Страница 16, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Как изменится сумма, если слагаемые увеличить, уменьшить? Не вычисляя, расставь следующие суммы в порядке возрастания:

$28 + 39$, $14 + 39$, $14 + 15$, $2 + 3$, $72 + 45$, $2 + 15$.

Как изменится сумма, если слагаемые увеличить, уменьшить?

Сумма напрямую зависит от величины её слагаемых. Это можно описать следующими правилами:

• Если увеличить одно из слагаемых на некоторое число, то и вся сумма увеличится на то же самое число. Например, в сумме $a + b$, если мы увеличим $a$ на $c$, новая сумма будет $(a+c) + b$, что равно $(a+b) + c$.
• Если уменьшить одно из слагаемых на некоторое число, то и вся сумма уменьшится на то же самое число. Например, в сумме $a + b$, если мы уменьшим $a$ на $c$, новая сумма будет $(a-c) + b$, что равно $(a+b) - c$.

Следовательно, при увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при их уменьшении — уменьшается.

Ответ: При увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при уменьшении слагаемых сумма уменьшается.

Не вычисляя, расставь следующие суммы в порядке возрастания

Чтобы расположить данные суммы в порядке возрастания (от меньшей к большей), не выполняя сложения, нужно сравнивать их слагаемые. Чем меньше слагаемые, тем меньше их сумма.

Данные суммы: $28 + 39$, $14 + 39$, $14 + 15$, $2 + 3$, $72 + 45$, $2 + 15$.

Расположим их, сравнивая слагаемые шаг за шагом:

1. Найдём самую маленькую сумму. Она должна состоять из самых маленьких слагаемых. Это сумма $2 + 3$.
2. Ищем следующую по величине сумму. Сравним $2 + 3$ и $2 + 15$. Первые слагаемые у них одинаковы (2), а второе слагаемое у первой суммы меньше ($3 < 15$). Значит, $2 + 3 < 2 + 15$. Следующая сумма — $2 + 15$.
3. Теперь сравним $2 + 15$ с оставшимися. Ближайшая к ней по слагаемым — $14 + 15$. У них одинаковое второе слагаемое (15), но первое слагаемое у первой суммы меньше ($2 < 14$). Следовательно, $2 + 15 < 14 + 15$.
4. Сравним $14 + 15$ и $14 + 39$. У них одинаковое первое слагаемое (14), но второе слагаемое у первой суммы меньше ($15 < 39$). Следовательно, $14 + 15 < 14 + 39$.
5. Сравним $14 + 39$ и $28 + 39$. У них одинаковое второе слагаемое (39), но первое слагаемое у первой суммы меньше ($14 < 28$). Следовательно, $14 + 39 < 28 + 39$.
6. Осталась последняя и самая большая сумма $72 + 45$. Оба её слагаемых ($72$ и $45$) больше слагаемых предыдущей суммы $28 + 39$ ($72 > 28$ и $45 > 39$). Следовательно, $28 + 39 < 72 + 45$.

В результате получаем следующую последовательность сумм в порядке возрастания:

$2 + 3, \quad 2 + 15, \quad 14 + 15, \quad 14 + 39, \quad 28 + 39, \quad 72 + 45$.

Ответ: $2 + 3, 2 + 15, 14 + 15, 14 + 39, 28 + 39, 72 + 45$.

2 Найди границы, в которых заключены следующие суммы:

a) $ \text{[ ]} + \text{[ ]} < 238 + 457 < \text{[ ]} + \text{[ ]} $

$ \text{[ ]} < 238 + 457 < \text{[ ]} $

б) $ \text{[ ]} + \text{[ ]} < 561 + 829 < \text{[ ]} + \text{[ ]} $

$ \text{[ ]} < 561 + 829 < \text{[ ]} $

а)

Чтобы найти границы для суммы $238 + 457$, мы можем оценить ее, округлив каждое слагаемое. Для этого найдем ближайшие "круглые" числа (в данном случае, сотни), которые меньше и больше исходных слагаемых.

1. Нижняя граница (оценка снизу):
Округлим каждое слагаемое в меньшую сторону до сотен:
Число $238$ больше, чем $200$.
Число $457$ больше, чем $400$.
Следовательно, сумма $238 + 457$ будет больше, чем сумма $200 + 400$.
$200 + 400 = 600$.
Таким образом, $200 + 400 < 238 + 457$, и нижняя граница суммы равна $600$.

2. Верхняя граница (оценка сверху):
Округлим каждое слагаемое в большую сторону до сотен:
Число $238$ меньше, чем $300$.
Число $457$ меньше, чем $500$.
Следовательно, сумма $238 + 457$ будет меньше, чем сумма $300 + 500$.
$300 + 500 = 800$.
Таким образом, $238 + 457 < 300 + 500$, и верхняя граница суммы равна $800$.

Объединив обе оценки, мы получаем искомые границы.
Точное значение суммы: $238 + 457 = 695$.
Наша оценка: $600 < 695 < 800$, что является верным неравенством.

Ответ:
$200 + 400 < 238 + 457 < 300 + 500$
$600 < 238 + 457 < 800$

б)

Действуем аналогично для суммы $561 + 829$. Округляем слагаемые до ближайших сотен для нахождения границ.

1. Нижняя граница (оценка снизу):
Округляем слагаемые в меньшую сторону до сотен:
$561 > 500$
$829 > 800$
Их сумма будет больше суммы округленных значений:
$561 + 829 > 500 + 800$
$500 + 800 = 1300$.
Нижняя граница — $1300$.

2. Верхняя граница (оценка сверху):
Округляем слагаемые в большую сторону до сотен:
$561 < 600$
$829 < 900$
Их сумма будет меньше суммы округленных значений:
$561 + 829 < 600 + 900$
$600 + 900 = 1500$.
Верхняя граница — $1500$.

Таким образом, мы нашли границы для второй суммы.
Точное значение суммы: $561 + 829 = 1390$.
Наша оценка: $1300 < 1390 < 1500$, что является верным неравенством.

Ответ:
$500 + 800 < 561 + 829 < 600 + 900$
$1300 < 561 + 829 < 1500$

B простые дроби

1. Какую часть отрезка $KD$ составляет отрезок $EM$? Какую часть $EM$ составляет $KD$? Сделай записи и назови правильные и неправильные части.

$EM = \frac{3}{4} KD$, $KD = \frac{4}{3} EM.$

Для того чтобы ответить на вопросы, сначала определим длину каждого отрезка в условных единицах, приняв за одну единицу расстояние между двумя соседними делениями.

1. Посчитаем количество единичных отрезков в отрезке EM. Между точками E и M находится 4 таких отрезка. Значит, длина EM = 4 единицы.

2. Посчитаем количество единичных отрезков в отрезке KD. Между точками K и D находится 7 таких отрезков. Значит, длина KD = 7 единиц.

Какую часть отрезка KD составляет отрезок EM?

Чтобы найти, какую часть отрезок EM составляет от отрезка KD, нужно найти отношение их длин: $\frac{EM}{KD}$.

$\frac{EM}{KD} = \frac{4}{7}$

Таким образом, отрезок EM составляет $\frac{4}{7}$ отрезка KD. Запись выглядит так: $EM = \frac{4}{7} KD$.

Дробь $\frac{4}{7}$ — это правильная часть (правильная дробь), так как её числитель (4) меньше знаменателя (7).

Ответ: $EM = \frac{4}{7} KD$.

Какую часть EM составляет KD?

Чтобы найти, какую часть отрезок KD составляет от отрезка EM, нужно найти отношение их длин: $\frac{KD}{EM}$.

$\frac{KD}{EM} = \frac{7}{4}$

Таким образом, отрезок KD составляет $\frac{7}{4}$ отрезка EM. Запись выглядит так: $KD = \frac{7}{4} EM$.

Дробь $\frac{7}{4}$ — это неправильная часть (неправильная дробь), так как её числитель (7) больше знаменателя (4).

Ответ: $KD = \frac{7}{4} EM$.

2 Найди правильные и неправильные части, сделай записи:

$AB = \Box CD,$ $CD = \Box AB.$

Для решения задачи необходимо сравнить длины отрезков AB и CD, используя деления, которые на них нанесены. Из рисунка мы видим, что отрезок AB разделен на 4 равные части, а отрезок CD — на 5 равных частей. Пунктирные линии показывают, что длина отрезка AB равна длине четырех частей отрезка CD.

Для удобства расчетов примем длину одной части отрезка CD за условную единицу. Тогда длина всего отрезка CD будет равна 5 таким единицам, а длина отрезка AB, соответственно, будет равна 4 таким единицам.

AB = [ ] CD

Чтобы выразить длину отрезка AB через длину отрезка CD, нужно найти их отношение. Для этого разделим длину AB на длину CD:

$\frac{AB}{CD} = \frac{4}{5}$

Следовательно, $AB = \frac{4}{5} CD$. Дробь $\frac{4}{5}$ является правильной, так как ее числитель меньше знаменателя.

Ответ: $AB = \frac{4}{5} CD$

CD = [ ] AB

Чтобы выразить длину отрезка CD через длину отрезка AB, нужно найти обратное отношение. Для этого разделим длину CD на длину AB:

$\frac{CD}{AB} = \frac{5}{4}$

Следовательно, $CD = \frac{5}{4} AB$. Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя.

Ответ: $CD = \frac{5}{4} AB$

11 Вставь вместо знаков вопроса подходящие числа:

$? \xrightarrow{\cdot 9} 126 \xrightarrow{+ ?} 172 \xrightarrow{: 43} ? \xrightarrow{\cdot ?} 276 \xrightarrow{: 6} ?$

Чтобы найти числа, скрытые за знаками вопроса, нужно последовательно выполнять вычисления. В некоторых случаях для нахождения неизвестного потребуется выполнить обратную математическую операцию.

Первый знак вопроса (число в первом квадрате)

В схеме указано, что неизвестное число умножили на 9 и получили 126. Чтобы найти исходное число, нужно выполнить обратную операцию, то есть деление.

$126 : 9 = 14$

Проверим: $14 \cdot 9 = 126$.

Ответ: 14.

Второй знак вопроса (число, которое прибавляют)

К числу 126 прибавили неизвестное число и получили 172. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$172 - 126 = 46$

Проверим: $126 + 46 = 172$.

Ответ: 46.

Третий знак вопроса (число в третьем квадрате)

Число 172 разделили на 43. Нужно найти результат этого деления.

$172 : 43 = 4$

Проверим: $4 \cdot 43 = 172$.

Ответ: 4.

Четвертый знак вопроса (число, на которое умножают)

Число 4 умножили на неизвестное число и получили 276. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$276 : 4 = 69$

Проверим: $4 \cdot 69 = 276$.

Ответ: 69.

Пятый знак вопроса (число в последнем квадрате)

Число 276 разделили на 6. Нужно найти результат деления.

$276 : 6 = 46$

Проверим: $46 \cdot 6 = 276$.

Ответ: 46.

Итоговая заполненная цепочка вычислений:

14 $\cdot$ 9 $\rightarrow$ 126 + 46 $\rightarrow$ 172 : 43 $\rightarrow$ 4 $\cdot$ 69 $\rightarrow$ 276 : 6 $\rightarrow$ 46

12 Составь выражение и найди его значение:

а) Кролик вырастил на грядке 48 морковок, что составило $ \frac{4}{7} $ от того количества, о котором он мечтал. Сколько морковок мечтал вырастить Кролик?

б) В засушливое лето 18 червяков с трудом нашли 5 яблок. Какую часть всех этих яблок получит каждый червяк, если все яблоки они поделят поровну?

в) Дядя Фёдор, Пёс и Кот нашли клад. Они купили корову за 240 монет, что составило 12 % от количества монет всего клада. Сколько монет было в кладе?

а) По условию задачи, 48 морковок — это $\frac{4}{7}$ от того количества, которое Кролик хотел вырастить. Чтобы найти общее количество (целое) по его части, нужно известное значение (48) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{4}{7}$).
Выражение: $48 \div \frac{4}{7}$.
Решение: чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.
$48 \div \frac{4}{7} = 48 \cdot \frac{7}{4} = \frac{48 \cdot 7}{4} = 12 \cdot 7 = 84$.
Таким образом, Кролик мечтал вырастить 84 морковки.
Ответ: 84.

б) В задаче имеется 5 яблок, которые нужно поровну разделить между 18 червяками. Чтобы найти, какую часть яблок получит каждый червяк, нужно общее количество яблок разделить на количество червяков.
Выражение: $5 \div 18$.
Решение: деление можно записать в виде дроби.
$5 \div 18 = \frac{5}{18}$.
Каждый червяк получит $\frac{5}{18}$ яблока.
Ответ: $\frac{5}{18}$.

в) Известно, что 240 монет составляют 12% от всего клада. Чтобы найти всю сумму клада (100%), нужно сначала найти, сколько монет приходится на 1%, а затем умножить полученное значение на 100.
Выражение: $240 \div 12 \cdot 100$.
Решение:
1) Найдем, сколько монет составляет 1% клада: $240 \div 12 = 20$ монет.
2) Найдем, сколько монет составляют 100% (весь клад): $20 \cdot 100 = 2000$ монет.
Таким образом, в кладе было 2000 монет.
Ответ: 2000.

13 Мама Кенга не купила крошке Ру самокат за 800 р. К утру крошке Ру удалось убедить маму купить самокат, но его цена увеличилась за ночь на $25\%$. Сколько рублей теперь надо заплатить маме за тот же самый самокат?

Для решения задачи необходимо найти новую цену самоката после ее увеличения на 25%.

1. Находим величину повышения цены.
Первоначальная цена самоката — 800 рублей, что составляет 100%. Цена увеличилась на 25%. Найдем, сколько рублей составляют эти 25% от 800.

Для этого умножим первоначальную цену на процентное увеличение, выраженное в долях:

$25\% = \frac{25}{100} = 0,25$

$800 \cdot 0,25 = 200$ рублей.

Таким образом, цена самоката выросла на 200 рублей.

2. Находим новую цену самоката.
Сложим первоначальную цену с величиной повышения:

$800 + 200 = 1000$ рублей.

Альтернативный способ решения:
Если цена увеличилась на 25%, то новая цена составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от первоначальной. Выразим 125% в виде десятичной дроби $1,25$ и умножим на исходную цену:

$800 \cdot 1,25 = 1000$ рублей.

Ответ: 1000 рублей.

14 a) $ (325 \cdot 70 - 91 \cdot 250) : 56938 + (7259 - 0) \cdot (896 : 1) : 8 : 14; $

б) $ 873200 : 8732 \cdot (1922800 : 38) - 34816 \cdot (21 : 21 + 7 \cdot 0). $

a) $(325 \cdot 70 - 91 \cdot 250) : 56 938 + (7259 - 0) \cdot (896 : 1) : 8 : 14$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $325 \cdot 70 - 91 \cdot 250$.
$325 \cdot 70 = 22750$
$91 \cdot 250 = 22750$
$22750 - 22750 = 0$

2. Разделим результат первого действия на $56 938$.
$0 : 56 938 = 0$

3. Теперь вычислим вторую часть выражения: $(7259 - 0) \cdot (896 : 1) : 8 : 14$.
$7259 - 0 = 7259$
$896 : 1 = 896$

4. Выражение принимает вид: $7259 \cdot 896 : 8 : 14$. Выполняем действия умножения и деления последовательно слева направо.
$7259 \cdot 896 = 6504064$
$6504064 : 8 = 813008$
$813008 : 14 = 58072$

5. Сложим результаты, полученные в пунктах 2 и 4.
$0 + 58072 = 58072$

Ответ: $58072$

б) $873 200 : 8732 \cdot (1 922 800 : 38) - 34 816 \cdot (21 : 21 + 7 \cdot 0)$

Решим выражение по частям, сначала вычислим уменьшаемое и вычитаемое, а затем найдем их разность.

1. Вычислим вторую часть выражения (вычитаемое): $34 816 \cdot (21 : 21 + 7 \cdot 0)$.
Сначала выполним действия в скобках:
$21 : 21 = 1$
$7 \cdot 0 = 0$
$1 + 0 = 1$
Теперь умножим результат на $34 816$:
$34 816 \cdot 1 = 34 816$

2. Вычислим первую часть выражения (уменьшаемое): $873 200 : 8732 \cdot (1 922 800 : 38)$.
Сначала выполним действие в скобках:
$1 922 800 : 38 = 50600$
Теперь выражение принимает вид: $873 200 : 8732 \cdot 50600$. Выполняем действия слева направо:
$873 200 : 8732 = 100$
$100 \cdot 50600 = 5060000$

3. Вычтем из результата, полученного в пункте 2, результат, полученный в пункте 1.
$5060000 - 34816 = 5025184$

Ответ: $5025184$

15 При делении некоторого натурального числа на 15 получили остаток, который в 2 раза меньше частного. Найди делимое, если оно не превышает 100.

Пусть искомое натуральное число (делимое) — это $a$, частное — $q$, а остаток — $r$. По условию задачи, делитель равен 15.

Формула деления с остатком записывается следующим образом: $a = 15 \cdot q + r$

Из условия известно, что остаток в 2 раза меньше частного. Это означает: $q = 2r$

Также необходимо помнить два важных условия:
1. Остаток от деления всегда меньше делителя: $r < 15$.
2. Искомое число не превышает 100: $a \le 100$.

Теперь подставим выражение $q = 2r$ в основную формулу: $a = 15 \cdot (2r) + r$
$a = 30r + r$
$a = 31r$

Мы получили зависимость делимого $a$ от остатка $r$. Теперь воспользуемся условием $a \le 100$:
$31r \le 100$
$r \le \frac{100}{31}$
$r \le 3.22...$

Поскольку $a$ — натуральное число, то $31r$ должно быть натуральным, значит и $r$ должно быть натуральным числом ($r \ge 1$, так как если $r=0$, то и $q=0$, а $a=0$, что не является натуральным числом).

Таким образом, возможные целые значения для $r$, удовлетворяющие неравенству $r \le 3.22...$ и условию $r < 15$, — это 1, 2 и 3.

Найдем соответствующие значения $a$ для каждого возможного $r$:
• При $r = 1$: $a = 31 \cdot 1 = 31$. Проверяем: $31 \div 15 = 2$ (ост. 1). Частное $q=2$, остаток $r=1$. $q=2r$ ($2 = 2 \cdot 1$). Условие выполнено.
• При $r = 2$: $a = 31 \cdot 2 = 62$. Проверяем: $62 \div 15 = 4$ (ост. 2). Частное $q=4$, остаток $r=2$. $q=2r$ ($4 = 2 \cdot 2$). Условие выполнено.
• При $r = 3$: $a = 31 \cdot 3 = 93$. Проверяем: $93 \div 15 = 6$ (ост. 3). Частное $q=6$, остаток $r=3$. $q=2r$ ($6 = 2 \cdot 3$). Условие выполнено.

Следующее возможное значение $r=4$ даст $a = 31 \cdot 4 = 124$, что больше 100 и не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 31, 62, 93.

16* В январе кот Барсик проспал ровно две недели. Сколько часов он в этом месяце бодрствовал?

Чтобы найти, сколько часов кот Барсик бодрствовал в январе, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим общее количество дней в январе. В январе 31 день.

2. Далее рассчитаем, сколько дней Барсик спал. В условии сказано, что он спал две недели. Так как в одной неделе 7 дней, общее время сна в днях составляет:
$2 \text{ недели} \times 7 \frac{\text{дней}}{\text{неделя}} = 14 \text{ дней}$.

3. Теперь мы можем найти количество дней, в течение которых кот бодрствовал. Для этого вычтем из общего числа дней в январе количество дней, которые он проспал:
$31 \text{ день} - 14 \text{ дней} = 17 \text{ дней}$.

4. Наконец, переведем дни бодрствования в часы, так как ответ требуется в часах. В одних сутках 24 часа, поэтому:
$17 \text{ дней} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 408 \text{ часов}$.

Ответ: 408 часов.