$
Ответ: $2\frac{3}{13}$

б) Для дроби $\frac{53}{19}$ разделим 53 на 19 с остатком:
$53 \div 19 = 2$ (остаток $15$)
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 15, знаменатель — 19.
$\frac{53}{19} = 2\frac{15}{19}$
Ответ: $2\frac{15}{19}$

в) Для дроби $\frac{80}{21}$ разделим 80 на 21 с остатком:
$80 \div 21 = 3$ (остаток $17$)
Целая часть равна 3, числитель дробной части — 17, знаменатель — 21.
$\frac{80}{21} = 3\frac{17}{21}$
Ответ: $3\frac{17}{21}$

г) Для дроби $\frac{72}{14}$ разделим 72 на 14 с остатком:
$72 \div 14 = 5$ (остаток $2$)
Получаем смешанное число $5\frac{2}{14}$. Дробную часть этой дроби можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2}{14} = \frac{2 \div 2}{14 \div 2} = \frac{1}{7}$
Итоговый результат: $5\frac{1}{7}$.
Ответ: $5\frac{1}{7}$

д) Для дроби $\frac{95}{16}$ разделим 95 на 16 с остатком:
$95 \div 16 = 5$ (остаток $15$)
Целая часть равна 5, числитель дробной части — 15, знаменатель — 16.
$\frac{95}{16} = 5\frac{15}{16}$
Ответ: $5\frac{15}{16}$

е) Для дроби $\frac{47}{46}$ разделим 47 на 46 с остатком:
$47 \div 46 = 1$ (остаток $1$)
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 46.
$\frac{47}{46} = 1\frac{1}{46}$
Ответ: $1\frac{1}{46}$

1 Измерь углы треугольника и найди их сумму:

a) $\angle A = $

$\angle B = $

$\angle C = $

$\angle A + \angle B + \angle C = $

б) $\angle D = $

$\angle E = $

$\angle F = $

$\angle D + \angle E + \angle F = $

Что ты замечаешь? Можно ли на основании проведённых тобой измерений сделать вывод о том, что найденная закономерность верна для всех треугольников? Почему?

а)

Для измерения углов треугольника ABC воспользуемся транспортиром (или оценим их визуально). Углы треугольника ABC приблизительно равны:
$\angle A \approx 40^\circ$
$\angle B \approx 105^\circ$
$\angle C \approx 35^\circ$
Теперь найдем их сумму:
$\angle A + \angle B + \angle C \approx 40^\circ + 105^\circ + 35^\circ = 180^\circ$
Ответ: $\angle A \approx 40^\circ, \angle B \approx 105^\circ, \angle C \approx 35^\circ$. Сумма углов: $180^\circ$.

б)

Измерим углы треугольника DEF:
$\angle D \approx 30^\circ$
$\angle E \approx 80^\circ$
$\angle F \approx 70^\circ$
Теперь найдем их сумму:
$\angle D + \angle E + \angle F \approx 30^\circ + 80^\circ + 70^\circ = 180^\circ$
Ответ: $\angle D \approx 30^\circ, \angle E \approx 80^\circ, \angle F \approx 70^\circ$. Сумма углов: $180^\circ$.

Что ты замечаешь? Можно ли на основании проведённых тобой измерений сделать вывод о том, что найденная закономерность верна для всех треугольников? Почему?

Я замечаю, что в обоих случаях сумма углов треугольника получилась равной $180^\circ$.
Однако, на основании всего лишь двух измерений нельзя сделать строгий вывод, что эта закономерность верна для абсолютно всех треугольников.
Почему? Научный и математический вывод требует строгого доказательства, а не основывается на нескольких частных примерах. Измерения могут содержать погрешность, и два конкретных треугольника не представляют все возможное многообразие треугольников (например, равносторонние, прямоугольные, тупоугольные с другими углами и т.д.). В математике это предположение называется гипотезой. Для того чтобы гипотеза стала теоремой (то есть верным утверждением для всех случаев), ее нужно доказать логически.
На самом деле, теорема о том, что сумма углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна $180^\circ$, существует и она доказана. Но сам факт проведения двух измерений не является этим доказательством, а лишь иллюстрирует эту теорему.
Ответ: Замечена закономерность, что сумма углов в обоих треугольниках равна $180^\circ$. Сделать вывод для всех треугольников на основании только этих измерений нельзя, так как два частных случая не являются строгим математическим доказательством, которое требуется для общего утверждения.

Нарисуй на листе произвольный треугольник $ABC$ и вырежь его. Найди середины $M$ и $N$ сторон $AB$ и $BC$ и проведи отрезок $MN$. Теперь перегни треугольник по отрезку $MN$.

Затем перегни треугольник ещё два раза так, чтобы вершины $A$ и $C$ совместились с вершиной $B$ на стороне $AC$. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

Почему, как и в предыдущей задаче, мы не можем распространить этот вывод на все треугольники?

Что ты замечаешь? Сделай вывод.

При выполнении данной практической работы происходит следующее:

1. Отрезок $MN$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($MN \parallel AC$) и равна ее половине ($MN = \frac{1}{2}AC$).
2. Когда мы перегибаем треугольник по отрезку $MN$, вершина $B$ перемещается перпендикулярно линии сгиба $MN$. Так как $MN \parallel AC$, вершина $B$ перемещается по высоте, опущенной из нее на сторону $AC$. В результате вершина $B$ совмещается с основанием этой высоты, точкой $H$, лежащей на стороне $AC$.
3. Следующие два перегиба сделаны так, чтобы вершины $A$ и $C$ совместились с точкой $H$. Это достигается перегибанием по перпендикулярам, опущенным из точек $M$ и $N$ на сторону $AC$. В результате треугольники по углам $A$ и $C$ складываются внутрь.
4. В итоге три вершины $A$, $B$ и $C$ сходятся в одной точке $H$ на стороне $AC$. Углы треугольника ($\angle A$, $\angle B$, $\angle C$) оказываются расположенными рядом друг с другом вокруг точки $H$ и вместе образуют развернутый угол, то есть прямую линию.

Вывод: Практическая работа наглядно демонстрирует, что сумма углов треугольника равна развернутому углу, то есть $180°$.

Ответ: Я замечаю, что после всех перегибов три угла треугольника $ABC$ собираются вместе в одной точке на стороне $AC$ и образуют прямую линию. Вывод: сумма углов в треугольнике равна $180°$.

Почему, как и в предыдущей задаче, мы не можем распространить этот вывод на все треугольники?

Несмотря на то, что вывод о сумме углов треугольника ($180°$) является верным для абсолютно любого треугольника в евклидовой геометрии, данный практический метод его демонстрации применим не ко всем треугольникам.

Ключевым моментом в этой работе является то, что при сгибании по средней линии $MN$ вершина $B$ должна попасть на сторону $AC$. Как мы выяснили, вершина $B$ совмещается с основанием высоты $BH$, проведенной к стороне $AC$.

Это возможно только в том случае, если основание высоты $H$ лежит на отрезке $AC$. Такое условие выполняется, если углы при основании, $\angle A$ и $\angle C$, являются острыми (меньше $90°$).

Если же один из углов при основании, например $\angle A$, будет тупым (больше $90°$), то высота, проведенная из вершины $B$, упадет не на сам отрезок $AC$, а на его продолжение. В этом случае вершина $B$ при сгибании окажется за пределами стороны $AC$, и выполнить дальнейшие действия, описанные в задаче (совместить вершины $A$ и $C$ с новой позицией вершины $B$ на стороне $AC$), будет невозможно.

Таким образом, данный метод работает только для треугольников, у которых углы при выбранном основании острые. Он не работает для тупоугольных треугольников, если тупой угол находится при основании $AC$. Поэтому, основываясь только на этом опыте, мы не можем утверждать, что вывод распространяется на все без исключения треугольники, так как сам метод не для всех них применим.

Ответ: Этот метод демонстрации работает только в том случае, если основание высоты, опущенной из вершины $B$, лежит на стороне $AC$. Это происходит, только когда углы $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Если один из этих углов тупой, то высота упадет на продолжение стороны $AC$, и описанная в задаче процедура сгибания станет невыполнимой. Следовательно, данный практический метод не позволяет сделать вывод для всех типов треугольников, в частности для тупоугольных с тупым углом при основании.