Страница 23, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

4 Сделай оценку произведений. Проверь полученный результат с помощью вычислений.

$35 \cdot 24;$

$78 \cdot 36;$

$194 \cdot 49;$

$552 \cdot 896.$

$35 \cdot 24;$

Оценка:
Для того чтобы сделать оценку произведения, округлим каждый множитель до ближайшего круглого числа.
Число 35 округляем до 40.
Число 24 округляем до 20.
Теперь найдём произведение округлённых чисел: $40 \cdot 20 = 800$.
Приблизительное значение произведения – 800.

Проверка вычислением:
Выполним точное умножение чисел 35 и 24:
$35 \cdot 24 = 840$.
Результат вычисления (840) близок к нашей оценке (800), что подтверждает её адекватность.

Ответ: 840

$78 \cdot 36;$

Оценка:
Округлим множители до ближайших десятков для оценки произведения.
Число 78 округляем до 80.
Число 36 округляем до 40.
Найдём произведение полученных чисел: $80 \cdot 40 = 3200$.
Приблизительное значение произведения – 3200.

Проверка вычислением:
Выполним точное умножение:
$78 \cdot 36 = 2808$.
Наша оценка (3200) и точный результат (2808) имеют один и тот же порядок величины.

Ответ: 2808

$194 \cdot 49;$

Оценка:
Для оценки округлим множители до удобных круглых чисел.
Число 194 округлим до 200 (до ближайших сотен).
Число 49 округлим до 50 (до ближайших десятков).
Вычислим их произведение: $200 \cdot 50 = 10000$.
Примерное значение произведения – 10000.

Проверка вычислением:
Выполним точное умножение:
$194 \cdot 49 = 9506$.
Точный результат (9506) очень близок к нашей оценке (10000).

Ответ: 9506

$552 \cdot 896.$

Оценка:
Округлим множители до ближайших сотен, чтобы сделать оценку.
Число 552 округляем до 600.
Число 896 округляем до 900.
Найдём произведение округлённых значений: $600 \cdot 900 = 540000$.
Приблизительное значение произведения – 540000.

Проверка вычислением:
Выполним точное умножение:
$552 \cdot 896 = 494592$.
Точный результат (494592) и наша оценка (540000) являются числами одного порядка, что говорит о верности оценки.

Ответ: 494592

5 БЛИЦтурнир.

а) 3 одинаковых пакета молока стоят $a$ р. Сколько стоят 5 таких пакетов?

б) 7 метров ткани стоят $b$ р. Сколько такой ткани можно купить на $c$ р.?

в) У Гены было $a$ р. Он купил 2 ручки по цене $n$ р. и 6 карандашей по цене $m$ р. Сколько денег у него осталось?

г) У Насти было $c$ р. На мороженое она истратила $d$ р., а на остальные деньги купила 5 одинаковых леденцов. Сколько стоит один такой леденец?

а)

1. Сначала найдем стоимость одного пакета молока. Если 3 пакета стоят $a$ рублей, то один пакет стоит $a : 3$ рублей.

2. Теперь найдем стоимость 5 таких пакетов. Для этого стоимость одного пакета умножим на 5: $(a : 3) \cdot 5$ рублей.

Ответ: $(a : 3) \cdot 5$ р.

б)

1. Сначала определим цену одного метра ткани. Если 7 метров стоят $b$ рублей, то один метр стоит $b : 7$ рублей.

2. Затем, чтобы узнать, сколько метров ткани можно купить на $c$ рублей, нужно общую сумму денег разделить на цену одного метра: $c : (b : 7)$ метров.

Ответ: $c : (b : 7)$ м.

в)

1. Найдем общую стоимость ручек. Гена купил 2 ручки по цене $n$ рублей за каждую, значит, он потратил: $2 \cdot n$ рублей.

2. Найдем общую стоимость карандашей. Он купил 6 карандашей по цене $m$ рублей за каждый, значит, он потратил: $6 \cdot m$ рублей.

3. Найдем общую сумму, которую Гена потратил на всю покупку: $2 \cdot n + 6 \cdot m$ рублей.

4. Чтобы узнать, сколько денег у него осталось, вычтем из начальной суммы ($a$ рублей) потраченную сумму: $a - (2 \cdot n + 6 \cdot m)$ рублей.

Ответ: $a - (2 \cdot n + 6 \cdot m)$ р.

г)

1. У Насти было $c$ рублей, на мороженое она истратила $d$ рублей. Найдем, сколько денег у нее осталось после покупки мороженого: $c - d$ рублей.

2. На оставшиеся деньги ($c-d$ рублей) она купила 5 одинаковых леденцов. Чтобы найти стоимость одного леденца, нужно разделить оставшуюся сумму на количество леденцов: $(c - d) : 5$ рублей.

Ответ: $(c - d) : 5$ р.

6)

a) $2002 \cdot 96 + (437140 - 42 \cdot 1085) \div 5 - 908 \cdot 60;$

б) $(5000 - 87 \cdot 39) \cdot (600 \cdot 504 - 295200) \div 80 + 38 \cdot 9520.$

a) $2002 \cdot 96 + (437140 - 42 \cdot 1085) : 5 - 908 \cdot 60$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Выполним умножение в скобках:
$42 \cdot 1085 = 45570$

2. Выполним вычитание в скобках:
$437140 - 45570 = 391570$

3. Теперь выражение имеет вид: $2002 \cdot 96 + 391570 : 5 - 908 \cdot 60$. Выполним оставшиеся действия умножения и деления слева направо.

4. Первое умножение:
$2002 \cdot 96 = 192192$

5. Деление:
$391570 : 5 = 78314$

6. Второе умножение:
$908 \cdot 60 = 54480$

7. Теперь выражение выглядит так: $192192 + 78314 - 54480$. Выполним сложение и вычитание слева направо.

8. Сложение:
$192192 + 78314 = 270506$

9. Вычитание:
$270506 - 54480 = 216026$

Ответ: 216026

б) $(5000 - 87 \cdot 39) \cdot (600 \cdot 504 - 295200) : 80 + 38 \cdot 9520$

Решим по действиям, соблюдая порядок.

1. Выполним действия в первой скобке. Сначала умножение:
$87 \cdot 39 = 3393$

2. Затем вычитание в первой скобке:
$5000 - 3393 = 1607$

3. Выполним действия во второй скобке. Сначала умножение:
$600 \cdot 504 = 302400$

4. Затем вычитание во второй скобке:
$302400 - 295200 = 7200$

5. Теперь выражение имеет вид: $1607 \cdot 7200 : 80 + 38 \cdot 9520$. Выполним умножение и деление слева направо.

6. Умножение:
$1607 \cdot 7200 = 11570400$

7. Деление:
$11570400 : 80 = 144630$

8. Выполним последнее умножение:
$38 \cdot 9520 = 361760$

9. Теперь выражение выглядит так: $144630 + 361760$. Выполним сложение.

10. Сложение:
$144630 + 361760 = 506390$

Ответ: 506390

7. Найди пересечение и объединение множеств решений двух неравенств: $3 < x \leq 7$ и $5 \leq x < 9$.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $A$ — множество решений неравенства $3 < x \le 7$, и $B$ — множество решений неравенства $5 \le x \le 9$. В виде числовых промежутков эти множества можно записать так:
$A = (3, 7]$
$B = [5, 9]$

Пересечение.
Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество элементов, которые принадлежат как множеству $A$, так и множеству $B$ одновременно. Иными словами, мы ищем такие значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам:
$\left\{\begin{array}{l}3 < x \le 7 \\ 5 \le x \le 9\end{array}\right.$
Чтобы найти решение этой системы, нужно найти общую часть промежутков $(3, 7]$ и $[5, 9]$. Для этого выберем наибольшее значение из левых границ (это 5) и наименьшее значение из правых границ (это 7). Таким образом, общая часть — это все числа $x$, для которых выполняется условие $5 \le x \le 7$.
Ответ: $5 \le x \le 7$, или в виде промежутка $[5, 7]$.

Объединение.
Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, $A$ или $B$. Мы ищем все значения $x$, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств: $3 < x \le 7$ или $5 \le x \le 9$. Для нахождения объединения нужно взять наименьшую из левых границ (это 3) и наибольшую из правых границ (это 9). Так как промежутки $(3, 7]$ и $[5, 9]$ пересекаются, их объединение будет сплошным промежутком. Он начнется с наименьшей возможной точки (3, не включая) и закончится наибольшей возможной точкой (9, включая). Таким образом, объединение — это все числа $x$, для которых выполняется условие $3 < x \le 9$.
Ответ: $3 < x \le 9$, или в виде промежутка $(3, 9]$.

8 В поезде 17 вагонов, из них 6 плацкартные, а остальные купейные. В плацкартном вагоне 54 места, а в купейном 36 мест. На этот поезд уже продано в плацкартные вагоны 87 билетов, а в купейные — в 3 раза больше. Поставь разумные вопросы к этому условию и ответь на них.

Сколько в поезде купейных вагонов?

В поезде всего 17 вагонов, из которых 6 — плацкартные. Чтобы узнать, сколько купейных вагонов, нужно из общего числа вагонов вычесть число плацкартных:

$17 - 6 = 11$ (купейных вагонов).

Ответ: 11 купейных вагонов.

Сколько всего мест в поезде?

1) Сначала найдем общее количество мест в плацкартных вагонах. В поезде 6 плацкартных вагонов по 54 места в каждом:

$6 \times 54 = 324$ (места в плацкартных вагонах).

2) Затем найдем общее количество мест в купейных вагонах. В поезде 11 купейных вагонов (как мы нашли ранее) по 36 мест в каждом:

$11 \times 36 = 396$ (мест в купейных вагонах).

3) Чтобы найти общее количество мест в поезде, сложим места в плацкартных и купейных вагонах:

$324 + 396 = 720$ (мест).

Ответ: 720 мест.

Сколько всего билетов продано на поезд?

1) В условии сказано, что продано 87 билетов в плацкартные вагоны, а в купейные вагоны — в 3 раза больше. Найдем количество билетов, проданных в купейные вагоны:

$87 \times 3 = 261$ (билет в купейные вагоны).

2) Теперь сложим количество проданных билетов в плацкартные и купейные вагоны, чтобы найти общее количество проданных билетов:

$87 + 261 = 348$ (билетов).

Ответ: 348 билетов.

Сколько свободных мест осталось в поезде?

Чтобы найти количество свободных мест, нужно из общего количества мест в поезде (720) вычесть общее количество проданных билетов (348).

$720 - 348 = 372$ (свободных места).

Также можно проверить, посчитав свободные места для каждого типа вагонов отдельно:

1) Свободные места в плацкартных вагонах: $324 - 87 = 237$ (мест).

2) Свободные места в купейных вагонах: $396 - 261 = 135$ (мест).

3) Всего свободных мест: $237 + 135 = 372$ (места).

Ответ: 372 свободных места.

9 В записи 1 2 3 4 5 между цифрами поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Для решения этой задачи необходимо расставить знаки арифметических действий (+, −, ·, /) и скобки между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы в результате получилось число 100. Цифры должны оставаться в исходном порядке.
Поскольку число 100 является достаточно большим по сравнению с исходными цифрами, логично предположить, что в решении будет использоваться умножение. Попробуем получить 100 как произведение нескольких чисел. Например, $100 = 20 \cdot 5$ или $100 = 4 \cdot 25$. Также можно представить 100 как $5 \cdot 4 \cdot 5$.
Рассмотрим последний вариант: $5 \cdot 4 \cdot 5$. В нашей последовательности уже есть цифры 4 и 5. Нам нужно получить множитель 5 из первых трёх цифр: 1, 2 и 3. Этого можно достичь, скомбинировав их следующим образом: $(1 \cdot 2 + 3)$.
Теперь объединим всё в одно выражение:$$ (1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 $$Проверим, равно ли значение этого выражения 100, соблюдая порядок выполнения арифметических действий:
1. Сначала вычисляем значение в скобках. Внутри скобок первым действием выполняется умножение: $1 \cdot 2 = 2$.
2. Затем выполняем сложение в скобках: $2 + 3 = 5$.
3. Теперь выражение принимает вид: $5 \cdot 4 \cdot 5$.
4. Выполняем оставшиеся операции умножения слева направо: $5 \cdot 4 = 20$.
5. И последнее действие: $20 \cdot 5 = 100$.
Результат вычислений равен 100, что соответствует условию задачи.

Ответ: $(1 \cdot 2 + 3) \cdot 4 \cdot 5 = 100$.

10 Шёл Кондрат в Ленинград,

А навстречу — двенадцать ребят,

У каждого — по 3 лукошка,

В каждом лукошке — кошка,

У каждой кошки — 12 котят,

У каждого котёнка в зубах по 4 мышонка.

И задумался старый Кондрат:

Сколько мышат и котят

Ребята несут в Ленинград?

Это классическая задача-загадка, в которой ответ кроется во внимательном прочтении условия. Ключевая фраза — "А навстречу".

1. Кондрат шёл в Ленинград.

2. Двенадцать ребят шли ему навстречу.

Из этого следует, что ребята шли из Ленинграда, то есть в противоположном направлении. Вопрос в задаче звучит: "Сколько мышат и котят Ребята несут в Ленинград?". Поскольку ребята идут от города, они ничего в него не несут.

Ответ: Ребята несут в Ленинград 0 мышат и 0 котят.

Если же рассматривать задачу как чисто математическую, игнорируя направление движения, и посчитать, сколько всего животных было у ребят, то расчёт будет таким:

1. Считаем количество кошек:

У каждого из 12 ребят было по 3 лукошка, в каждом лукошке — по 1 кошке.

$12 \text{ (ребят)} \times 3 \text{ (лукошка)} \times 1 \text{ (кошка)} = 36 \text{ кошек}$

2. Считаем количество котят:

У каждой из 36 кошек было по 12 котят.

$36 \text{ (кошек)} \times 12 \text{ (котят)} = 432 \text{ котёнка}$

3. Считаем количество мышат:

У каждого из 432 котят было по 4 мышонка.

$432 \text{ (котёнка)} \times 4 \text{ (мышонка)} = 1728 \text{ мышат}$

Таким образом, у ребят с собой было 432 котёнка и 1728 мышат, но, повторимся, в Ленинград они их не несли.

4 Запиши несколько смешанных чисел, удовлетворяющих неравенству:

$2 < x < 3$

$5 \le y < 6$

$2 < x < 3$

Чтобы смешанное число $x$ удовлетворяло строгому неравенству $2 < x < 3$, оно должно быть больше 2, но меньше 3. Это означает, что его целая часть должна быть равна 2, а дробная часть — любой положительной правильной дробью (дробь, у которой числитель меньше знаменателя).

Примеры таких чисел: $2\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$, $2\frac{5}{8}$.
Проверим: $2 < 2\frac{1}{2} < 3$, $2 < 2\frac{3}{4} < 3$, $2 < 2\frac{5}{8} < 3$.

Ответ: $2\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{4}$, $2\frac{5}{8}$.

$5 \le y < 6$

Чтобы смешанное число $y$ удовлетворяло нестрогому неравенству $5 \le y < 6$, оно должно быть больше или равно 5, но меньше 6. Так как мы ищем смешанные числа, их целая часть будет равна 5, а дробная часть — любой положительной правильной дробью. Любое смешанное число с целой частью 5 будет строго больше 5 и меньше 6, что удовлетворяет условию.

Примеры таких чисел: $5\frac{1}{3}$, $5\frac{4}{9}$, $5\frac{7}{10}$.
Проверим: $5 \le 5\frac{1}{3} < 6$, $5 \le 5\frac{4}{9} < 6$, $5 \le 5\frac{7}{10} < 6$.

Ответ: $5\frac{1}{3}$, $5\frac{4}{9}$, $5\frac{7}{10}$.

Запиши около выделенных точек числового луча:

a) смешанные числа:

$\frac{8}{6}$
$1\frac{2}{6}$

$\frac{11}{6}$

$\frac{15}{6}$

$\frac{19}{6}$

$\frac{22}{6}$

б) неправильные дроби:

$1\frac{1}{4}$
$\frac{5}{4}$

$1\frac{3}{4}$

$2\frac{2}{4}$

$3\frac{1}{4}$

а) смешанные числа:

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное станет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним. Числовой луч разделен на отрезки длиной $\frac{1}{6}$.

• Для точки $\frac{8}{6}$: делим $8$ на $6$, получаем $1$ и в остатке $2$. Таким образом, $\frac{8}{6} = 1\frac{2}{6}$.
• Для точки $\frac{11}{6}$: делим $11$ на $6$, получаем $1$ и в остатке $5$. Таким образом, $\frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$.
• Для точки $\frac{15}{6}$: делим $15$ на $6$, получаем $2$ и в остатке $3$. Таким образом, $\frac{15}{6} = 2\frac{3}{6}$.
• Для точки $\frac{19}{6}$: делим $19$ на $6$, получаем $3$ и в остатке $1$. Таким образом, $\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$.
• Для точки $\frac{22}{6}$: делим $22$ на $6$, получаем $3$ и в остатке $4$. Таким образом, $\frac{22}{6} = 3\frac{4}{6}$.

Ответ: $1\frac{2}{6}$, $1\frac{5}{6}$, $2\frac{3}{6}$, $3\frac{1}{6}$, $3\frac{4}{6}$.

б) неправильные дроби:

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель и к результату прибавить числитель. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним. Числовой луч разделен на отрезки длиной $\frac{1}{4}$.

• Для точки $1\frac{1}{4}$: $(1 \times 4) + 1 = 5$. Таким образом, $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
• Для точки $1\frac{3}{4}$: $(1 \times 4) + 3 = 7$. Таким образом, $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
• Для точки $2\frac{2}{4}$: $(2 \times 4) + 2 = 10$. Таким образом, $2\frac{2}{4} = \frac{10}{4}$.
• Для точки $3\frac{1}{4}$: $(3 \times 4) + 1 = 13$. Таким образом, $3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{10}{4}$, $\frac{13}{4}$.

Пользуясь рисунком, запиши неправильную дробь в виде смешанного числа:

а) $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

б) $\frac{19}{8} = $

в) $\frac{21}{4} = $

г) $\frac{11}{3} = $

а) На рисунке изображены 3 целые фигуры (круги) и 1 часть от следующей фигуры. Каждая целая фигура разделена на 2 равные части. Значит, знаменатель дроби равен 2. Всего мы имеем 3 целые фигуры и 1 часть из двух, что можно записать как смешанное число $3\frac{1}{2}$.
Неправильная дробь $\frac{7}{2}$ представляет собой 7 частей, каждая из которых равна $\frac{1}{2}$. На рисунке мы видим $3 \times 2 + 1 = 7$ таких частей. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель 7 на знаменатель 2 с остатком: $7 \div 2 = 3$ (остаток 1). Целая часть равна 3, остаток 1 становится числителем дробной части, а знаменатель 2 остается без изменений.
Ответ: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

б) На рисунке изображены 2 целые фигуры (квадраты) и 3 части от следующей фигуры. Каждая целая фигура разделена на 8 равных частей. Значит, знаменатель дроби равен 8. Всего мы имеем 2 целые фигуры и 3 части из восьми, что записывается как смешанное число $2\frac{3}{8}$.
Неправильная дробь $\frac{19}{8}$ представляет собой 19 частей, каждая из которых равна $\frac{1}{8}$. На рисунке мы видим $2 \times 8 + 3 = 19$ таких частей. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель 19 на знаменатель 8 с остатком: $19 \div 8 = 2$ (остаток 3). Целая часть равна 2, остаток 3 становится числителем дробной части, а знаменатель 8 остается без изменений.
Ответ: $\frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}$

в) На рисунке изображены 5 целых фигур (овалов) и 1 часть от следующей фигуры. Каждая целая фигура разделена на 4 равные части. Значит, знаменатель дроби равен 4. Всего мы имеем 5 целых фигур и 1 часть из четырех, что записывается как смешанное число $5\frac{1}{4}$.
Неправильная дробь $\frac{21}{4}$ представляет собой 21 часть, каждая из которых равна $\frac{1}{4}$. На рисунке мы видим $5 \times 4 + 1 = 21$ такую часть. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель 21 на знаменатель 4 с остатком: $21 \div 4 = 5$ (остаток 1). Целая часть равна 5, остаток 1 становится числителем дробной части, а знаменатель 4 остается без изменений.
Ответ: $\frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$

г) На рисунке изображены 3 целые фигуры (треугольники) и 2 части от следующей фигуры. Каждая целая фигура разделена на 3 равные части. Значит, знаменатель дроби равен 3. Всего мы имеем 3 целые фигуры и 2 части из трех, что записывается как смешанное число $3\frac{2}{3}$.
Неправильная дробь $\frac{11}{3}$ представляет собой 11 частей, каждая из которых равна $\frac{1}{3}$. На рисунке мы видим $3 \times 3 + 2 = 11$ таких частей. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель 11 на знаменатель 3 с остатком: $11 \div 3 = 3$ (остаток 2). Целая часть равна 3, остаток 2 становится числителем дробной части, а знаменатель 3 остается без изменений.
Ответ: $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$

Раздели фигуры на части и допиши неправильные дроби:

a) $2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{}{4} + \frac{1}{4} = \frac{}{4}$

б) $4\frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{}{2} + \frac{1}{2} = \frac{}{2}$

в) $3\frac{4}{6} = 3 + \frac{4}{6} = \frac{}{6} + \frac{4}{6} = \frac{}{6}$

г) $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = \frac{}{5} + \frac{3}{5} = \frac{}{5}$

а) Чтобы представить смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби, нужно целую часть (2) представить в виде дроби со знаменателем 4. Каждая целая фигура (круг) делится на 4 части. Таким образом, два целых круга содержат $2 \times 4 = 8$ четвертей. Добавляем к ним еще одну четверть из дробной части. Получаем $8 + 1 = 9$ четвертей.
Заполненное равенство выглядит так: $2\frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Ответ: $\frac{9}{4}$

б) Для числа $4\frac{1}{2}$ целую часть (4) нужно представить в виде дроби со знаменателем 2. Каждая целая фигура (ромб) делится на 2 части (треугольника). Четыре целых ромба содержат $4 \times 2 = 8$ половинок. Прибавляем еще одну половинку из дробной части. Всего получается $8 + 1 = 9$ половинок.
Заполненное равенство выглядит так: $4\frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
Ответ: $\frac{9}{2}$

в) В смешанном числе $3\frac{4}{6}$ целую часть (3) представляем в виде дроби со знаменателем 6. Каждая целая фигура (шестиугольник) делится на 6 частей (треугольников). Три целых шестиугольника содержат $3 \times 6 = 18$ шестых частей. Прибавляем к ним еще 4 шестых части из дробной части. Всего получается $18 + 4 = 22$ шестых части.
Заполненное равенство выглядит так: $3\frac{4}{6} = 3 + \frac{4}{6} = \frac{18}{6} + \frac{4}{6} = \frac{22}{6}$
Ответ: $\frac{22}{6}$

г) Для числа $2\frac{3}{5}$ целую часть (2) нужно представить в виде дроби со знаменателем 5. Каждая целая фигура (прямоугольник) делится на 5 частей. Два целых прямоугольника содержат $2 \times 5 = 10$ пятых частей. Добавляем к ним еще 3 пятых части из дробной части. Всего получается $10 + 3 = 13$ пятых частей.
Заполненное равенство выглядит так: $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$
Ответ: $\frac{13}{5}$

5 а) Проведи луч OC, дополнительный к лучу OA (то есть дополняющий луч OA до прямой). Проведи луч OD, дополнительный к лучу OB. Углы AOB и COD называются вертикальными. Раскрась их цветным карандашом.

б) Измерь углы AOB и COD. Сравни их.

$\angle AOB$ = ______ $\angle COD$ = ______ $\angle AOB$ [] $\angle COD$

в) Найди на чертеже ещё одну пару вертикальных углов. Отметь их дугами и измерь. Что ты замечаешь?

а)

Для выполнения этого задания необходимо последовательно выполнить следующие шаги:
1. Провести луч OC, который является продолжением луча OA за точку O. В результате точки A, O, C будут лежать на одной прямой.
2. Провести луч OD, который является продолжением луча OB за точку O. В результате точки B, O, D будут лежать на одной прямой.
3. При пересечении прямых AC и BD в точке O образуются две пары вертикальных углов. Первая пара — это углы $\angle AOB$ и $\angle COD$.
4. Раскрасить углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ цветным карандашом.
На рисунке ниже показан результат построений. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ закрашены голубым цветом.
Ответ: Лучи OC и OD построены, вертикальные углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ закрашены на представленном чертеже.

б)

Для измерения углов воспользуемся транспортиром. Приложив транспортир к углу $\angle AOB$, измерим его величину. Затем измерим величину угла $\angle COD$.
Измерения показывают, что величина угла $\angle AOB$ составляет примерно $120^{\circ}$.
Величина угла $\angle COD$ также составляет $120^{\circ}$.
Сравнивая их величины, мы видим, что они равны.
$\angle AOB = 120^{\circ}$
$\angle COD = 120^{\circ}$
$\angle AOB = \angle COD$
Это свойство верно для любых вертикальных углов: вертикальные углы всегда равны.
Ответ: $\angle AOB = 120^{\circ}$, $\angle COD = 120^{\circ}$. $\angle AOB = \angle COD$.

в)

Ещё одна пара вертикальных углов на чертеже — это углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$. На рисунке выше они отмечены двойными дугами.
Измерим их величину с помощью транспортира. Измерения показывают, что оба этих угла равны примерно $60^{\circ}$.
Эту величину можно также вычислить. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, так как их стороны OB и OD образуют прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ}$.
Следовательно, $\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Поскольку $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, они равны, значит $\angle BOC = 60^{\circ}$.
Я замечаю, что углы во второй паре вертикальных углов ($\angle AOD$ и $\angle BOC$) также равны между собой. Это подтверждает общее свойство: вертикальные углы равны.
Ответ: Вторая пара вертикальных углов: $\angle AOD$ и $\angle BOC$. Их величины равны: $\angle AOD = \angle BOC = 60^{\circ}$. Замечание: вертикальные углы всегда равны.

6 Найди пары вертикальных углов и отметь одинаковыми дугами. Измерь вертикальные углы и сравни.

Какую закономерность ты наблюдаешь? Как обосновать это свойство вертикальных углов, опираясь на свойство смежных углов?

Найди пары вертикальных углов и отметь одинаковыми дугами. Измерь вертикальные углы и сравни.
Вертикальные углы — это пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых, где стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На данных рисунках можно выделить следующие пары вертикальных углов:
1. На первом рисунке, где прямые BK и CD пересекаются в точке A:

• Первая пара: $∠BAC$ и $∠KAD$.
• Вторая пара: $∠CAK$ и $∠BAD$.

2. На втором рисунке, где прямые EF и MN пересекаются в точке O:

• Первая пара: $∠EOM$ и $∠FON$.
• Вторая пара: $∠EON$ и $∠FOM$.

Если измерить эти углы с помощью транспортира, можно убедиться, что величины углов в каждой паре одинаковы. Например, на первом рисунке, измерив $∠BAC$, мы получим ту же градусную меру для $∠KAD$. Точно так же $∠CAK$ будет равен $∠BAD$.
Ответ: Пары вертикальных углов: ($∠BAC$, $∠KAD$) и ($∠CAK$, $∠BAD$); ($∠EOM$, $∠FON$) и ($∠EON$, $∠FOM$). Сравнение при помощи измерения показывает, что вертикальные углы в каждой паре равны.

Какую закономерность ты наблюдаешь?
При измерении и сравнении вертикальных углов наблюдается следующая закономерность: вертикальные углы всегда равны друг другу. Это их основное свойство.
Ответ: Вертикальные углы равны.

Как обосновать это свойство вертикальных углов, опираясь на свойство смежных углов?
Свойство вертикальных углов можно доказать, используя свойство смежных углов. Смежные углы — это два угла с общей вершиной, одна сторона у которых общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Рассмотрим пару вертикальных углов $∠BAC$ и $∠KAD$ и докажем их равенство.

1. Углы $∠BAC$ и $∠CAK$ являются смежными. У них общая сторона AC, а стороны AB и AK образуют прямую BK. Согласно свойству смежных углов: $∠BAC + ∠CAK = 180°$. Из этого равенства выразим $∠BAC$: $∠BAC = 180° - ∠CAK$.
2. Теперь рассмотрим углы $∠KAD$ и $∠CAK$. Они также являются смежными. У них общая сторона AK, а стороны AC и AD образуют прямую CD. Поэтому: $∠KAD + ∠CAK = 180°$. Из этого равенства выразим $∠KAD$: $∠KAD = 180° - ∠CAK$.
3. Мы получили два выражения. Правые части у них одинаковы ($180° - ∠CAK$). Это значит, что и левые части должны быть равны: $∠BAC = ∠KAD$.
Таким образом, мы доказали, что вертикальные углы равны, опираясь на то, что они дополняют один и тот же смежный угол до $180°$. Аналогично можно доказать и равенство второй пары вертикальных углов $∠CAK$ и $∠BAD$.
Ответ: Равенство вертикальных углов следует из свойства смежных углов. Если два угла (например, $∠BAC$ и $∠KAD$) являются смежными с одним и тем же третьим углом (в нашем доказательстве это $∠CAK$), то они равны между собой, так как оба они равны $180°$ минус величина этого третьего угла.

7 Длина реки Волга 3530 км. Длина реки Дунай составляет $\frac{4}{5}$ длины Волги, а река Днепр на 600 км короче Дуная. Чему равна длина Днепра?

Для того чтобы найти длину Днепра, сначала необходимо вычислить длину Дуная. Длина Волги составляет 3530 км, а длина Дуная — это $\frac{4}{5}$ от длины Волги. Вычислим длину Дуная, умножив длину Волги на дробь:

$3530 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3530 \cdot 4}{5} = 706 \cdot 4 = 2824$ км.

Теперь мы знаем, что длина Дуная равна 2824 км. В условии сказано, что река Днепр на 600 км короче Дуная. Чтобы найти длину Днепра, вычтем 600 км из длины Дуная:

$2824 - 600 = 2224$ км.

Ответ: длина Днепра равна 2224 км.

8 Самая большая река в Азии — Янцзы — имеет длину 6300 км. Длина реки Меконг составляет $\frac{5}{7}$ длины Янцзы и $\frac{5}{3}$ длины Ганга. Река Лена на 1700 км длиннее Ганга, а длины Амура и Енисея составляют соответственно 97 % и 126 % длины Лены. На сколько Енисей длиннее Амура?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Найдём длину реки Меконг

Длина реки Меконг составляет $ \frac{5}{7} $ от длины реки Янцзы (6300 км). Вычислим её:

$ 6300 \cdot \frac{5}{7} = \frac{6300 \cdot 5}{7} = 900 \cdot 5 = 4500 $ км.

2. Найдём длину реки Ганг

Известно, что длина Меконга (4500 км) составляет $ \frac{5}{3} $ от длины Ганга. Чтобы найти полную длину Ганга, необходимо длину Меконга разделить на $ \frac{5}{3} $:

$ 4500 : \frac{5}{3} = 4500 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4500 \cdot 3}{5} = 900 \cdot 3 = 2700 $ км.

3. Найдём длину реки Лена

Река Лена на 1700 км длиннее Ганга, длина которого 2700 км:

$ 2700 + 1700 = 4400 $ км.

4. Найдём, на сколько Енисей длиннее Амура

Длина Амура составляет 97% от длины Лены, а длина Енисея — 126% от длины Лены. Чтобы найти разницу в их длинах, можно сначала найти разницу в процентах, а затем вычислить её значение в километрах от длины Лены.

Разница в процентах: $ 126\% - 97\% = 29\% $.

Теперь найдем, сколько километров составляют эти 29% от длины Лены (4400 км):

$ 4400 \cdot \frac{29}{100} = 44 \cdot 29 = 1276 $ км.

Ответ: Енисей длиннее Амура на 1276 км.