Страница 20, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Сделай оценку разностей:

a) $\boxed{} - \boxed{} < 711 - 284 < \boxed{} - \boxed{}$

$\boxed{} < 711 - 284 < \boxed{}$

б) $\boxed{} - \boxed{} < 856 - 397 < \boxed{} - \boxed{}$

$\boxed{} < 856 - 397 < \boxed{}$

в) $\boxed{} - \boxed{} < 4611 - 1315 < \boxed{} - \boxed{}$

$\boxed{} < 4611 - 1315 < \boxed{}$

Чтобы сделать оценку разности, необходимо найти её нижнюю и верхнюю границы. Для этого уменьшаемое и вычитаемое округляют до удобных для вычисления круглых чисел. Правила округления следующие:

1. Для получения нижней границы разности, уменьшаемое округляют в меньшую сторону, а вычитаемое — в большую.

2. Для получения верхней границы разности, уменьшаемое округляют в большую сторону, а вычитаемое — в меньшую.

Требуется оценить разность $711 - 284$. Для этого округлим числа до ближайших сотен.

Для нахождения нижней границы: уменьшаемое $711$ округляем в меньшую сторону до $700$, а вычитаемое $284$ — в большую сторону до $300$. Получаем разность: $700 - 300 = 400$.

Для нахождения верхней границы: уменьшаемое $711$ округляем в большую сторону до $800$, а вычитаемое $284$ — в меньшую сторону до $200$. Получаем разность: $800 - 200 = 600$.

Таким образом, мы получили два неравенства, которые и являются решением.

Ответ:
$700 - 300 < 711 - 284 < 800 - 200$
$400 < 711 - 284 < 600$

Требуется оценить разность $856 - 397$. Округлим числа до ближайших сотен.

Для нахождения нижней границы: $856$ округляем до $800$ (вниз), а $397$ — до $400$ (вверх). Результат: $800 - 400 = 400$.

Для нахождения верхней границы: $856$ округляем до $900$ (вверх), а $397$ — до $300$ (вниз). Результат: $900 - 300 = 600$.

Таким образом, мы можем заполнить пропуски в неравенствах.

Ответ:
$800 - 400 < 856 - 397 < 900 - 300$
$400 < 856 - 397 < 600$

Требуется оценить разность $4611 - 1315$. Для получения более точной оценки округлим числа до ближайших сотен.

Для нахождения нижней границы: $4611$ округляем до $4600$ (вниз), а $1315$ — до $1400$ (вверх). Результат: $4600 - 1400 = 3200$.

Для нахождения верхней границы: $4611$ округляем до $4700$ (вверх), а $1315$ — до $1300$ (вниз). Результат: $4700 - 1300 = 3400$.

Таким образом, мы получили искомую оценку разности.

Ответ:
$4600 - 1400 < 4611 - 1315 < 4700 - 1300$
$3200 < 4611 - 1315 < 3400$

4 Сделай оценку разностей. Проверь свой результат с помощью вычислений.

$458 - 179$; $964 - 583$; $5207 - 3688$; $8070 - 2936$.

458 - 179;

Сначала сделаем оценку разности. Для этого округлим числа до сотен:
$458 \approx 500$
$179 \approx 200$
Примерная разность: $500 - 200 = 300$.

Теперь проверим результат, выполнив точное вычисление:
$458 - 179 = 279$
Как видим, наша оценка (300) близка к точному результату (279).

Ответ: 279.

964 - 583;

Сделаем оценку, округлив числа до сотен:
$964 \approx 1000$
$583 \approx 600$
Примерная разность: $1000 - 600 = 400$.

Проверим результат точным вычислением:
$964 - 583 = 381$
Оценка (400) близка к точному результату (381).

Ответ: 381.

5207 - 3688;

Для оценки округлим числа до сотен, чтобы получить более точный результат:
$5207 \approx 5200$
$3688 \approx 3700$
Примерная разность: $5200 - 3700 = 1500$.

Проверим точным вычислением:
$5207 - 3688 = 1519$
Наша оценка (1500) оказалась очень близка к точному результату (1519).

Ответ: 1519.

8070 - 2936.

Сделаем оценку, округлив числа до тысяч:
$8070 \approx 8000$
$2936 \approx 3000$
Примерная разность: $8000 - 3000 = 5000$.

Проверим результат точным вычислением:
$8070 - 2936 = 5134$
Оценка (5000) близка к точному результату (5134).

Ответ: 5134.

5 От Москвы до Смоленска 378 км, а от Москвы до Бреста 1037 км. Докажи, пользуясь рисунком, что расстояние от Смоленска до Бреста меньше 800 км.

Брест Смоленск Москва

Для решения задачи воспользуемся данными и схемой, представленной на рисунке. На схеме видно, что города Москва, Смоленск и Брест расположены на одной прямой. Расстояние от Москвы до Бреста ($S_{МБ}$) является суммой расстояния от Москвы до Смоленска ($S_{МС}$) и расстояния от Смоленска до Бреста ($S_{СБ}$).

По условию задачи нам известны следующие данные:
$S_{МС} = 378$ км
$S_{МБ} = 1037$ км

Мы можем составить уравнение:
$S_{МБ} = S_{МС} + S_{СБ}$

Чтобы найти искомое расстояние от Смоленска до Бреста ($S_{СБ}$), нужно из общего расстояния от Москвы до Бреста вычесть расстояние от Москвы до Смоленска:
$S_{СБ} = S_{МБ} - S_{МС}$

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисление:
$S_{СБ} = 1037 \text{ км} - 378 \text{ км} = 659 \text{ км}$

Теперь нам нужно доказать, что полученное расстояние меньше 800 км. Сравним результат с 800 км:
$659 \text{ км} < 800 \text{ км}$

Данное неравенство является верным. Таким образом, мы доказали, что расстояние от Смоленска до Бреста меньше 800 км.

Ответ: Расстояние от Смоленска до Бреста равно $1037 - 378 = 659$ км. Поскольку $659 < 800$, утверждение доказано.

6 Контейнер с грузом весит 3219 кг, а пустой контейнер — 237 кг. Докажи, что груз весит больше 2900 кг, но меньше, чем 3100 кг.

Чтобы доказать утверждение, необходимо сначала найти точный вес груза. Для этого нужно из веса контейнера с грузом вычесть вес пустого контейнера.

1. Найдём вес груза.

Вес контейнера с грузом = $3219$ кг.

Вес пустого контейнера = $237$ кг.

Вес груза = $3219 - 237 = 2982$ кг.

2. Сравним вес груза с заданными значениями.

Нам нужно доказать, что вес груза ($2982$ кг) находится в интервале от $2900$ кг до $3100$ кг, то есть выполняется двойное неравенство: $2900 < \text{вес груза} < 3100$.

Подставим найденное значение:

$2900 < 2982 < 3100$

Проверим обе части неравенства:

• Сравнение с $2900$ кг: $2982 > 2900$. Это утверждение верно.
• Сравнение с $3100$ кг: $2982 < 3100$. Это утверждение также верно.

Поскольку оба неравенства верны, исходное утверждение доказано: груз действительно весит больше 2900 кг, но меньше 3100 кг.

Ответ: Вес груза составляет $2982$ кг. Так как $2900 < 2982$ и $2982 < 3100$, утверждение доказано.

7 Игра «Головоломки Стивена».

Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивена — мудрейшего жителя этого острова. Попробуй решить одну из них.

Сравни, не вычисляя

$897 - 431$ $897 - 308$

$1780 - 523$ $1975 - 523$

$2431 - 1875$ $2396 - 1970$

$999994 - 4210$ $1000003 - 4091$

Для решения этой головоломки не нужно выполнять вычисления. Достаточно сравнить компоненты каждого выражения (уменьшаемое и вычитаемое), используя следующие правила:

• При одинаковых уменьшаемых разность тем больше, чем меньше вычитаемое.
• При одинаковых вычитаемых разность тем больше, чем больше уменьшаемое.

897 - 431 ☐ 897 - 308
В этих выражениях уменьшаемые одинаковы (равны 897). Разность будет больше в том выражении, где вычитаемое меньше. Сравним вычитаемые: $431 > 308$. Поскольку из одинакового числа в первом случае вычитают большее число, результат будет меньше.
Следовательно, $897 - 431 < 897 - 308$.
Ответ: $897 - 431 < 897 - 308$.

1780 - 523 ☐ 1975 - 523
В этих выражениях вычитаемые одинаковы (равны 523). Разность будет больше в том выражении, где уменьшаемое больше. Сравним уменьшаемые: $1780 < 1975$. Поскольку во втором случае из большего числа вычитают то же самое число, результат будет больше.
Следовательно, $1780 - 523 < 1975 - 523$.
Ответ: $1780 - 523 < 1975 - 523$.

2431 - 1875 ☐ 2396 - 1970
Сравним уменьшаемые и вычитаемые в обоих выражениях. Уменьшаемое в первом выражении ($2431$) больше, чем во втором ($2396$). Вычитаемое в первом выражении ($1875$) меньше, чем во втором ($1970$).
В первом выражении мы из большего числа вычитаем меньшее число. Во втором выражении мы из меньшего числа вычитаем большее. Оба эти фактора приводят к тому, что результат первого выражения будет больше результата второго.
Следовательно, $2431 - 1875 > 2396 - 1970$.
Ответ: $2431 - 1875 > 2396 - 1970$.

999 994 - 4210 ☐ 1 000 003 - 4091
Сравним компоненты выражений. Уменьшаемое во втором выражении ($1000003$) больше, чем в первом ($999994$). Это приводит к увеличению разности. Вычитаемое во втором выражении ($4091$) меньше, чем в первом ($4210$). Это также приводит к увеличению разности.
Поскольку оба изменения (увеличение уменьшаемого и уменьшение вычитаемого) ведут к увеличению результата, вторая разность будет больше первой.
Следовательно, $999994 - 4210 < 1000003 - 4091$.
Ответ: $999994 - 4210 < 1000003 - 4091$.

2 Как найти: а) часть числа; б) число по его части; в) часть, которую одно число составляет от другого? Составь по схеме задачу и придумай к ней 2 обратные задачи:

1 – 18 кг

$ \frac{8}{7} $ – ? кг

а) Чтобы найти часть (выраженную дробью) от числа, нужно это число умножить на данную дробь.

б) Чтобы найти число по его части (выраженной дробью), нужно значение этой части разделить на данную дробь.

в) Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе.

Задача по схеме:

Медвежонок поднял гирю массой 18 кг. Масса гири, которую поднял поросёнок, составляет $\frac{8}{7}$ от массы гири медвежонка. Какова масса гири, которую поднял поросёнок?

Решение:

Чтобы найти массу гири поросёнка, нужно массу гири медвежонка (18 кг) умножить на дробь $\frac{8}{7}$.

$18 \cdot \frac{8}{7} = \frac{18 \cdot 8}{7} = \frac{144}{7} = 20 \frac{4}{7}$ (кг).

Ответ: $20 \frac{4}{7}$ кг.

Обратная задача 1:

Поросёнок поднял гирю массой $20 \frac{4}{7}$ кг, что составляет $\frac{8}{7}$ от массы гири, которую поднял медвежонок. Какова масса гири медвежонка?

Решение:

Это задача на нахождение числа по его части. Чтобы найти массу гири медвежонка, нужно массу гири поросёнка ($20 \frac{4}{7}$ кг) разделить на дробь $\frac{8}{7}$.

$20 \frac{4}{7} : \frac{8}{7} = \frac{144}{7} : \frac{8}{7} = \frac{144}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{144}{8} = 18$ (кг).

Ответ: 18 кг.

Обратная задача 2:

Медвежонок поднял гирю массой 18 кг, а поросёнок — гирю массой $20 \frac{4}{7}$ кг. Какую часть масса гири поросёнка составляет от массы гири медвежонка?

Решение:

Чтобы найти, какую часть одна величина составляет от другой, нужно первую величину (массу гири поросёнка) разделить на вторую (массу гири медвежонка).

$20 \frac{4}{7} : 18 = \frac{144}{7} : 18 = \frac{144}{7 \cdot 18} = \frac{8 \cdot 18}{7 \cdot 18} = \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{8}{7}$.

3 Раньше альбом стоил 300 р., а сейчас он подорожал на 20 %. Сколько теперь стоит этот альбом?

$100 \% - 300 \text{ р.}$

старая цена ув.

$20 \%$

$(100 \% + 20 \%) - ? \text{ р.}$

Чтобы определить новую стоимость альбома, можно решить задачу двумя способами.

Способ 1: Поэтапное вычисление

1. Сначала найдем, на какую сумму в рублях подорожал альбом. Для этого нужно вычислить 20% от его первоначальной цены (300 р.). Чтобы найти процент от числа, можно умножить число на десятичную дробь, соответствующую этому проценту (20% = 0,2).

$300 \text{ р.} \times 0,2 = 60 \text{ р.}$

Таким образом, цена увеличилась на 60 рублей.

2. Теперь прибавим полученную сумму к первоначальной стоимости, чтобы найти новую цену.

$300 \text{ р.} + 60 \text{ р.} = 360 \text{ р.}$

Ответ: 360 рублей.

Способ 2: Вычисление через итоговый процент (как на схеме в задании)

1. Первоначальную цену альбома принимаем за 100%.

2. Поскольку цена выросла на 20%, новая цена составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной.

3. Теперь найдем, чему равны 120% от 300 рублей. Для этого умножим исходную цену на коэффициент 1,2 (так как $120\% = 1,2$).

$300 \text{ р.} \times 1,2 = 360 \text{ р.}$

Ответ: 360 рублей.

4 В июне Оля получила 48 писем, что составило $ \frac{8}{7} $ писем, которые она получила в мае. Сколько писем пришло Оле в мае?

1 — ? п.

$ \frac{8}{7} $ — 48 п.

По условию задачи, 48 писем, которые Оля получила в июне, составляют $\frac{8}{7}$ от количества писем, полученных в мае. Это задача на нахождение числа по его дроби, где известное число (48) больше искомого, так как дробь $\frac{8}{7}$ больше единицы.

Дробь $\frac{8}{7}$ означает, что количество майских писем условно разделили на 7 равных частей, и 48 писем составляют 8 таких частей.

1. Сначала найдем, сколько писем приходится на одну часть ($\frac{1}{7}$). Для этого разделим известное количество писем (48) на число частей, которому оно соответствует (8):
$48 \div 8 = 6$ (писем).

2. Теперь найдем общее количество писем, полученных в мае. Оно составляет 7 таких частей. Для этого умножим количество писем в одной части на 7:
$6 \cdot 7 = 42$ (письма).

Таким образом, в мае Оля получила 42 письма.

Ответ: 42 письма.

5 В первой канистре 100 л молока, а во второй 150 л. Какую часть объём первой канистры составляет от объёма второй канистры? Вырази эту часть в процентах.

Какую часть объём первой канистры составляет от объёма второй канистры?

Чтобы найти, какую часть объём первой канистры составляет от объёма второй, необходимо разделить объём молока в первой канистре на объём молока во второй.

Объём в первой канистре: 100 л.

Объём во второй канистре: 150 л.

Найдём отношение объёма первой канистры ко второй:

$$ \frac{100}{150} $$

Теперь сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 100 и 150 равен 50. Разделим числитель и знаменатель на 50:

$$ \frac{100 \div 50}{150 \div 50} = \frac{2}{3} $$

Следовательно, объём первой канистры составляет $ \frac{2}{3} $ от объёма второй.

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

Вырази эту часть в процентах.

Чтобы выразить полученную часть в процентах, нужно умножить дробь на 100%.

$$ \frac{2}{3} \cdot 100\% = \frac{2 \cdot 100}{3}\% = \frac{200}{3}\% $$

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{200}{3} $ в смешанное число. Для этого разделим 200 на 3 с остатком:

$$ 200 \div 3 = 66 \text{ (остаток 2)} $$

Таким образом, получаем:

$$ \frac{200}{3}\% = 66\frac{2}{3}\% $$

Ответ: $ 66\frac{2}{3}\% $.

6 На стройке дома Гоша за одну смену положил $\frac{6}{5}$ от запланированных 620 кирпичей. На сколько кирпичей за смену он положил больше, чем планировал?

Чтобы найти, на сколько кирпичей Гоша положил больше, чем планировал, можно использовать два способа.

Способ 1

1. Сначала вычислим, сколько всего кирпичей Гоша положил за смену. По условию, это составляет $\frac{6}{5}$ от запланированных 620 кирпичей.

$620 \cdot \frac{6}{5} = \frac{620 \cdot 6}{5} = 124 \cdot 6 = 744$ (кирпича) — положил Гоша.

2. Теперь найдем разницу между количеством кирпичей, которые он положил, и количеством, которое планировалось.

$744 - 620 = 124$ (кирпича).

Ответ: на 124 кирпича.

Способ 2

1. Запланированное количество кирпичей можно принять за 1, или $\frac{5}{5}$. Гоша положил $\frac{6}{5}$ от плана. Найдем, на какую часть он перевыполнил план.

$\frac{6}{5} - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$ (плана).

2. Теперь найдем, сколько кирпичей составляет эта часть ($\frac{1}{5}$) от запланированного количества в 620 кирпичей.

$620 \cdot \frac{1}{5} = \frac{620}{5} = 124$ (кирпича).

Ответ: на 124 кирпича.

8 Измерь транспортиром и запиши градусную меру углов:

$\angle A = $_______

$\angle B = $_______

$\angle D = $_______

Для определения градусной меры углов используется специальный инструмент — транспортир. Чтобы измерить угол, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, а одну из сторон угла — с нулевой отметкой на шкале транспортира. Вторая сторона угла укажет на его величину в градусах.

∠A
Прикладываем транспортир к углу A. Центр транспортира совмещаем с вершиной A, а нижнюю (горизонтальную) сторону угла — с отметкой 0°. Вторая сторона угла пересекает шкалу транспортира на отметке 65°. Это острый угол.
Ответ: $∠A = 65^\circ$

∠B
Прикладываем транспортир к углу B. Совмещаем центр транспортира с вершиной B, а одну из сторон угла — с отметкой 0°. Вторая сторона угла пересекает шкалу транспортира на отметке 15°. Это острый угол.
Ответ: $∠B = 15^\circ$

∠D
Прикладываем транспортир к углу D. Совмещаем центр транспортира с вершиной D, а горизонтальную сторону угла — с отметкой 0°. Поскольку угол D тупой (больше 90°), смотрим на соответствующую шкалу. Вторая сторона угла пересекает шкалу транспортира на отметке 140°.
Ответ: $∠D = 140^\circ$

9 Верно ли измерены углы? Если есть ошибки в измерении, исправь их.

$\angle A = 90^\circ$

$\angle B = 126^\circ$

$\angle C = 145^\circ$

$\angle D = 73^\circ$

$\angle E = 161^\circ$

Для проверки правильности измерений необходимо сопоставить тип каждого угла (острый, прямой, тупой) с указанной градусной мерой.

∠A

На изображении угол $A$ — прямой. Градусная мера прямого угла составляет $90^\circ$. Указанное значение $∠A = 90^\circ$ соответствует изображению. Ошибка отсутствует.

Ответ: Измерение верное.

∠B

На изображении угол $B$ — тупой. Его градусная мера должна быть в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$. Указанное значение $∠B = 126^\circ$ находится в этом диапазоне и соответствует тупому углу. Ошибка отсутствует.

Ответ: Измерение верное.

∠C

На изображении угол $C$ — острый. Его градусная мера должна быть меньше $90^\circ$. Указанное значение $∠C = 145^\circ$ соответствует тупому углу. Следовательно, измерение неверно. Вероятная ошибка заключается в измерении смежного угла. Правильное значение можно найти, вычтя данную величину из $180^\circ$ (градусная мера развернутого угла):
$180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$.
Значение $35^\circ$ соответствует острому углу.

Ответ: Измерение неверное. Правильное значение: $∠C = 35^\circ$.

∠D

На изображении угол $D$ — тупой. Его градусная мера должна быть больше $90^\circ$. Указанное значение $∠D = 73^\circ$ соответствует острому углу. Следовательно, измерение неверно. Вероятно, при использовании транспортира была считана не та шкала. Чтобы найти правильное значение, вычтем данную величину из $180^\circ$ (сумма углов на смежных шкалах транспортира):
$180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$.
Значение $107^\circ$ соответствует тупому углу.

Ответ: Измерение неверное. Правильное значение: $∠D = 107^\circ$.

∠E

На изображении угол $E$ — острый. Его градусная мера должна быть меньше $90^\circ$. Указанное значение $∠E = 161^\circ$ соответствует тупому углу. Следовательно, измерение неверно. Как и в случае с углом C, вероятно, был измерен смежный угол. Найдем правильное значение:
$180^\circ - 161^\circ = 19^\circ$.
Значение $19^\circ$ соответствует острому углу.

Ответ: Измерение неверное. Правильное значение: $∠E = 19^\circ$.

10 Найди:

а) $\frac{1}{2}$ прямого угла;

б) $\frac{3}{5}$ развёрнутого угла;

в) $\frac{4}{17}$ угла в $68^\circ$.

а)

Прямой угол равен $90^\circ$. Чтобы найти $\frac{1}{2}$ от прямого угла, необходимо умножить градусную меру прямого угла на эту дробь.

$90^\circ \cdot \frac{1}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

б)

Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Чтобы найти $\frac{3}{5}$ от развёрнутого угла, нужно умножить $180^\circ$ на $\frac{3}{5}$.

$180^\circ \cdot \frac{3}{5} = \frac{180^\circ \cdot 3}{5} = 36^\circ \cdot 3 = 108^\circ$

Ответ: $108^\circ$.

в)

Чтобы найти $\frac{4}{17}$ от угла в $68^\circ$, необходимо умножить $68^\circ$ на дробь $\frac{4}{17}$.

$68^\circ \cdot \frac{4}{17} = \frac{68^\circ \cdot 4}{17} = 4^\circ \cdot 4 = 16^\circ$

Ответ: $16^\circ$.

11 Найди градусную меру угла, если:

а) $ \frac{8}{15} $ его равны $ 72^\circ $;

б) $ \frac{2}{3} $ его равны $ 60^\circ $;

в) $ \frac{7}{4} $ его равны $ 280^\circ $.

а) Для того чтобы найти полную градусную меру угла, зная, что $\frac{8}{15}$ его составляют $72^{\circ}$, необходимо разделить значение этой части ($72^{\circ}$) на дробь ($\frac{8}{15}$), которая эту часть выражает.

Пусть $x$ – искомая градусная мера угла. Тогда:

$x = 72 \div \frac{8}{15}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$x = 72 \cdot \frac{15}{8}$

Сокращаем $72$ и $8$ на $8$:

$x = 9 \cdot 15 = 135^{\circ}$

Ответ: $135^{\circ}$

б) Аналогично, зная, что $\frac{2}{3}$ угла составляют $60^{\circ}$, найдем полную градусную меру угла $x$:

$x = 60 \div \frac{2}{3} = 60 \cdot \frac{3}{2}$

Сокращаем $60$ и $2$ на $2$:

$x = 30 \cdot 3 = 90^{\circ}$

Ответ: $90^{\circ}$

в) Зная, что $\frac{7}{4}$ угла составляют $280^{\circ}$, найдем полную градусную меру угла $x$:

$x = 280 \div \frac{7}{4} = 280 \cdot \frac{4}{7}$

Сокращаем $280$ и $7$ на $7$:

$x = 40 \cdot 4 = 160^{\circ}$

Ответ: $160^{\circ}$

12 Фирма «Карлсон» продала в первый день 900 штук мороженого «Карлсаунти», что составляет 30 % мороженого, проданного ею за второй день. За третий день фирма продала $\frac{5}{13}$ от количества мороженого, которое у неё купили за первые 2 дня. Сколько мороженого продала фирма за все три дня? Сколько денег фирма получила от покупателей за эти три дня, если одно мороженое стоит 12 р. 50 к.?

Для решения задачи выполним действия по порядку.

Сколько мороженого продала фирма за все три дня?

1. Найдем количество мороженого, проданного во второй день. По условию, 900 штук, проданные в первый день, — это 30% от количества, проданного во второй. Составим пропорцию, где $x$ — количество мороженого, проданного во второй день:

$900$ штук — $30\%$

$x$ штук — $100\%$

Отсюда $x = \frac{900 \cdot 100}{30} = 3000$ штук.
Итак, во второй день фирма продала 3000 штук мороженого.

2. Вычислим, сколько мороженого было продано за первые два дня вместе:

$900 + 3000 = 3900$ штук.

3. Теперь найдем количество мороженого, проданного в третий день. Оно составляет $\frac{5}{13}$ от количества, проданного за первые два дня:

$3900 \cdot \frac{5}{13} = \frac{3900 \cdot 5}{13} = 300 \cdot 5 = 1500$ штук.
В третий день было продано 1500 штук мороженого.

4. Сложим количество мороженого, проданного за каждый из трех дней, чтобы найти общее количество:

$900 + 3000 + 1500 = 5400$ штук.

Ответ: За все три дня фирма продала 5400 штук мороженого.

Сколько денег фирма получила от покупателей за эти три дня, если одно мороженое стоит 12 р. 50 к.?

1. Переведем стоимость одного мороженого в рубли: 12 р. 50 к. = $12,5$ рублей.

2. Чтобы найти общую сумму денег, полученную фирмой, умножим общее количество проданного мороженого на его цену:

$5400 \cdot 12,5 = 67500$ рублей.

Ответ: За три дня фирма получила от покупателей 67 500 рублей.

13 Запиши 4 различных неравенства с множеством натуральных решений ${5; 6; 7}$.

Задача состоит в том, чтобы найти четыре различных неравенства, множеством натуральных решений которых является {5; 6; 7}. Это означает, что переменная $x$, будучи натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), должна быть больше 4, но меньше 8. Это можно выразить несколькими способами.

1. Двойное строгое неравенство
Самый очевидный способ — ограничить переменную $x$ числами 4 и 8, не включая их. Это гарантирует, что наименьшим натуральным решением будет 5, а наибольшим — 7.
Неравенство имеет вид: $4 < x < 8$.
Проверим: натуральные числа, которые строго больше 4 — это 5, 6, 7, 8, ... Натуральные числа, которые строго меньше 8 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Пересечением этих двух множеств являются числа {5; 6; 7}.
Ответ: $4 < x < 8$.

2. Двойное нестрогое неравенство
Аналогично первому способу, можно ограничить переменную $x$, но на этот раз включая границы. Чтобы решениями были числа 5, 6 и 7, неравенство должно включать 5 и 7 в качестве граничных значений.
Неравенство имеет вид: $5 \le x \le 7$.
Проверим: натуральные числа, которые больше или равны 5 — это 5, 6, 7, 8, ... Натуральные числа, которые меньше или равны 7 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Пересечением этих множеств являются числа {5; 6; 7}.
Ответ: $5 \le x \le 7$.

3. Квадратичное неравенство
Можно составить неравенство, используя квадратичную функцию. Если мы хотим, чтобы решения находились между двумя числами, например, $a$ и $b$, можно использовать неравенство вида $(x-a)(x-b) < 0$. Чтобы решениями были натуральные числа {5; 6; 7}, интервал решений должен быть, например, от 4 до 8. Возьмем $a=4$ и $b=8$.
Неравенство: $(x-4)(x-8) < 0$.
Если раскрыть скобки, оно примет вид: $x^2 - 8x - 4x + 32 < 0$, то есть $x^2 - 12x + 32 < 0$.
Проверим: решением неравенства $(x-4)(x-8) < 0$ является интервал $4 < x < 8$. Натуральные числа, принадлежащие этому интервалу, — это {5; 6; 7}.
Ответ: $x^2 - 12x + 32 < 0$.

4. Неравенство с модулем
Заметим, что числа 5, 6 и 7 сгруппированы вокруг числа 6. Расстояние от 5 до 6 равно 1, расстояние от 7 до 6 также равно 1, а расстояние от 6 до 6 равно 0. Таким образом, все искомые числа удалены от 6 на расстояние, не превышающее 1. Это можно записать с помощью модуля.
Неравенство имеет вид: $|x - 6| \le 1$.
Проверим: неравенство с модулем $|a| \le b$ эквивалентно двойному неравенству $-b \le a \le b$. В нашем случае получаем: $-1 \le x - 6 \le 1$. Прибавив 6 ко всем частям, получим $5 \le x \le 7$, что, как мы уже выяснили, имеет множество натуральных решений {5; 6; 7}.
Ответ: $|x - 6| \le 1$.