Страница 30, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

11 Укажи наибольшее решение неравенства:

$x < (294 \cdot 7500 - 3690460 : 5) : 4 - 359999.$

Для того чтобы найти наибольшее решение неравенства, необходимо вычислить значение выражения в его правой части, соблюдая порядок арифметических действий.

Исходное неравенство:

$x < (294 \cdot 7500 - 3 690 460 : 5) : 4 - 359 999$

Выполним вычисления по шагам:

1. Первым действием выполним умножение в скобках:

$294 \cdot 7500 = 2 205 000$

2. Вторым действием выполним деление в скобках:

$3 690 460 : 5 = 738 092$

3. Третьим действием выполним вычитание в скобках:

$2 205 000 - 738 092 = 1 466 908$

4. Четвертым действием разделим результат, полученный в скобках, на 4:

$1 466 908 : 4 = 366 727$

5. Пятым, последним действием, выполним вычитание:

$366 727 - 359 999 = 6 728$

После всех вычислений неравенство принимает вид:

$x < 6728$

Требуется указать наибольшее решение неравенства. Поскольку $x$ должен быть строго меньше 6728, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является число, которое на единицу меньше 6728.

$6728 - 1 = 6727$

Ответ: 6727.

12 Сравни выражения:

$7918 + 542$ □ $80396 + 658$

$a + 5$ □ $a + 3$

$732 - 94$ □ $800 - 27$

$b - 11$ □ $b - 8$

$327 \cdot 538$ □ $356 \cdot 2001$

$c \cdot 9$ □ $c \cdot 14$

$386833 : 587$ □ $386833 : 659$

$d : 6$ □ $d : 18$

7918 + 542 ☐ 80 396 + 658

Чтобы сравнить выражения, вычислим их значения.

Значение левой части: $7918 + 542 = 8460$.

Значение правой части: $80396 + 658 = 81054$.

Сравниваем полученные результаты: $8460 < 81054$.

Ответ: $7918 + 542 < 80396 + 658$.

732 - 94 ☐ 800 - 27

Вычислим значения для каждой стороны.

Значение левой части: $732 - 94 = 638$.

Значение правой части: $800 - 27 = 773$.

Сравниваем полученные результаты: $638 < 773$.

Ответ: $732 - 94 < 800 - 27$.

327 · 538 ☐ 356 · 2001

Вычислим произведения.

Значение левой части: $327 \cdot 538 = 175926$.

Значение правой части: $356 \cdot 2001 = 712356$.

Сравниваем полученные результаты: $175926 < 712356$.

Ответ: $327 \cdot 538 < 356 \cdot 2001$.

386833 : 587 ☐ 386833 : 659

В этих выражениях делимое одинаково. При делении одного и того же положительного числа на разные делители, частное будет больше там, где делитель меньше.

Сравним делители: $587 < 659$.

Поскольку делитель в левом выражении меньше, то значение этого выражения будет больше.

Ответ: $386833 : 587 > 386833 : 659$.

a + 5 ☐ a + 3

К одному и тому же числу $a$ прибавляются разные слагаемые. Сумма будет больше в том выражении, где слагаемое больше.

Сравним слагаемые: $5 > 3$.

Следовательно, левое выражение больше.

Ответ: $a + 5 > a + 3$.

b - 11 ☐ b - 8

Из одного и того же числа $b$ вычитаются разные числа. Разность будет меньше в том выражении, где вычитаемое больше.

Сравним вычитаемые: $11 > 8$.

Так как из числа $b$ слева вычитается большее число, результат будет меньше.

Ответ: $b - 11 < b - 8$.

c · 9 ☐ c · 14

Одно и то же число $c$ умножается на разные множители. Если предположить, что $c$ — положительное число ($c > 0$), то произведение будет больше там, где множитель больше.

Сравним множители: $9 < 14$.

Следовательно, левое произведение меньше.

Ответ: $c \cdot 9 < c \cdot 14$.

d : 6 ☐ d : 18

Одно и то же число $d$ делится на разные числа. Если предположить, что $d$ — положительное число ($d > 0$), то частное будет больше там, где делитель меньше.

Сравним делители: $6 < 18$.

Следовательно, левое частное больше.

Ответ: $d : 6 > d : 18$.

13 Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств $A$, $B$, $C$ и $D$:

$A$ — множество животных,

$B$ — множество птиц,

$C$ — множество рыб,

$D$ — множество животных, занесённых в Красную книгу.

Назови несколько элементов множества $D$.

Приведи примеры подмножеств множества $B$.

Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств A, B, C и D:

Для построения диаграммы Эйлера-Венна необходимо проанализировать отношения между заданными множествами:

• A — множество животных.
• B — множество птиц.
• C — множество рыб.
• D — множество животных, занесённых в Красную книгу.

1. Все птицы (множество B) и все рыбы (множество C) являются животными (множество A). Это означает, что множества B и C являются подмножествами множества A. В виде формул это записывается так: $B \subset A$ и $C \subset A$.

2. Птицы и рыбы — это разные классы животных. Ни одно животное не может быть одновременно и птицей, и рыбой. Следовательно, множества B и C не пересекаются, и их пересечение является пустым множеством: $B \cap C = \emptyset$.

3. В Красную книгу занесены различные виды животных, в том числе птицы, рыбы и другие (например, млекопитающие). Поэтому множество D (животные из Красной книги) будет пересекаться как с множеством B, так и с множеством C, а также с той частью множества A, которая не включает в себя B и C.

Исходя из этого, диаграмма будет выглядеть следующим образом: большой овал представляет универсальное множество A (животные). Внутри этого овала находятся два отдельных, непересекающихся овала поменьше — это множества B (птицы) и C (рыбы). Четвертый овал, представляющий множество D, накладывается на диаграмму так, что он пересекает и овал B, и овал C, и оставшуюся часть овала A.

Области пересечения на диаграмме означают:

• Пересечение D и B ($D \cap B$) — это птицы, занесённые в Красную книгу.
• Пересечение D и C ($D \cap C$) — это рыбы, занесённые в Красную книгу.
• Пересечение D с частью A, не входящей в B и C ($D \cap (A \setminus (B \cup C))$) — это животные из Красной книги, которые не являются ни птицами, ни рыбами (например, амурский тигр).

Ответ: Диаграмма представляет собой большой овал (множество А), внутри которого расположены два непересекающихся овала (множества B и C). Четвертый овал (множество D) пересекает часть овала А, часть овала В и часть овала С.

Назови несколько элементов множества D:

Множество D — это множество животных, занесённых в Красную книгу. Примерами таких животных являются:

• Амурский тигр
• Снежный барс (ирбис)
• Белый медведь
• Стерх (белый журавль)
• Зубр
• Русский осётр

Ответ: Амурский тигр, стерх, русский осётр.

Приведи примеры подмножеств множества B:

Множество B — это множество всех птиц. Подмножеством является любое множество, которое полностью содержится в исходном множестве. Примеры подмножеств для множества птиц:

• Множество хищных птиц (например, орлы, соколы, ястребы).
• Множество водоплавающих птиц (например, утки, гуси, лебеди).
• Множество перелётных птиц.
• Множество синиц.
• Множество, состоящее из одного элемента, например, {попугай}.

Ответ: Множество хищных птиц, множество водоплавающих птиц, множество перелётных птиц.

14 Сколько углов ты видишь на чертеже? Назови их. Есть ли среди этих углов острые углы? Прямые углы? Тупые углы?

Острые углы: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, $\angle AOC$

Прямые углы: $\angle BOD$

Тупые углы: $\angle AOD$

На чертеже изображены 4 луча (OA, OB, OC, OD), выходящие из одной точки O. Они образуют 6 различных углов. Перечислим их все:

• углы, образованные соседними лучами: $ \angle AOB $, $ \angle BOC $, $ \angle COD $;
• углы, составленные из нескольких углов: $ \angle AOC $, $ \angle BOD $, $ \angle AOD $.

Теперь классифицируем эти углы.

Острые углы:Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (меньше $ 90^\circ $). На данном чертеже четыре угла являются острыми. Это три наименьших угла, а также угол, состоящий из двух из них.Ответ: $ \angle AOB $, $ \angle BOC $, $ \angle COD $, $ \angle BOD $.

Прямые углы:Прямой угол — это угол, равный $ 90^\circ $. Визуально можно определить, что угол, образованный лучами OA и OC, является прямым.Ответ: $ \angle AOC $.

Тупые углы:Тупой угол — это угол, который больше прямого ($ > 90^\circ $), но меньше развернутого ($ < 180^\circ $). Самый большой угол на чертеже, $ \angle AOD $, является тупым, так как он состоит из прямого угла $ \angle AOC $ и острого угла $ \angle COD $.Ответ: $ \angle AOD $.

15 Замени буквы цифрами так, чтобы получилась верная запись (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные).

$ \begin{array}{r} \text{КОШКА} \\ + \text{КОШКА} \\ \text{КОШКА} \\ \hline \text{СОБАКА} \end{array} $

У задачи два решения. Найди их.

Данный математический ребус можно представить в виде уравнения умножения: $3 \cdot \text{КОШКА} = \text{СОБАКА}$. Решим его, анализируя действия поразрядно, справа налево.

1. Разряд единиц. Уравнение для этого разряда: $3 \cdot А = xА$, где $xА$ — число, оканчивающееся на цифру $А$. Проверим все возможные цифры для $А$:
- $3 \cdot 0 = 0$. Подходит. Переноса в следующий разряд нет.
- $3 \cdot 5 = 15$. Подходит. В следующий разряд переносится 1.
Другие цифры не подходят. Таким образом, $А$ может быть равно либо 0, либо 5.

2. Рассмотрим случай, когда $А = 5$.
Из разряда единиц в разряд десятков переходит 1.
Для разряда десятков получаем: $3 \cdot К + 1 = yК$ (где $yК$ — число, оканчивающееся на $К$). Это можно записать как $2 \cdot К + 1 = 10n$. Выражение $2 \cdot К$ всегда будет чётным, а $2 \cdot К + 1$ — нечётным. Нечётное число не может оканчиваться на 0. Следовательно, для $К$ нет решения.
Вывод: вариант $А=5$ невозможен.

3. Рассмотрим случай, когда $А = 0$.
Из разряда единиц переноса нет.
- Разряд десятков: $3 \cdot К = zК$. Так как $А=0$, то $К \neq 0$. Единственная оставшаяся цифра, удовлетворяющая этому условию — это $К=5$ ($3 \cdot 5 = 15$). В следующий разряд переносится 1.
- Разряд сотен: $3 \cdot Ш + 1 = wА = w0$. Значит, $3 \cdot Ш$ должно оканчиваться на 9. Единственная подходящая цифра — это $Ш=3$ ($3 \cdot 3 + 1 = 10$). В следующий разряд переносится 1.
- Разряд тысяч: $3 \cdot О + 1 = п_4Б$, где $п_4$ — перенос в следующий разряд, а $Б$ — искомая цифра.
- Разряд десятков тысяч: $3 \cdot К + п_4 = п_5О$. Подставляем известное $К=5$: $3 \cdot 5 + п_4 = 15 + п_4 = п_5О$.
- Разряд сотен тысяч: $С$ — это перенос $п_5$. Так как КОШКА — пятизначное число, то $К \neq 0$. Значит $3 \cdot \text{КОШКА}$ будет шестизначным или пятизначным. Поскольку в результате стоит буква С, то $С \neq 0$, и результат СОБАКА — шестизначное число. Значит, $п_5 = С > 0$.

Проанализируем уравнение $15 + п_4 = п_5О$. Перенос $п_4$ из разряда тысяч ($3 \cdot О + 1$) может быть равен 0, 1 или 2.
- Если $п_4 = 0$, то $15 + 0 = 15$. Тогда $О=5$. Но $К$ уже равно 5, а разные буквы должны быть разными цифрами. Не подходит.
- Если $п_4 = 1$, то $15 + 1 = 16$. Тогда $О=6$ и $С=п_5=1$. Проверим, возможен ли перенос $п_4 = 1$. $3 \cdot О + 1 = 3 \cdot 6 + 1 = 19$. Получаем $Б=9$ и перенос $п_4=1$. Все условия соблюдены. Все цифры ($А=0, К=5, Ш=3, О=6, С=1, Б=9$) уникальны. Это первое решение.
- Если $п_4 = 2$, то $15 + 2 = 17$. Тогда $О=7$ и $С=п_5=1$. Проверим, возможен ли перенос $п_4 = 2$. $3 \cdot О + 1 = 3 \cdot 7 + 1 = 22$. Получаем $Б=2$ и перенос $п_4=2$. Все условия соблюдены. Все цифры ($А=0, К=5, Ш=3, О=7, С=1, Б=2$) уникальны. Это второе решение.

Решение 1

В этом решении буквы соответствуют следующим цифрам: $А=0, Б=9, К=5, О=6, С=1, Ш=3$.
Подставляем значения в исходный пример:
$56350 + 56350 + 56350 = 169050$.
Проверка: КОШКА (56350) и СОБАКА (169050) соответствуют расшифровке. Равенство верное.
Ответ: $56350 + 56350 + 56350 = 169050$.

Решение 2

В этом решении буквы соответствуют следующим цифрам: $А=0, Б=2, К=5, О=7, С=1, Ш=3$.
Подставляем значения в исходный пример:
$57350 + 57350 + 57350 = 172050$.
Проверка: КОШКА (57350) и СОБАКА (172050) соответствуют расшифровке. Равенство верное.
Ответ: $57350 + 57350 + 57350 = 172050$.

4. Запиши в виде неправильной дроби числа:

а) $4\frac{1}{2}$, $2\frac{3}{7}$, $4\frac{9}{10}$, $9\frac{14}{15}$;

б) $7\frac{1}{8}$, $3\frac{4}{5}$, $1\frac{9}{17}$, $5\frac{3}{9}$.

Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть числа умножить на знаменатель его дробной части, к результату прибавить числитель дробной части и полученную сумму записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило можно записать в виде формулы: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

$4 \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{8+1}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$

$2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14+3}{7} = \frac{17}{7}$

Ответ: $\frac{17}{7}$

$4 \frac{9}{10} = \frac{4 \cdot 10 + 9}{10} = \frac{40+9}{10} = \frac{49}{10}$

Ответ: $\frac{49}{10}$

$9 \frac{14}{15} = \frac{9 \cdot 15 + 14}{15} = \frac{135+14}{15} = \frac{149}{15}$

Ответ: $\frac{149}{15}$

$7 \frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{56+1}{8} = \frac{57}{8}$

Ответ: $\frac{57}{8}$

$3 \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{15+4}{5} = \frac{19}{5}$

Ответ: $\frac{19}{5}$

$1 \frac{9}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 9}{17} = \frac{17+9}{17} = \frac{26}{17}$

Ответ: $\frac{26}{17}$

$5 \frac{3}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 3}{9} = \frac{45+3}{9} = \frac{48}{9}$

Ответ: $\frac{48}{9}$

5 Выдели целую часть из неправильной дроби и соедини линией с полученным ответом:

$\frac{18}{5}$$\frac{7}{5}$$\frac{14}{5}$$\frac{11}{5}$$\frac{9}{5}$

$1\frac{2}{5}$$2\frac{1}{5}$$3\frac{3}{5}$$1\frac{4}{5}$$2\frac{4}{5}$

Отметь указанные числа на числовом луче ($e = 5$ клеток).

Выдели целую часть из неправильной дроби и соедини линией с полученным ответом

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Результат от деления (неполное частное) будет целой частью, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений.

Выполним преобразование для каждой дроби:

• Для дроби $\frac{18}{5}$: делим $18$ на $5$. Получаем $3$ и $3$ в остатке. Таким образом, $\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.
• Для дроби $\frac{7}{5}$: делим $7$ на $5$. Получаем $1$ и $2$ в остатке. Таким образом, $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
• Для дроби $\frac{14}{5}$: делим $14$ на $5$. Получаем $2$ и $4$ в остатке. Таким образом, $\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
• Для дроби $\frac{11}{5}$: делим $11$ на $5$. Получаем $2$ и $1$ в остатке. Таким образом, $\frac{11}{5} = 2\frac{1}{5}$.
• Для дроби $\frac{9}{5}$: делим $9$ на $5$. Получаем $1$ и $4$ в остатке. Таким образом, $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Ответ: Пары для соединения: $\frac{18}{5}$ и $3\frac{3}{5}$; $\frac{7}{5}$ и $1\frac{2}{5}$; $\frac{14}{5}$ и $2\frac{4}{5}$; $\frac{11}{5}$ и $2\frac{1}{5}$; $\frac{9}{5}$ и $1\frac{4}{5}$.

Отметь указанные числа на числовом луче (e = 5 клеток)

В соответствии с условием, единичный отрезок $e$ на числовом луче равен 5 клеткам. Это значит, что расстояние между двумя соседними целыми числами (например, от 1 до 2) разделено на 5 равных частей (клеток), и каждая такая клетка соответствует $\frac{1}{5}$ единичного отрезка.

Чтобы отметить указанные числа на луче:

• Для числа $1\frac{2}{5}$ (равного $\frac{7}{5}$), находим на луче отметку $1$ и отсчитываем от неё 2 клетки вправо.
• Для числа $1\frac{4}{5}$ (равного $\frac{9}{5}$), отсчитываем от отметки $1$ четыре клетки вправо.
• Для числа $2\frac{1}{5}$ (равного $\frac{11}{5}$), отсчитываем от отметки $2$ одну клетку вправо.
• Для числа $2\frac{4}{5}$ (равного $\frac{14}{5}$), отсчитываем от отметки $2$ четыре клетки вправо.
• Для числа $3\frac{3}{5}$ (равного $\frac{18}{5}$), отсчитываем от отметки $3$ три клетки вправо.

Ниже представлен числовой луч с отмеченными на нём точками:

Ответ: Расположение чисел на числовом луче показано на рисунке выше.

6. Запиши частное чисел в виде смешанного числа:

$24 : 7; \quad 97 : 10; \quad 125 : 12; \quad 274 : 15; \quad 389 : 40.$

Чтобы записать частное чисел в виде смешанного числа, нужно делимое разделить на делитель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления станет числителем дробной части, а делитель — ее знаменателем.

24 : 7

Выполним деление числа $24$ на $7$ с остатком:

$24 \div 7 = 3$ (остаток $3$), так как $7 \cdot 3 + 3 = 21 + 3 = 24$.

Целая часть равна $3$, числитель дробной части равен $3$, а знаменатель равен $7$.

Получаем смешанное число $3\frac{3}{7}$.

Ответ: $3\frac{3}{7}$

97 : 10

Выполним деление числа $97$ на $10$ с остатком:

$97 \div 10 = 9$ (остаток $7$), так как $10 \cdot 9 + 7 = 90 + 7 = 97$.

Целая часть равна $9$, числитель дробной части равен $7$, а знаменатель равен $10$.

Получаем смешанное число $9\frac{7}{10}$.

Ответ: $9\frac{7}{10}$

125 : 12

Выполним деление числа $125$ на $12$ с остатком:

$125 \div 12 = 10$ (остаток $5$), так как $12 \cdot 10 + 5 = 120 + 5 = 125$.

Целая часть равна $10$, числитель дробной части равен $5$, а знаменатель равен $12$.

Получаем смешанное число $10\frac{5}{12}$.

Ответ: $10\frac{5}{12}$

274 : 15

Выполним деление числа $274$ на $15$ с остатком:

$274 \div 15 = 18$ (остаток $4$), так как $15 \cdot 18 + 4 = 270 + 4 = 274$.

Целая часть равна $18$, числитель дробной части равен $4$, а знаменатель равен $15$.

Получаем смешанное число $18\frac{4}{15}$.

Ответ: $18\frac{4}{15}$

389 : 40

Выполним деление числа $389$ на $40$ с остатком:

$389 \div 40 = 9$ (остаток $29$), так как $40 \cdot 9 + 29 = 360 + 29 = 389$.

Целая часть равна $9$, числитель дробной части равен $29$, а знаменатель равен $40$.

Получаем смешанное число $9\frac{29}{40}$.

Ответ: $9\frac{29}{40}$

7 Подчеркни лишнее:

Найди неизвестные операции и результаты операций:

Последовательность 1:

$\frac{12}{9}$ --> ? --> $\frac{19}{9}$ --> $-\frac{5}{9}$ --> ? --> ? --> ? --> $-\frac{6}{9}$ --> ? --> $+\frac{3}{9}$ --> $\frac{8}{9}$

Последовательность 2:

$\frac{7}{11}$ --> $-\frac{4}{11}$ --> ? --> ? --> $\frac{12}{11}$ --> ? --> $\frac{20}{11}$ --> ? --> ? --> $+\frac{7}{11}$ --> $\frac{10}{11}$

Верхняя цепочка

Для нахождения неизвестных операций и результатов в данной цепочке будем выполнять вычисления по шагам. В некоторых случаях для нахождения неизвестного будем двигаться в обратном порядке.

1. Первый неизвестный элемент — это операция между $\frac{12}{9}$ и $\frac{19}{9}$. Чтобы из $\frac{12}{9}$ получить $\frac{19}{9}$, нужно к первому числу прибавить некоторое число. Найдём его: $\frac{19}{9} - \frac{12}{9} = \frac{19-12}{9} = \frac{7}{9}$. Значит, первая неизвестная операция — это $+ \frac{7}{9}$.

2. Второй неизвестный элемент — это результат вычитания: $\frac{19}{9} - \frac{5}{9} = \frac{19-5}{9} = \frac{14}{9}$.

3. Чтобы найти следующие неизвестные, удобнее начать с конца цепочки. Последнее действие в цепочке: неизвестное число $+ \frac{3}{9} = \frac{8}{9}$. Чтобы найти это неизвестное число, выполним вычитание: $\frac{8}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$. Это результат, который должен быть в последнем кружке.

4. Двигаемся дальше назад. Неизвестное число $- \frac{6}{9} = \frac{5}{9}$. Чтобы найти это неизвестное число, выполним сложение: $\frac{5}{9} + \frac{6}{9} = \frac{11}{9}$. Это результат, который должен быть в предпоследнем кружке.

5. Теперь мы можем найти неизвестную операцию между $\frac{14}{9}$ (найдено в шаге 2) и $\frac{11}{9}$ (найдено в шаге 4). Чтобы из $\frac{14}{9}$ получить $\frac{11}{9}$, нужно выполнить вычитание: $\frac{14}{9} - \frac{11}{9} = \frac{3}{9}$. Значит, искомая операция — это $- \frac{3}{9}$.

Таким образом, мы нашли все пропущенные элементы. Проверим всю цепочку: $\frac{12}{9} \xrightarrow{+ \frac{7}{9}} \frac{19}{9} \xrightarrow{- \frac{5}{9}} \frac{14}{9} \xrightarrow{- \frac{3}{9}} \frac{11}{9} \xrightarrow{- \frac{6}{9}} \frac{5}{9} \xrightarrow{+ \frac{3}{9}} \frac{8}{9}$. Все вычисления верны.

Ответ: Пропущенные элементы в верхней цепочке по порядку: $+ \frac{7}{9}$; $\frac{14}{9}$; $- \frac{3}{9}$; $\frac{11}{9}$; $\frac{5}{9}$.

Нижняя цепочка

Решим вторую цепочку аналогичным образом, шаг за шагом.

1. Первый неизвестный элемент — результат вычитания: $\frac{7}{11} - \frac{4}{11} = \frac{7-4}{11} = \frac{3}{11}$.

2. Второй неизвестный элемент — это операция между $\frac{3}{11}$ и $\frac{12}{11}$. Чтобы из $\frac{3}{11}$ получить $\frac{12}{11}$, нужно выполнить сложение: $\frac{12}{11} - \frac{3}{11} = \frac{9}{11}$. Значит, операция — $+ \frac{9}{11}$.

3. Третий неизвестный элемент — это операция между $\frac{12}{11}$ и $\frac{20}{11}$. Это также сложение: $\frac{20}{11} - \frac{12}{11} = \frac{8}{11}$. Значит, операция — $+ \frac{8}{11}$.

4. Чтобы найти последние два элемента, начнем с конца. Последнее действие: Неизвестное число $+ \frac{7}{11} = \frac{10}{11}$. Находим это неизвестное число: $\frac{10}{11} - \frac{7}{11} = \frac{3}{11}$. Это результат, который должен быть в последнем кружке.

5. Теперь найдем последнюю неизвестную операцию. Она стоит между $\frac{20}{11}$ и $\frac{3}{11}$. Чтобы из $\frac{20}{11}$ получить $\frac{3}{11}$, нужно выполнить вычитание: $\frac{20}{11} - \frac{3}{11} = \frac{17}{11}$. Значит, операция — $- \frac{17}{11}$.

Проверим всю цепочку: $\frac{7}{11} \xrightarrow{- \frac{4}{11}} \frac{3}{11} \xrightarrow{+ \frac{9}{11}} \frac{12}{11} \xrightarrow{+ \frac{8}{11}} \frac{20}{11} \xrightarrow{- \frac{17}{11}} \frac{3}{11} \xrightarrow{+ \frac{7}{11}} \frac{10}{11}$. Все вычисления верны.

Ответ: Пропущенные элементы в нижней цепочке по порядку: $\frac{3}{11}$; $+ \frac{9}{11}$; $+ \frac{8}{11}$; $- \frac{17}{11}$; $\frac{3}{11}$.

1 а) Начерти произвольный луч $OK$. Затем проведи луч $OM$ и измерь с помощью транспортира величину получившегося угла $MOK$. Сделай записи.

б) Попробуй построить угол $MOK$, если задана его величина: $\angle MOK = 50^\circ$. Составь свой алгоритм и сравни его с текстом учебника.

Транспортир применяют не только для измерения, но и для построения углов. Построим, например, угол $60^\circ$.

1. Проведём произвольный луч $OA$.

2. Приложим транспортир так, чтобы точка $O$ совпала с центром транспортира, а луч $OA$ проходил через начало отсчёта на шкале.

3. Найдём на этой же шкале $60^\circ$ и поставим точку $B$.

4. Проведём луч $OB$.

Градусная мера полученного угла $AOB$ равна $60^\circ$.

$$\angle AOB = 60^\circ$$

а)

Чтобы начертить и измерить произвольный угол $\angle MOK$, нужно выполнить следующие действия:

1. Начертим на листе бумаги с помощью линейки произвольный луч OK, отметив его начало в точке O.
2. Из той же точки O проведём ещё один произвольный луч OM. Угол, образованный этими двумя лучами, и есть $\angle MOK$.
3. Для измерения величины полученного угла воспользуемся транспортиром.
   • Совместим центр транспортира с вершиной угла — точкой O.
   • Повернём транспортир так, чтобы луч OK совпал с линией, указывающей на $0^\circ$ на его шкале.
   • Посмотрим, на какое деление на той же шкале указывает луч OM. Предположим, что в нашем случае это деление $75^\circ$.
4. Запишем результат измерения.

Запись: $\angle MOK = 75^\circ$.

Ответ: Величина построенного угла $\angle MOK = 75^\circ$. (Так как угол строился произвольно, ваше значение может быть другим).

б)

Чтобы построить угол $\angle MOK$ с заданной величиной $50^\circ$, составим следующий алгоритм.

Алгоритм построения угла $\angle MOK = 50^\circ$:

1. Проведём произвольный луч OK. Это будет одна из сторон нашего угла.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (вершиной угла) — точкой O.
3. Повернём транспортир так, чтобы луч OK проходил через отметку $0^\circ$ на его шкале.
4. Найдём на той же шкале транспортира отметку $50^\circ$ и поставим карандашом точку, назовём её M.
5. Уберём транспортир и с помощью линейки проведём луч OM, соединяющий точку O и точку M.

Полученный угол $\angle MOK$ и будет искомым углом величиной $50^\circ$.

Сравнение с текстом учебника:

Алгоритм, представленный в учебнике для построения угла в $60^\circ$, и составленный нами алгоритм для угла в $50^\circ$ по сути идентичны. Они состоят из одних и тех же последовательных шагов: построение начального луча, совмещение транспортира с вершиной и лучом, нахождение нужной отметки на шкале и построение второго луча. Различаются лишь буквенные обозначения лучей и конкретное числовое значение угла ($60^\circ$ в учебнике против $50^\circ$ в задании).

Ответ: Алгоритм построения угла $\angle MOK = 50^\circ$ полностью аналогичен алгоритму из учебника и состоит из следующих шагов: 1. Построить луч OK. 2. Приложить транспортир центром к точке O так, чтобы луч OK прошел через отметку $0^\circ$. 3. Найти на шкале транспортира $50^\circ$ и поставить точку M. 4. Провести луч OM. Полученный угол $\angle MOK$ равен $50^\circ$.

2 От луча MK отложи угол, равный $15^\circ$. Запиши его обозначение. Сколько решений имеет эта задача?

От луча МК отложи угол, равный 15°. Запиши его обозначение.
Чтобы отложить угол от луча МК, необходимо принять точку М за вершину угла, а луч МК – за одну из его сторон. С помощью транспортира, приложив его центр к точке М так, чтобы его нулевая отметка совпала с лучом МК, находим на шкале деление, соответствующее 15°. Отмечаем в этом месте точку, например N, и проводим через нее луч MN из вершины М.
Полученный угол, образованный лучами МК и MN, будет равен 15°. Обозначение этого угла, где буква вершины всегда стоит в середине, будет $\angle KMN$ или $\angle NMK$.
Ответ: $\angle KMN = 15^\circ$.

Сколько решений имеет эта задача?
Прямая, на которой лежит луч МК, делит плоскость на две полуплоскости. Мы можем отложить угол 15° от луча МК в одной полуплоскости (например, "вверх" от луча) и получить один угол. Также мы можем отложить угол 15° в другой полуплоскости (например, "вниз" от луча) и получить второй, симметричный первому, угол. Оба эти угла будут удовлетворять условию задачи. Следовательно, задача имеет два решения.
Ответ: 2 решения.