Страница 12, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

9 Реши уравнения. Что ты замечаешь?

$x + 389 = 2076;$ $x - 1687 = 389;$ $2076 - x = 1687.$

Решим каждое уравнение по порядку.

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($2076$) вычесть известное слагаемое ($389$).

$x = 2076 - 389$

$x = 1687$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$1687 + 389 = 2076$

$2076 = 2076$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 1687$.

Здесь $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ($389$) прибавить вычитаемое ($1687$).

$x = 389 + 1687$

$x = 2076$

Проверим решение:

$2076 - 1687 = 389$

$389 = 389$

Равенство верное.

Ответ: $x = 2076$.

В этом уравнении $x$ — неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($2076$) вычесть разность ($1687$).

$x = 2076 - 1687$

$x = 389$

Проверим решение:

$2076 - 389 = 1687$

$1687 = 1687$

Равенство верное.

Ответ: $x = 389$.

Можно заметить, что все три уравнения используют одни и те же три числа: $389$, $1687$ и $2076$. Эти числа связаны между собой одним и тем же математическим правилом, основанным на сложении и вычитании: $1687 + 389 = 2076$. Каждое уравнение представляет собой задачу на нахождение одного из этих трёх чисел, когда два других известны. Корень одного уравнения является одним из чисел в двух других уравнениях.

10 Заполни пропуски:

$ \begin{array}{r} 2\square7 \\ \times 6\square2\square \\ \hline 43\square \\ \square1\phantom{\square} \\ \hline \square\square\square\square0 \end{array} $

$ \begin{array}{r} 3\square05\square \\ \times 8\square\square \\ \hline \square\square\square45 \\ \square96\square\square \\ \hline 2\square\square\square\square0 \end{array} $

$\square40\square\square0$ $ | \underline{\text{ }6} $
$\phantom{\square40\square\square0}$ $ | \quad \square\square\square3\square $

$ \begin{array}{r} \square40\square\square0 \\ - 5\square \\ \hline \phantom{\square}1\square \\ - \square\square \\ \hline \phantom{\square}0 \end{array} $

В данном примере, по всей видимости, допущена опечатка. Произведение числа, оканчивающегося на 7, и числа, оканчивающегося на 2, должно оканчиваться на 4 ($7 \times 2 = 14$). Однако в итоговом результате последняя цифра — 0. Если предположить, что в ответе последняя цифра должна быть 4, то пример решается следующим образом.

1. Обозначим неизвестные цифры: $2\underline{A}7 \times 6\underline{B}2$. Первое неполное произведение (умножение на 2) равно $43\underline{C}$.
$2\underline{A}7 \times 2 = 43\underline{C}$.
$7 \times 2 = 14$. Значит, последняя цифра $C$ равна 4, и мы переносим 1 в следующий разряд.
$A \times 2 + 1$ должно оканчиваться на 3. Это возможно, если $A \times 2$ оканчивается на 2. Подходят $A=1$ или $A=6$.
Если $A=1$: $1 \times 2 + 1 = 3$. Далее, $2 \times 2 = 4$. Получаем 434. Это соответствует условию.
Если $A=6$: $6 \times 2 + 1 = 13$. Переносим 1. Далее, $2 \times 2 + 1 = 5$. Получаем 534, что не соответствует $43\underline{C}$.
Следовательно, первая недостающая цифра $A=1$, а первый множитель — 217. Первое неполное произведение — 434.

2. Второе неполное произведение (умножение на $B$) выглядит как $\underline{D}\underline{E}1$.
$217 \times B = \underline{D}\underline{E}1$.
$7 \times B$ должно оканчиваться на 1. Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию — $B=3$ ($7 \times 3 = 21$).
Проверяем: $217 \times 3 = 651$. Это соответствует $\underline{D}\underline{E}1$.
Следовательно, вторая недостающая цифра $B=3$, а второй множитель — 632.

3. Третье неполное произведение — это $217 \times 6 = 1302$.

4. Складываем неполные произведения для получения окончательного ответа:
$434 + 6510 + 130200 = 137144$.

 217 × 632 --------- 434 651 +1302 --------- 137144 

Ответ:

 217 × 632 --------- 434 651  1302   --------- 137144 

Данный пример содержит внутренние противоречия, которые делают его нерешаемым в рамках стандартной арифметики.
1. Первое неполное произведение ($\underline{A}\underline{B}\underline{C}\underline{D}45$) оканчивается на 5. Это означает, что итоговое произведение также должно оканчиваться на 5 (так как это результат умножения на единицы второго множителя). Однако итоговый результат ($2\underline{E}\underline{F}\underline{G}\underline{H}\underline{I}\underline{J}0$) оканчивается на 0. Это первое противоречие.
2. Попытаемся найти множители, которые могли бы дать неполное произведение, оканчивающееся на 45. Пусть первый множитель оканчивается на $...05\underline{B}$, а цифра единиц второго множителя — $\underline{E}$. Тогда $(...05\underline{B}) \times \underline{E}$ должно оканчиваться на ...45.
- Произведение $B \times E$ должно оканчиваться на 5.
- Произведение $5 \times E$ плюс перенос из предыдущего разряда должно оканчиваться на 4.
Детальный перебор всех возможных пар цифр $B$ и $E$ показывает, что ни одна пара не удовлетворяет этому условию. Например, если $B=5, E=3$, то $5 \times 3=15$ (пишем 5, переносим 1). Далее $5 \times 3 + 1 = 16$. Получается окончание ...65, а не ...45. Никакая другая комбинация не дает нужного результата.

Ответ: Задачу решить невозможно из-за противоречий в условии.

Этот пример также содержит противоречия, которые не позволяют решить его стандартным методом деления столбиком.
Основное противоречие заключается в первом шаге деления.
1. Из делимого ($\underline{A}40...$) вычитается число $5\underline{B}$. Чтобы получить число $5\underline{B}$, нужно некоторую цифру частного умножить на делитель 6. Единственная цифра, которая при умножении на 6 дает результат в диапазоне 50-59, — это 9 ($9 \times 6 = 54$). Значит, первая цифра частного должна быть 9, а вычитаемое число — 54.
2. Вычитание $54$ производится из первых двух цифр делимого, $\underline{A}4$. Результат вычитания, судя по расположению, равен $1\underline{C}$ (число от 10 до 19). То есть, $\underline{A}4 - 54 = 1\underline{C}$. Это возможно, только если $\underline{A}4$ — это число от 64 до 73. Например, $64 - 54 = 10$.
3. Здесь возникает противоречие: при делении столбиком остаток от деления всегда должен быть меньше делителя. В нашем случае остаток (10) больше делителя (6). Это означает, что первая цифра частного была выбрана неверно (она должна быть больше). Но цифра частного не может быть больше 9.
Это логическое противоречие делает задачу нерешаемой в том виде, как она представлена. Вероятно, в условии допущена опечатка (в делителе, в вычитаемом числе или в структуре самого примера).

Ответ: Задачу решить невозможно из-за противоречий в условии.

11 БЛИЦтурнир.

а) Юре $a$ лет, а Оля на 6 лет старше. Во сколько раз Юра младше Оли?

б) Маме $b$ лет, а сын в 4 раза младше. На сколько лет мама старше сына?

в) Мише $c$ лет, а его сестре $d$ лет. Во сколько раз Миша будет старше сестры через 3 года?

г) Кате, Даше и Наташе вместе $x$ лет. Кате $n$ лет, а Даша в 2 раза младше Кати. Сколько лет Наташе?

а) Сначала найдём возраст Оли. По условию, Юре $a$ лет, а Оля на 6 лет старше. Значит, возраст Оли равен $a+6$ лет. Чтобы найти, во сколько раз Юра младше Оли, необходимо разделить возраст Оли на возраст Юры. Получаем следующее выражение: $(a+6):a$. Ответ: в $(a+6):a$ раз.

б) Сначала определим возраст сына. По условию, маме $b$ лет, а сын в 4 раза младше. Следовательно, возраст сына составляет $b:4$ лет. Далее, чтобы найти, на сколько лет мама старше сына, нужно из возраста мамы вычесть возраст сына. Получаем выражение: $b-b:4$. Ответ: на $b-b:4$ лет.

в) Сначала вычислим, сколько лет будет Мише и его сестре через 3 года. В настоящее время Мише $c$ лет, а его сестре $d$ лет. Через 3 года возраст Миши будет $c+3$ лет, а возраст его сестры — $d+3$ лет. Чтобы определить, во сколько раз Миша будет старше сестры, нужно разделить будущий возраст Миши на будущий возраст сестры. Получаем выражение: $(c+3):(d+3)$. Ответ: в $(c+3):(d+3)$ раз.

г) Сначала найдём возраст Даши. По условию, Кате $n$ лет, а Даша в 2 раза младше Кати, значит, возраст Даши равен $n:2$ лет. Затем найдём суммарный возраст Кати и Даши, сложив их возрасты: $n+n:2$. Наконец, чтобы найти возраст Наташи, нужно из общего возраста трёх девочек ($x$ лет) вычесть суммарный возраст Кати и Даши. Получаем выражение для возраста Наташи: $x-(n+n:2)$. Ответ: $x-(n+n:2)$ лет.

12 За день на фабрике изготовили 1240 м ситца, шерсти — в 4 раза меньше, чем ситца, шёлка на 490 м больше, чем шерсти, а полотна столько, сколько шерсти и шёлка вместе. Сколько ткани изготовили на фабрике за этот день?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. 1. Найдём количество изготовленной шерсти.

   В условии сказано, что шерсти изготовили в 4 раза меньше, чем ситца. Количество ситца составляет 1240 м. Чтобы найти количество шерсти, разделим количество ситца на 4.

   $1240 : 4 = 310$ (м) – шерсти.

2. 2. Найдём количество изготовленного шёлка.

   Известно, что шёлка изготовили на 490 м больше, чем шерсти. Мы уже знаем, что шерсти было 310 м. Чтобы найти количество шёлка, прибавим 490 м к количеству шерсти.

   $310 + 490 = 800$ (м) – шёлка.

3. 3. Найдём количество изготовленного полотна.

   По условию, полотна изготовили столько же, сколько шерсти и шёлка вместе. Сложим количество шерсти (310 м) и шёлка (800 м).

   $310 + 800 = 1110$ (м) – полотна.

4. 4. Найдём общее количество ткани, изготовленной на фабрике.

   Чтобы узнать, сколько всего ткани изготовили, нужно сложить количество всех видов ткани: ситца, шерсти, шёлка и полотна.

   $1240 + 310 + 800 + 1110 = 3460$ (м).

Ответ: за этот день на фабрике изготовили 3460 м ткани.

13 a) $81308 - 308 \cdot (8856 - 8649) + 54600 : 6;$

* б) $(52 \cdot 390 - 8765 - 4098) \cdot (1228 : 4 - 207).$

а) $81308 - 308 \cdot (8856 - 8649) + 54600 : 6$
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).
1. Выполним действие в скобках:
$8856 - 8649 = 207$
2. Теперь выполним умножение:
$308 \cdot 207 = 63756$
3. Выполним деление:
$54600 : 6 = 9100$
4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание и сложение по порядку:
$81308 - 63756 + 9100 = 17552 + 9100 = 26652$
Ответ: 26652

б) $(52 \cdot 390 - 8765 - 4098) \cdot (1228 : 4 - 207)$
Сначала необходимо вычислить значения в каждой из скобок, а затем перемножить полученные результаты.
Вычислим значение в первой скобке:
1. Сначала умножение:
$52 \cdot 390 = 20280$
2. Затем вычитание по порядку:
$20280 - 8765 = 11515$
$11515 - 4098 = 7417$
Теперь вычислим значение во второй скобке:
3. Сначала деление:
$1228 : 4 = 307$
4. Затем вычитание:
$307 - 207 = 100$
Наконец, перемножим результаты, полученные из скобок:
5. $7417 \cdot 100 = 741700$
Ответ: 741700

14 Найди множество решений неравенства $2 < y < 5$. Запиши другие неравенства, имеющие то же самое множество решений.

* Сделай рисунки.

Найди множество решений неравенства $2 < y < 5$

Данное двойное неравенство $2 < y < 5$ представляет собой систему из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$y > 2$

$y < 5$

Решением этой системы являются все числа, которые больше 2 и одновременно меньше 5. Это все числа, расположенные на числовой прямой между 2 и 5. Сами числа 2 и 5 в множество решений не входят, так как неравенство строгое (используются знаки $<$ и $>$, а не $\le$ и $\ge$).

Такое множество чисел называется открытым числовым промежутком (или интервалом) и записывается как $(2; 5)$.

Ответ: Множеством решений неравенства является числовой промежуток $y \in (2; 5)$.

Запиши другие неравенства, имеющие то же самое множество решений

Чтобы получить другие неравенства с тем же множеством решений, можно выполнить одинаковые арифметические операции со всеми тремя частями исходного неравенства. Главное правило: при умножении или делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

Вот несколько примеров:

• Прибавим число 10 ко всем частям:
  $2 + 10 < y + 10 < 5 + 10$
  $12 < y + 10 < 15$
• Вычтем число 2 из всех частей:
  $2 - 2 < y - 2 < 5 - 2$
  $0 < y - 2 < 3$
• Умножим все части на положительное число 3:
  $2 \cdot 3 < 3y < 5 \cdot 3$
  $6 < 3y < 15$
• Умножим все части на отрицательное число -1 и сменим знаки неравенства:
  $2 \cdot (-1) > y \cdot (-1) > 5 \cdot (-1)$
  $-2 > -y > -5$
  или в более привычном виде: $-5 < -y < -2$

Ответ: Примеры других неравенств с тем же множеством решений: $12 < y + 10 < 15$; $0 < y - 2 < 3$; $6 < 3y < 15$; $-5 < -y < -2$.

Сделай рисунки

Множество решений $(2; 5)$ можно изобразить на числовой прямой. Точки 2 и 5 не входят в решение, поэтому их отмечают "выколотыми" или пустыми кружками. Область между этими точками является решением и заштриховывается.

Ответ: Рисунок, изображающий множество решений $y \in (2; 5)$, представлен выше.

15 Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 3, 5, 7, 9 (каждый множитель можно использовать не более одного раза, порядок множителей не принимается во внимание)?

Для того чтобы произведение было кратным 10, оно должно делиться одновременно и на 2, и на 5, так как $10 = 2 \times 5$. В исходном наборе множителей {2, 3, 5, 7, 9} присутствуют оба этих числа.

Следовательно, каждое искомое произведение должно в обязательном порядке содержать множители 2 и 5. Остальные множители из набора, а именно {3, 7, 9}, могут быть либо включены в произведение, либо нет. Поскольку порядок множителей не имеет значения и каждый используется не более одного раза, задача сводится к нахождению количества всех возможных подмножеств множества {3, 7, 9}.

Количество элементов в множестве {3, 7, 9} равно $n=3$. Число всех возможных подмножеств для множества, состоящего из $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. В данном случае это будет $2^3 = 8$.

Каждое из этих 8 подмножеств (включая пустое множество, которое соответствует произведению только из обязательных множителей $2 \times 5$) в сочетании с множителями 2 и 5 даст уникальное произведение, кратное 10.

Ответ: 8

11 Реши уравнения с комментированием и сделай проверку:

Уравнение 1:

$x + \frac{5}{36} = \frac{13}{36}$

Уравнение 2:

$y - \frac{16}{49} = \frac{27}{49}$

Уравнение 3:

$\frac{8}{21} + k = \frac{17}{21}$

Уравнение 4:

$\frac{48}{56} - t = \frac{39}{56}$

$x + \frac{5}{36} = \frac{13}{36}$

В данном уравнении неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = \frac{13}{36} - \frac{5}{36}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$x = \frac{13 - 5}{36} = \frac{8}{36}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя 8 и знаменателя 36 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$x = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$

Проверка:

Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\frac{2}{9} + \frac{5}{36} = \frac{13}{36}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби равен $36 \div 9 = 4$.

$\frac{2 \times 4}{9 \times 4} + \frac{5}{36} = \frac{8}{36} + \frac{5}{36} = \frac{8+5}{36} = \frac{13}{36}$

$\frac{13}{36} = \frac{13}{36}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = \frac{2}{9}$

$y - \frac{16}{49} = \frac{27}{49}$

В данном уравнении неизвестное $y$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$y = \frac{27}{49} + \frac{16}{49}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем числители:

$y = \frac{27 + 16}{49} = \frac{43}{49}$

Дробь $\frac{43}{49}$ является несократимой, так как 43 — простое число.

Проверка:

Подставим найденное значение $y$ в исходное уравнение:

$\frac{43}{49} - \frac{16}{49} = \frac{43 - 16}{49} = \frac{27}{49}$

$\frac{27}{49} = \frac{27}{49}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $y = \frac{43}{49}$

$\frac{8}{21} + k = \frac{17}{21}$

В данном уравнении неизвестное $k$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$k = \frac{17}{21} - \frac{8}{21}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$k = \frac{17 - 8}{21} = \frac{9}{21}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя 9 и знаменателя 21 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$k = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac{3}{7}$

Проверка:

Подставим найденное значение $k$ в исходное уравнение:

$\frac{8}{21} + \frac{3}{7} = \frac{17}{21}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 21. Дополнительный множитель для второй дроби равен $21 \div 7 = 3$.

$\frac{8}{21} + \frac{3 \times 3}{7 \times 3} = \frac{8}{21} + \frac{9}{21} = \frac{8+9}{21} = \frac{17}{21}$

$\frac{17}{21} = \frac{17}{21}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $k = \frac{3}{7}$

$\frac{48}{56} - t = \frac{39}{56}$

В данном уравнении неизвестное $t$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$t = \frac{48}{56} - \frac{39}{56}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$t = \frac{48 - 39}{56} = \frac{9}{56}$

Дробь $\frac{9}{56}$ является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.

Проверка:

Подставим найденное значение $t$ в исходное уравнение:

$\frac{48}{56} - \frac{9}{56} = \frac{48 - 9}{56} = \frac{39}{56}$

$\frac{39}{56} = \frac{39}{56}$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $t = \frac{9}{56}$

12 БЛИЦтурнир.

Составь выражение и найди его значение:

а) У Риты было 7 вафель, 4 из них она съела. Какую часть вафель она съела?

б) В наборе 16 конфет. $ \frac{3}{8} $ всех конфет составляют шоколадные конфеты. Сколько шоколадных конфет в наборе?

в) На тарелке лежит 10 пирожков, что составляет $ \frac{2}{5} $ всех испечённых пирожков. Сколько всего испекли пирожков?

а) Всего у Риты было 7 вафель. Это общее количество, которое принимается за целое. Рита съела 4 вафли. Чтобы выразить, какую часть от общего количества она съела, нужно составить дробь, где в числителе будет количество съеденных вафель, а в знаменателе — общее количество вафель. Выражение: $4 \div 7$. Значение выражения в виде дроби: $\frac{4}{7}$.
Ответ: Рита съела $\frac{4}{7}$ всех вафель.

б) В наборе 16 конфет, и нам нужно найти $\frac{3}{8}$ от этого числа. Чтобы найти часть от целого, нужно целое число (16) умножить на дробь ($\frac{3}{8}$). Выражение: $16 \cdot \frac{3}{8}$. Найдём его значение: $16 \cdot \frac{3}{8} = \frac{16 \cdot 3}{8} = \frac{48}{8} = 6$.
Ответ: 6 шоколадных конфет в наборе.

в) Известно, что 10 пирожков составляют $\frac{2}{5}$ от всех испечённых пирожков. Это задача на нахождение целого по его части. Чтобы найти общее количество пирожков, нужно число, соответствующее части (10), разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{2}{5}$). Выражение: $10 \div \frac{2}{5}$. Найдём его значение: $10 \div \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
Ответ: всего испекли 25 пирожков.

13 Буратино решил несколько задач. Ему после этого осталось решить $d$ задач, что в 3 раза больше, чем он решил. Сколько всего задач надо было решить Буратино? Составь выражение и найди его значение при $d = 6$.

Для того чтобы решить задачу, последовательно выполним все условия.

1. Составим выражение.

Пусть $x$ — это количество задач, которые Буратино уже решил.

Из условия задачи известно, что ему осталось решить $d$ задач. Также сказано, что количество оставшихся задач ($d$) в 3 раза больше, чем количество решенных ($x$).

Это можно записать в виде математического равенства:

$d = 3 \cdot x$

Чтобы найти общее количество задач, нужно знать, сколько задач было решено и сколько осталось. Выразим количество решенных задач $x$ через $d$:

$x = d/3$

Общее количество задач — это сумма решенных задач и оставшихся задач. Составим выражение:

Общее количество = (решенные задачи) + (оставшиеся задачи) = $x + d$

Теперь подставим в это выражение найденное значение $x = d/3$:

Общее количество = $d/3 + d$

Таким образом, мы получили выражение для нахождения общего количества задач.

2. Найдем значение выражения при $d=6$.

Теперь необходимо найти значение полученного выражения при $d = 6$. Подставим это значение в выражение:

$6/3 + 6$

Выполним вычисления:

$6/3 + 6 = 2 + 6 = 8$

Следовательно, всего Буратино надо было решить 8 задач.

Ответ: выражение для общего количества задач: $d/3 + d$; при $d=6$ значение выражения равно 8.

14 «Числовой кроссворд».

Реши примеры и запиши ответы в клетки кроссворда.

По горизонтали:

а) $7003204 - 435926$

б) $40320 : 672$

в) $357992 : 4904$

г) $590 \cdot 5047$

По вертикали:

а) $564676 : 938$

д) $527809 + 36896$

е) $460015 - 36296$

ж) $411510 : 473$

Для решения числового кроссворда необходимо выполнить все арифметические действия, указанные в условиях. Сначала решим все примеры по горизонтали и по вертикали.

По горизонтали

а) $7\ 003\ 204 - 435\ 926$

Выполним вычитание столбиком:

 7003204 - 435926 ----------- 6567278 

Ответ: 6567278

б) $40\ 320 : 672$

Чтобы разделить $40320$ на $672$, заметим, что $4032 : 672 = 6$. Так как в делимом есть еще один ноль, частное будет в 10 раз больше.

$40320 : 672 = 60$

Ответ: 60

в) $357\ 992 : 4904$

Выполним деление столбиком:

 357992 | 4904 -34328 |----- ------ | 73 14712 -14712 ------ 0 

Ответ: 73

г) $590 \cdot 5047$

Выполним умножение столбиком:

 5047 x 590 ------ 0000 45423 25235 ---------- 2977730 

Ответ: 2977730

По вертикали

а) $564\ 676 : 938$

Выполним деление столбиком:

 564676 | 938 -5628 |---- ---- | 602 187 -0 --- 1876 -1876 ----- 0 

Ответ: 602

д) $527\ 809 + 36\ 896$

Выполним сложение столбиком:

 527809 + 36896 --------- 564705 

Ответ: 564705

е) $460\ 015 - 36\ 296$

Выполним вычитание столбиком:

 460015 - 36296 --------- 423719 

Ответ: 423719

ж) $411\ 510 : 473$

Выполним деление столбиком:

 411510 | 473 -3784 |---- ---- | 870 3311 -3311 ----- 00 -0 -- 0 

Ответ: 870

Заполнение кроссворда

Теперь попытаемся вписать полученные ответы в сетку кроссворда. В процессе возникают противоречия в ячейках, где пересекаются горизонтальные и вертикальные числа.

• Пересечение а-горизонталь и е-вертикаль: Четвертая цифра в ответе а) по горизонтали ($656\underline{7}278$) должна совпадать с первой цифрой ответа е) по вертикали ($\underline{4}23719$). Однако $7 \neq 4$.
• Пересечение а-вертикаль и б-горизонталь: Третья цифра в ответе а) по вертикали ($60\underline{2}$) должна совпадать с первой цифрой ответа б) по горизонтали ($\underline{6}0$). Однако $2 \neq 6$.
• Пересечение г-горизонталь и д-вертикаль: Вторая цифра в ответе г) по горизонтали ($2\underline{9}77730$) должна совпадать с пятой цифрой ответа д) по вертикали ($5647\underline{0}5$). Однако $9 \neq 0$.

Наличие множественных несовпадений на пересечениях указывает на ошибку в условии задачи. Все вычисления выполнены верно, но ответы не могут быть вписаны в предложенную сетку кроссворда.

15* Продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:

a) $\frac{2}{19}$, $\frac{6}{24}$, $\frac{18}{29}$, ...

б) $\frac{7}{15}$, $\frac{17}{105}$, $\frac{27}{1005}$, ...

а) Проанализируем последовательности числителей и знаменателей отдельно.
Последовательность числителей: $2, 6, 18, ...$ . Каждый следующий член этой последовательности получается путем умножения предыдущего на $3$:
$2 \cdot 3 = 6$
$6 \cdot 3 = 18$
Следовательно, следующие два числителя будут: $18 \cdot 3 = 54$ и $54 \cdot 3 = 162$.
Последовательность знаменателей: $19, 24, 29, ...$ . Каждый следующий член этой последовательности получается путем прибавления $5$ к предыдущему:
$19 + 5 = 24$
$24 + 5 = 29$
Следовательно, следующие два знаменателя будут: $29 + 5 = 34$ и $34 + 5 = 39$.
Таким образом, следующие два числа в ряду: $\frac{54}{34}$ и $\frac{162}{39}$.
Ответ: $\frac{54}{34}, \frac{162}{39}$.

б) Проанализируем последовательности числителей и знаменателей отдельно.
Последовательность числителей: $7, 17, 27, ...$ . Это арифметическая прогрессия, где к каждому члену прибавляется $10$:
$7 + 10 = 17$
$17 + 10 = 27$
Следовательно, следующие два числителя будут: $27 + 10 = 37$ и $37 + 10 = 47$.
Последовательность знаменателей: $15, 105, 1005, ...$ . Можно заметить, что $n$-ый член этой последовательности можно найти по формуле $10^n + 5$:
Первый член: $10^1 + 5 = 15$
Второй член: $10^2 + 5 = 105$
Третий член: $10^3 + 5 = 1005$
Следовательно, следующие два знаменателя будут: $10^4 + 5 = 10005$ и $10^5 + 5 = 100005$.
Таким образом, следующие два числа в ряду: $\frac{37}{10005}$ и $\frac{47}{100005}$.
Ответ: $\frac{37}{10005}, \frac{47}{100005}$.

12 БЛИЦтурнир.

a) Почтальону надо разнести 20 писем, а он разнёс ещё только $a$ писем. Какую часть всех писем он разнёс? $\frac{a}{20}$

б) Рокки нажарил $b$ сырных лепешек. За ужином съели 8 лепешек. Какую часть лепешек съели за ужином? $\frac{8}{b}$

в) Винни-Пух съел $n$ горшочков мёда, а Пятачок — $m$ горшочков. Какую часть мёда съели Винни и Пятачок вместе, если всего было $c$ горшочков? $\frac{n+m}{c}$

г) К Кошке пришло 10 гостей, а пили молоко только $y$ гостей. Какая часть всех гостей не пила молоко? $\frac{10-y}{10}$

а) Чтобы найти, какую часть от общего количества писем разнёс почтальон, необходимо разделить количество разнесённых писем на общее количество писем. Всего писем было 20, а разнёс почтальон $a$ писем. Таким образом, искомая часть выражается дробью.
Ответ: $\frac{a}{20}$

б) Общее количество сырных лепешек равно $b$. За ужином было съедено 8 лепешек. Чтобы определить, какую часть от всех лепешек съели, нужно количество съеденных лепешек разделить на их общее количество.
Ответ: $\frac{8}{b}$

в) Сначала нужно найти общее количество горшочков мёда, которые съели Винни-Пух и Пятачок вместе. Для этого сложим количество горшочков, съеденных каждым из них: $n + m$. Всего было $c$ горшочков мёда. Чтобы найти, какую часть мёда они съели, нужно разделить количество съеденных ими горшочков на общее количество горшочков.
Ответ: $\frac{n + m}{c}$

г) Всего было 10 гостей. Из них $y$ гостей пили молоко. Чтобы найти количество гостей, которые не пили молоко, нужно из общего числа гостей вычесть число тех, кто пил молоко. Это будет $10 - y$ гостей. Чтобы найти, какая часть всех гостей не пила молоко, нужно это количество разделить на общее число гостей.
Ответ: $\frac{10 - y}{10}$

13 Расположи ответы примеров по возрастанию и расшифруй, как называется знак древнеегипетской письменности.

О $9560 \cdot 590$

Г $46666662 : 6$

Л $35200 \cdot 708$

Р $66666000 : 75$

Ф $67409 \cdot 4070$

Е $2953560 : 326$

И $8403 \cdot 5016$

И $8215200 : 8400$

Чтобы расшифровать название знака древнеегипетской письменности, необходимо решить все примеры и расположить полученные ответы в порядке возрастания.

О

Вычислим произведение $9560 \cdot 590$.
$9560 \cdot 590 = 956 \cdot 10 \cdot 59 \cdot 10 = (956 \cdot 59) \cdot 100$.
$956 \cdot 59 = 56404$.
$56404 \cdot 100 = 5640400$.
Ответ: $5640400$.

Г

Выполним деление $46666662 : 6$.
При делении в столбик получаем:
$46666662 : 6 = 7777777$.
Ответ: $7777777$.

Л

Вычислим произведение $35200 \cdot 708$.
$35200 \cdot 708 = 352 \cdot 100 \cdot 708 = (352 \cdot 708) \cdot 100$.
$352 \cdot 708 = 249216$.
$249216 \cdot 100 = 24921600$.
Ответ: $24921600$.

Р

Выполним деление $66666000 : 75$. Разделим последовательно на сомножители числа $75$, то есть $3$ и $25$.
$66666000 : 3 = 22222000$.
$22222000 : 25 = 888880$.
Ответ: $888880$.

Ф

Вычислим произведение $67409 \cdot 4070$.
$67409 \cdot 4070 = 67409 \cdot (4000 + 70) = 67409 \cdot 4000 + 67409 \cdot 70 = 269636000 + 4718630 = 274354630$.
Ответ: $274354630$.

Е

Выполним деление $2953560 : 326$.
При делении в столбик получаем:
$2953560 : 326 = 9060$.
Ответ: $9060$.

И

Вычислим произведение $8403 \cdot 5016$.
$8403 \cdot 5016 = 8403 \cdot (5000 + 16) = 8403 \cdot 5000 + 8403 \cdot 16 = 42015000 + 134448 = 42149448$.
Ответ: $42149448$.

И

Выполним деление $8215200 : 8400$. Сократим нули: $82152 : 84$.
При делении в столбик получаем:
$82152 : 84 = 978$.
Ответ: $978$.

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $978$ — И
2. $9060$ — Е
3. $888880$ — Р
4. $5640400$ — О
5. $7777777$ — Г
6. $24921600$ — Л
7. $42149448$ — И
8. $274354630$ — Ф

Соединив буквы в указанном порядке, получаем слово ИЕРОГЛИФ.

Ответ: знак древнеегипетской письменности называется иероглиф.

14 Двое друзей, среди которых один старше другого на год, спорят, сколько им в сумме лет. Первый говорит, что больше 16, а второй — что больше 17. Известно, что один из друзей прав, а второй — ошибается. Сколько лет старшему из них?

Пусть $x$ — возраст младшего друга. Так как один друг старше другого на год, то возраст старшего друга — $x+1$.

Сумма их возрастов, обозначим ее $S$, равна: $S = x + (x+1) = 2x + 1$.

Поскольку возраст $x$ выражается целым числом лет, $2x$ всегда будет четным числом. Следовательно, сумма их возрастов $S = 2x + 1$ всегда будет нечетным числом. Это ключевое условие для решения задачи.

Теперь проанализируем утверждения друзей:

• Первый друг: $S > 16$
• Второй друг: $S > 17$

По условию, одно из этих утверждений истинно, а другое — ложно. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Первый друг прав, а второй ошибается.
Если первый друг прав, то $S > 16$.
Если второй друг ошибается, то его утверждение $S > 17$ ложно. Это означает, что на самом деле $S \le 17$.
Объединив эти два условия, получаем: $16 < S \le 17$.
Мы знаем, что $S$ — нечетное целое число. Единственное нечетное целое число в этом промежутке — это 17. Значит, $S=17$. Этот случай возможен.

Случай 2: Второй друг прав, а первый ошибается.
Если второй друг прав, то $S > 17$.
Если первый друг ошибается, то его утверждение $S > 16$ ложно. Это означает, что на самом деле $S \le 16$.
Мы получили противоречивую систему: $S > 17$ и $S \le 16$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше 17 и меньше либо равно 16. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно верным является первый случай, и сумма возрастов друзей равна 17.

Теперь найдем возраст каждого из них, используя формулу $S = 2x + 1$:
$17 = 2x + 1$
$16 = 2x$
$x = 8$

Возраст младшего друга — 8 лет. Возраст старшего друга — $x+1 = 8+1 = 9$ лет.

Ответ: 9

15 Найди правильное отражение Тани в зеркале:

Надпись на футболке Тани: таня

1

Надпись на футболке: таня

2

Надпись на футболке: янат

3

Надпись на футболке: RHST

Чтобы найти правильное отражение Тани в зеркале, нужно учесть, что зеркало меняет местами левую и правую стороны, сохраняя при этом верх и низ. Проанализируем детали исходного изображения и сравним их с предложенными вариантами.

1. Прическа: У Тани пробор в волосах находится с её левой стороны, что для нас, как для зрителей, является правой стороной изображения. В зеркальном отражении пробор должен быть с её правой стороны, то есть слева на картинке.

2. Браслет: Таня носит браслет на левой руке (справа на картинке). В отражении браслет должен оказаться на её правой руке (слева на картинке).

3. Надпись: На кофте написано имя "ТАНЯ". При отражении в зеркале порядок букв изменится на обратный и будет читаться как "ЯНАТ". Также каждая отдельная буква должна быть отзеркалена. Например, буква "Я" в отражении будет выглядеть как перевернутая латинская буква "R".

Теперь оценим каждый из вариантов:

• Изображение 1: Пробор и браслет находятся на той же стороне, что и в оригинале (справа). Они не были отзеркалены. Следовательно, это неверный вариант.
• Изображение 2: Пробор и браслет правильно отражены — они находятся на левой стороне изображения. Надпись на кофте читается как "ЯНАТ", что соответствует правильному порядку букв в отражении. Этот вариант полностью соответствует правилам зеркального отражения.
• Изображение 3: Пробор и браслет отражены верно (находятся слева), но надпись на кофте "RHST" не является отражением имени "ТАНЯ". Следовательно, это неверный вариант.

Таким образом, единственное изображение, которое является правильным отражением Тани в зеркале, находится под номером 2.

Ответ: 2