Страница 6, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

9 Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась?

Данные из таблицы:

Столбцы: A, v, t

День I:

A: 48 стр.

v: одинаковая

t: ? ч

День II:

A: $(48 + 12)$ стр.

v: одинаковая

t: ? ч

Всего (I + II):

t: 9 ч

1. Количество страниц, напечатанных во второй день
Согласно условию, во второй день машинистка напечатала на 12 страниц больше, чем в первый. Чтобы найти это количество, нужно к страницам первого дня прибавить 12.
$48 + 12 = 60$ (страниц).
Ответ: 60 страниц.

2. Общее количество напечатанных страниц
Теперь найдем, сколько всего страниц было напечатано за два дня, сложив количество страниц за каждый день.
$48 + 60 = 108$ (страниц).
Ответ: 108 страниц.

3. Производительность машинистки
Производительность (скорость печати) была одинаковой в оба дня. Чтобы её найти, нужно общее количество напечатанных страниц разделить на общее затраченное время.
$108 \div 9 = 12$ (страниц в час).
Ответ: 12 страниц в час.

4. Время работы в первый день
Зная производительность, мы можем рассчитать, сколько часов машинистка работала в первый день. Для этого разделим количество страниц, напечатанных в первый день, на производительность.
$48 \div 12 = 4$ (часа).
Ответ: 4 часа.

5. Время работы во второй день
Аналогично рассчитаем время работы во второй день, разделив количество напечатанных страниц на производительность.
$60 \div 12 = 5$ (часов).
Проверить это можно, вычтя из общего времени время работы в первый день: $9 - 4 = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.

10 Реши задачи. Что в них общего и чем они различаются?

1) С двух ульев получено 100 кг меду, с одного из них на 4 кг больше, чем с другого. Сколько меда получено с каждого улья?

?

I

II

4 кг

100 кг

?

2) В двух мешках 100 кг картофеля, в одном из них на 4 кг меньше, чем в другом. Сколько картофеля в каждом мешке?

Придумай задачу, которая решается так же.

1)

Чтобы найти, сколько меда в каждом улье, можно рассуждать так: если бы в обоих ульях меда было поровну (столько, сколько в меньшем), то всего меда было бы на 4 кг меньше.

1. Узнаем, сколько меда было бы в двух ульях, если бы его было поровну:
$100 - 4 = 96$ (кг).

2. Теперь найдем, сколько меда в меньшем улье (это половина от 96 кг):
$96 / 2 = 48$ (кг).

3. Узнаем, сколько меда в большем улье:
$48 + 4 = 52$ (кг).

Проверим: $48 + 52 = 100$ кг. Все верно.

Ответ: с одного улья получили 52 кг меда, а с другого – 48 кг.

2)

Эта задача решается так же. Условие "в одном мешке на 4 кг меньше, чем в другом" означает то же самое, что "в другом мешке на 4 кг больше, чем в первом".

1. Уравняем количество картофеля в мешках, "убрав" разницу в 4 кг из общей массы:
$100 - 4 = 96$ (кг).

2. Найдем, сколько картофеля в меньшем мешке:
$96 / 2 = 48$ (кг).

3. Найдем, сколько картофеля в большем мешке:
$48 + 4 = 52$ (кг).

Проверим: $48 + 52 = 100$ кг.

Ответ: в одном мешке 48 кг картофеля, а в другом – 52 кг.

Что в них общего и чем они различаются?

Общее: Обе задачи на нахождение двух чисел по их сумме (100) и разности (4). У них одинаковый способ решения и одинаковый численный ответ.

Различие: Задачи различаются сюжетом (мед в ульях и картофель в мешках) и формулировкой условия. В первой задаче используется оборот "на 4 кг больше", а во второй — "на 4 кг меньше", но математический смысл разницы между величинами от этого не меняется.

Придумай задачу, которая решается так же.

Два брата вместе собрали 100 грибов. Старший брат собрал на 4 гриба больше, чем младший. Сколько грибов собрал каждый брат?

Решение:

1) $(100 - 4) / 2 = 48$ (грибов) – собрал младший брат.

2) $48 + 4 = 52$ (гриба) – собрал старший брат.

Ответ: младший брат собрал 48 грибов, а старший – 52 гриба.

11)

a) $4045 : 5 + 451 \cdot 75 - (729 - 642);$

б) $1027 - 428 + 307 \cdot 280 - (60005 - 5168) : 9.$

а)

Для решения примера $4045 : 5 + 451 \cdot 75 - (729 - 642)$ необходимо соблюдать порядок арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действие в скобках:
$729 - 642 = 87$

2. Выполним деление:
$4045 : 5 = 809$

3. Выполним умножение:
$451 \cdot 75 = 33825$

4. Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$809 + 33825 - 87$

5. Выполним сложение:
$809 + 33825 = 34634$

6. Выполним вычитание:
$34634 - 87 = 34547$

Ответ: 34547

б)

Для решения примера $1027 - 428 + 307 \cdot 280 - (60005 - 5168) : 9$ решим его по действиям в соответствии с правилами порядка выполнения операций.

1. Выполним действие в скобках:
$60005 - 5168 = 54837$

2. Теперь выражение выглядит так: $1027 - 428 + 307 \cdot 280 - 54837 : 9$. Следующими по приоритету идут умножение и деление.

3. Выполним умножение:
$307 \cdot 280 = 85960$

4. Выполним деление:
$54837 : 9 = 6093$

5. Подставим полученные результаты в выражение:
$1027 - 428 + 85960 - 6093$

6. Выполним оставшиеся действия сложения и вычитания по порядку слева направо:
$1027 - 428 = 599$
$599 + 85960 = 86559$
$86559 - 6093 = 80466$

Ответ: 80466

12 Реши уравнения и сделай проверку:

а) $16 + 48 : z = 40;$

б) $320 : (52 - x) = 8.$

а) $16 + 48 : z = 40$

В этом уравнении неизвестное $z$ входит в состав второго слагаемого. Найдем это слагаемое ($48 : z$), вычтя из суммы (40) известное слагаемое (16):

$48 : z = 40 - 16$

$48 : z = 24$

Теперь у нас простое уравнение, где $z$ – неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (48) разделить на частное (24):

$z = 48 : 24$

$z = 2$

Проверка:

Подставим найденное значение $z = 2$ в исходное уравнение:

$16 + 48 : 2 = 40$

Сначала выполняем деление:

$16 + 24 = 40$

Затем сложение:

$40 = 40$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $z = 2$

б) $320 : (52 - x) = 8$

В этом уравнении неизвестное $x$ находится в выражении, которое является делителем. Найдем этот неизвестный делитель $(52 - x)$, разделив делимое (320) на частное (8):

$52 - x = 320 : 8$

$52 - x = 40$

Теперь у нас простое уравнение, где $x$ – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (52) вычесть разность (40):

$x = 52 - 40$

$x = 12$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = 12$ в исходное уравнение:

$320 : (52 - 12) = 8$

Сначала выполняем действие в скобках:

$320 : 40 = 8$

Затем выполняем деление:

$8 = 8$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 12$

13* Чтобы открылись ворота в сказочный город Числоград, ребятам надо было на табло при въезде:

На табло при въезде изображены 8 клеток. В первой клетке находится число 8, а в последней — число 5.

зажечь числа в свободных клетках так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, равнялась $20$.

20. Помоги ребятам попасть в этот город!

Обозначим числа в клетках слева направо $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7, C_8$. Из условия нам известно, что первая клетка $C_1 = 8$, а последняя $C_8 = 5$. Также мы знаем, что сумма любых трех подряд идущих чисел равна 20.

Запишем это правило в виде равенств:
$C_1 + C_2 + C_3 = 20$
$C_2 + C_3 + C_4 = 20$

Сравнивая левые части этих двух уравнений, мы видим, что $C_1 + C_2 + C_3 = C_2 + C_3 + C_4$. Если вычесть из обеих частей $C_2 + C_3$, получим $C_1 = C_4$.
Продолжая эту логику, мы можем установить, что числа в последовательности повторяются с периодом 3:
$C_1 = C_4 = C_7$
$C_2 = C_5 = C_8$
$C_3 = C_6$

Теперь воспользуемся известными значениями, чтобы найти неизвестные:
1. Так как $C_1 = 8$, то и $C_4 = 8$, и $C_7 = 8$.
2. Так как $C_8 = 5$, то и $C_5 = 5$, и $C_2 = 5$.

Мы уже нашли значения для большинства клеток. Наша таблица теперь выглядит так: [8, 5, $C_3$, 8, 5, $C_6$, 8, 5].
Осталось найти число для третьей клетки ($C_3$). Для этого используем правило суммы для первых трех клеток:
$C_1 + C_2 + C_3 = 20$
$8 + 5 + C_3 = 20$
$13 + C_3 = 20$
$C_3 = 20 - 13$
$C_3 = 7$

Поскольку $C_3 = C_6$, то $C_6$ также равно 7.
Таким образом, мы заполнили все пустые клетки.

Ответ: Полностью заполненный ряд чисел выглядит так: 8, 5, 7, 8, 5, 7, 8, 5. В свободные клетки нужно вписать числа 5, 7, 8, 5, 7, 8.

8 В $x$ подарков разложили всего 20 ирисок и 48 леденцов, в каждый пакет поровну. Каких конфет в каждом подарке больше — ирисок или леденцов, и на сколько? Составь выражение и найди его значение при $x = 4$. Придумай задачи про другие величины, которые решаются так же.

Каких конфет в каждом подарке больше — ирисок или леденцов, и на сколько? Составь выражение и найди его значение при x = 4.

1. Сначала найдем, сколько ирисок в каждом подарке. Для этого общее количество ирисок (20) нужно разделить на количество подарков ($x$). Получим выражение: $\frac{20}{x}$.

2. Затем найдем, сколько леденцов в каждом подарке. Для этого общее количество леденцов (48) разделим на количество подарков ($x$). Получим выражение: $\frac{48}{x}$.

3. Теперь сравним количество конфет каждого вида в одном подарке. Нам нужно сравнить дроби $\frac{20}{x}$ и $\frac{48}{x}$. Так как количество подарков $x$ одинаково в обоих случаях, мы можем сравнить числители. Поскольку $48 > 20$, то и дробь $\frac{48}{x}$ больше, чем $\frac{20}{x}$. Следовательно, леденцов в каждом подарке больше, чем ирисок.

4. Чтобы найти, на сколько леденцов больше, чем ирисок, нужно составить выражение, вычтя из количества леденцов количество ирисок в одном подарке:
$\frac{48}{x} - \frac{20}{x}$
Так как знаменатели у дробей одинаковые, можно упростить это выражение:
$\frac{48 - 20}{x} = \frac{28}{x}$

5. Найдём значение полученного выражения при $x = 4$. Для этого подставим число 4 вместо $x$:
$\frac{28}{4} = 7$

Ответ: В каждом подарке леденцов больше, чем ирисок. Выражение для нахождения разницы: $\frac{48}{x} - \frac{20}{x}$. При $x=4$ в каждом подарке на 7 леденцов больше, чем ирисок.

Придумай задачи про другие величины, которые решаются так же.

Задача 1. С одной грядки собрали 35 кг огурцов, а с другой — 20 кг. Весь урожай разложили поровну в $x$ ящиков. На сколько килограммов огурцов из первой грядки в каждом ящике больше, чем из второй?
Решение: Выражение для нахождения разницы: $\frac{35}{x} - \frac{20}{x} = \frac{15}{x}$.

Задача 2. За $t$ часов автобус проехал 320 км, а легковой автомобиль за то же время — 480 км. На сколько километров в час скорость легкового автомобиля больше скорости автобуса?
Решение: Выражение для нахождения разницы в скорости: $\frac{480}{t} - \frac{320}{t} = \frac{160}{t}$.

Ответ: Приведены две задачи с решениями, которые решаются аналогичным способом.

9. Сравни задачи. Чем они похожи? Почему?

а) Что больше: $\frac{3}{9}$ или $\frac{8}{9}$? Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями?

б) Что больше: $3:9$ или $8:9$? Как изменяется частное с увеличением делимого?

Эти задачи похожи, потому что они по сути являются одной и той же задачей, записанной в разных формах. Дробь является записью действия деления. Дробь $ \frac{a}{b} $ означает то же самое, что и частное $a:b$. Поэтому в обоих случаях сравниваются результаты деления двух разных чисел (3 и 8) на одно и то же число (9). В первом случае это записано в виде дробей, а во втором — в виде частных.

а) Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше.

Сравниваем дроби $ \frac{3}{9} $ и $ \frac{8}{9} $. Знаменатели у них одинаковы и равны 9. Сравниваем числители: $ 8 > 3 $.

Следовательно, $ \frac{8}{9} > \frac{3}{9} $.

Ответ: $ \frac{8}{9} $ больше. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители; больше та дробь, у которой числитель больше.

б) Частное — это результат деления делимого на делитель. В выражениях $3:9$ и $8:9$ делитель одинаковый (9), а делимые разные (3 и 8).

При увеличении делимого и неизменном делителе частное всегда увеличивается. Поскольку $ 8 > 3 $, результат деления 8 на 9 будет больше, чем результат деления 3 на 9.

Следовательно, $ 8:9 > 3:9 $.

Ответ: $ 8:9 $ больше. С увеличением делимого при постоянном делителе частное увеличивается.

10 a) $(2801 \cdot 640 - 1789631) \cdot (775 - 95823 : 189) + 161397 : 79;$

б) $2406204 : (10421 - 9887) + 88200 : 300.$

а) $(2801 \cdot 640 - 1789631) \cdot (775 - 95823 : 189) + 161397 : 79$

Решим данное выражение по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим значение первого выражения в скобках. Сначала умножение:
$2801 \cdot 640 = 1792640$

2. Теперь вычитание в первой скобке:
$1792640 - 1789631 = 3009$

3. Вычислим значение второго выражения в скобках. Сначала деление:
$95823 : 189 = 507$

4. Теперь вычитание во второй скобке:
$775 - 507 = 268$

5. Теперь, когда мы вычислили значения в скобках, исходное выражение принимает вид:
$3009 \cdot 268 + 161397 : 79$

6. Выполним деление:
$161397 : 79 = 2043$

7. Выполним умножение:
$3009 \cdot 268 = 806412$

8. Выполним последнее действие — сложение:
$806412 + 2043 = 808455$

Ответ: 808455

б) $2406204 : (10421 - 9887) + 88200 : 300$

Решим это выражение по действиям.

1. Выполним действие в скобках:
$10421 - 9887 = 534$

2. Теперь выражение выглядит так:
$2406204 : 534 + 88200 : 300$

3. Выполним деление слева направо. Первое деление:
$2406204 : 534 = 4506$

4. Второе деление:
$88200 : 300 = 294$

5. Выполним сложение:
$4506 + 294 = 4800$

Ответ: 4800

11 а) Расшифруй фамилию известного русского учёного XVIII века, расположив дроби по возрастанию. Чем знаменит этот учёный?

$ \frac{8}{19} $ О

$ \frac{17}{19} $ В

$ \frac{4}{19} $ М

$ \frac{2}{19} $ О

$ \frac{9}{19} $ Н

$ \frac{11}{19} $ С

$ \frac{14}{19} $ О

$ \frac{10}{19} $ О

$ \frac{1}{19} $ Л

б) Расположив частные по убыванию, расшифруй имя купца XV века, который первым из россиян побывал в Индии. В какой книге он описал своё путешествие?

Ф $23:27$

А $26:27$

К $7:27$

И $8:27$

И $2:27$

Н $18:27$

Т $4:27$

А $21:27$

Н $10:27$

И $12:27$

Й $11:27$

С $14:27$

И $6:27$

Н $1:27$

А $15:27$

а) Чтобы расшифровать фамилию, нужно расположить дроби в порядке возрастания. Все дроби имеют одинаковый знаменатель 19, поэтому для сравнения достаточно сравнить их числители. Расположим числители в порядке возрастания: 1, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 14, 17.

Теперь сопоставим этим числителям соответствующие дроби и буквы:

• $ \frac{1}{19} $ - Л
• $ \frac{2}{19} $ - О
• $ \frac{4}{19} $ - М
• $ \frac{8}{19} $ - О
• $ \frac{9}{19} $ - Н
• $ \frac{10}{19} $ - О
• $ \frac{11}{19} $ - С
• $ \frac{14}{19} $ - О
• $ \frac{17}{19} $ - В

Получилась фамилия: ЛОМОНОСОВ.

Михаил Васильевич Ломоносов — великий русский учёный-энциклопедист XVIII века. Он внёс огромный вклад в развитие химии, физики, астрономии, геологии, филологии и многих других наук. Ломоносов сформулировал закон сохранения массы, открыл наличие атмосферы на планете Венера, а также был одним из основателей Московского государственного университета.

Ответ: Фамилия учёного — Ломоносов. Он знаменит как учёный-энциклопедист, основатель Московского университета, открывший закон сохранения массы и атмосферу на Венере.

б) Чтобы расшифровать имя купца, нужно расположить частные в порядке убывания. Так как делитель во всех частных одинаковый (27), для сравнения нужно сравнить делимые (первые числа). Расположим делимые в порядке убывания: 26, 23, 21, 18, 15, 14, 12, 11, 10, 8, 7, 6, 4, 2, 1.

Теперь сопоставим этим числам соответствующие частные и буквы:

• $26 : 27$ - А
• $23 : 27$ - Ф
• $21 : 27$ - А
• $18 : 27$ - Н
• $15 : 27$ - А
• $14 : 27$ - С
• $12 : 27$ - И
• $11 : 27$ - Й
• $10 : 27$ - Н
• $8 : 27$ - И
• $7 : 27$ - К
• $6 : 27$ - И
• $4 : 27$ - Т
• $2 : 27$ - И
• $1 : 27$ - Н

Получилось имя: АФАНАСИЙ НИКИТИН.

Афанасий Никитин — тверской купец и путешественник, один из первых европейцев, достигших Индии. Своё путешествие, совершённое в 1468—1474 годах, он описал в книге путевых заметок «Хожение за три моря».

Ответ: Имя купца — Афанасий Никитин. Он описал своё путешествие в книге «Хожение за три моря».

12 В каком месте нарушилась закономерность?

а) $35, 32, 29, 27, 24, 21;$

б) $0, 12, 24, 36, 46, 58, 70.$

а) 35, 32, 29, 27, 24, 21;

Чтобы найти закономерность в данном числовом ряду, найдем разность между соседними числами:

$35 - 32 = 3$

$32 - 29 = 3$

$29 - 27 = 2$

$27 - 24 = 3$

$24 - 21 = 3$

Можно заметить, что каждое последующее число должно быть на 3 меньше предыдущего. Это правило выполняется для всех пар чисел, кроме пары 29 и 27. Разность между ними равна 2, а не 3.

Если бы закономерность сохранялась, то после числа 29 должно было идти число $29 - 3 = 26$.

Следовательно, число 27 нарушает установленную закономерность.

Ответ: Закономерность нарушилась на числе 27.

б) 0, 12, 24, 36, 46, 58, 70.

Чтобы найти закономерность в этом ряду, также найдем разность между соседними числами:

$12 - 0 = 12$

$24 - 12 = 12$

$36 - 24 = 12$

$46 - 36 = 10$

$58 - 46 = 12$

$70 - 58 = 12$

Здесь прослеживается закономерность: каждое следующее число на 12 больше предыдущего. Это правило нарушается в паре чисел 36 и 46. Разность между ними составляет 10, а не 12.

Согласно закономерности, после числа 36 должно следовать число $36 + 12 = 48$.

Таким образом, число 46 нарушает закономерность.

Ответ: Закономерность нарушилась на числе 46.

3 Построй из палочек или карандашей модели:

а) острого угла;

б) тупого угла;

в) прямого угла;

г) развёрнутого угла;

д) смежных углов.

Найди разные виды углов в окружающей обстановке.

а) острого угла

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть его градусная мера меньше $90^\circ$. Для построения модели нужно взять два карандаша (или палочки) и соединить их концами в одной точке (вершине). Затем расположить их так, чтобы угол между ними был "узким", как у буквы V или у раскрытых не до конца ножниц.

Ответ: Чтобы смоделировать острый угол ($<90^\circ$), нужно соединить концы двух карандашей и расположить их под небольшим углом друг к другу.

б) тупого угла

Тупой угол — это угол, который больше прямого, но меньше развёрнутого. Его градусная мера находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$. Для моделирования нужно взять два карандаша, соединить их концами и развести их в стороны на "широкий" угол, больше, чем угол у квадрата, но не доводя до прямой линии.

Ответ: Модель тупого угла ($>90^\circ$ и $<180^\circ$) создается соединением концов двух карандашей и разведением их на угол, который шире прямого.

в) прямого угла

Прямой угол имеет градусную меру ровно $90^\circ$. Чтобы сделать его модель, нужно расположить два карандаша перпендикулярно друг другу, чтобы они напоминали букву "L" или угол страницы книги. Для проверки точности можно использовать угольник или любой предмет с прямым углом (например, тот же лист бумаги).

Ответ: Модель прямого угла ($=90^\circ$) создается расположением двух карандашей перпендикулярно друг другу.

г) развёрнутого угла

Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Его стороны образуют прямую линию. Модель такого угла очень проста: нужно положить два карандаша на ровную поверхность в одну прямую линию так, чтобы их концы соприкасались. Они будут выглядеть как одна длинная палочка, состоящая из двух.

Ответ: Модель развёрнутого угла ($=180^\circ$) создается двумя карандашами, выложенными в одну прямую линию.

д) смежных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжением друг друга. В сумме они всегда дают $180^\circ$. Для моделирования смежных углов понадобится три карандаша. Сначала из двух карандашей составляем развёрнутый угол (прямую линию). Затем третий карандаш помещаем так, чтобы его конец находился в точке соединения первых двух. Этот третий карандаш разделит развёрнутый угол на два смежных.

Ответ: Модель смежных углов создается из трех карандашей: два образуют прямую линию, а третий выходит из их общей точки, разделяя развёрнутый угол на два.

Найти разные виды углов в окружающей обстановке

Различные виды углов можно найти во множестве предметов и явлений вокруг нас:

Острые углы: стрелки часов в 1:00 ($30^\circ$); кончик ножа; открытый, но не полностью, ноутбук; клин; дорожный знак "сужение дороги".

Прямые углы: углы комнаты, окна, двери; пересечение страниц в книге; угол между перпендикулярными улицами; экран смартфона или компьютера.

Тупые углы: вешалка для одежды; раскрытый веер; стрелки часов в 5:00 ($150^\circ$); спинка кресла в откинутом положении.

Развёрнутые углы: прямая линия на дороге; натянутая струна; край стола; стрелки часов в 6:00 ($180^\circ$).

Смежные углы: образуются при пересечении дорог; в месте, где ножка стула крепится к сиденью и полу (если смотреть в профиль); любая прямая, пересеченная другой линией, например, на футбольном поле.

Ответ: Углы встречаются в бытовых предметах (мебель, посуда, техника), в архитектуре (здания, мосты), в природе (ветви деревьев, кристаллы) и в абстрактных понятиях (время на часах, направления на карте).

4. Являются ли углы 1 и 2 смежными? Почему?

а) б) в) г) Определи вид углов 1 и 2. Отметь прямые углы красным карандашом, острые — синим, а тупые — зелёным.

а)

Углы 1 и 2 не являются смежными. По определению, смежные углы имеют одну общую сторону, а две другие их стороны являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой. В данном случае у углов 1 и 2 есть общая сторона, но две другие стороны не лежат на одной прямой. Эти углы называются прилежащими.

Оба угла (1 и 2) являются острыми, так как их градусная мера меньше $90^\circ$.

Ответ: Нет, так как их стороны, не являющиеся общими, не образуют прямую линию. Угол 1 — острый, угол 2 — острый.

б)

Углы 1 и 2 являются смежными. У них есть одна общая сторона, а две другие стороны лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Угол 1 является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$. Угол 2 является острым, так как его градусная мера меньше $90^\circ$.

Ответ: Да, так как у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Угол 1 — тупой, угол 2 — острый.

в)

Углы 1 и 2 не являются смежными, так как у них нет общей стороны. Эти углы являются вертикальными. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых, их стороны являются продолжениями друг друга.

Символ квадрата у вершины угла 1 указывает, что это прямой угол, его градусная мера равна $90^\circ$. Поскольку вертикальные углы равны, угол 2 также является прямым углом и равен $90^\circ$.

Ответ: Нет, так как у них нет общей стороны (они являются вертикальными). Угол 1 — прямой, угол 2 — прямой.

г)

Углы 1 и 2 не являются смежными, так как у них нет общей стороны. Они, как и в предыдущем случае, являются вертикальными.

Оба угла (1 и 2) являются острыми, так как их градусная мера меньше $90^\circ$. Так как это вертикальные углы, они равны между собой.

Ответ: Нет, так как у них нет общей стороны (они являются вертикальными). Угол 1 — острый, угол 2 — острый.

5 а) Прочитай названия углов на рисунке. Определи их вид сначала на глаз, а затем проверь с помощью угольника.

$\angle MDC$ □ $\angle AOB$

$\angle NBK$ □ $\angle AOB$

$\angle MDC$ □ $\angle NBK$

б) На каждом рисунке сделай дополнительные построения так, чтобы получились смежные углы.

а)

На рисунке изображены три угла: $∠NBK$, $∠MDC$ и $∠AOB$.

Определим их вид. Угол, который меньше прямого угла ($90°$), называется острым. Угол, который больше прямого, но меньше развернутого ($180°$), называется тупым.

Определив вид углов "на глаз" и проверив с помощью угольника, получаем:

• $∠MDC$ — острый угол, так как он меньше $90°$.
• $∠NBK$ — тупой угол, так как он больше $90°$.
• $∠AOB$ — тупой угол, так как он больше $90°$.

Теперь выполним сравнение углов, вставив знаки $<$, $>$ или $=$ в пустые квадраты:

• $∠MDC$ $□$ $∠AOB$

  Острый угол ($∠MDC$) всегда меньше тупого угла ($∠AOB$).

  Следовательно: $∠MDC < ∠AOB$.

• $∠NBK$ $□$ $∠AOB$

  Оба угла тупые. Визуально угол $∠NBK$ кажется больше, чем угол $∠AOB$.

  Следовательно: $∠NBK > ∠AOB$.

• $∠MDC$ $□$ $∠NBK$

  Острый угол ($∠MDC$) всегда меньше тупого угла ($∠NBK$).

  Следовательно: $∠MDC < ∠NBK$.

Ответ: $∠MDC < ∠AOB$; $∠NBK > ∠AOB$; $∠MDC < ∠NBK$.

б)

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Чтобы построить смежные углы, для каждого из данных углов нужно продолжить одну из его сторон за вершину. Вот как это сделать для каждого угла:

1. Для угла $∠NBK$: Продолжим один из лучей, например $BN$, за вершину $B$ так, чтобы получилась прямая. На продолжении луча можно отметить любую точку, например $P$. Угол $∠PBK$ будет смежным с углом $∠NBK$.

2. Для угла $∠MDC$: Продолжим один из лучей, например $DC$, за вершину $D$ так, чтобы получилась прямая. На продолжении луча отметим точку $Q$. Угол $∠MDQ$ будет смежным с углом $∠MDC$.

3. Для угла $∠AOB$: Продолжим один из лучей, например $OB$, за вершину $O$ так, чтобы получилась прямая. На продолжении луча отметим точку $R$. Угол $∠AOR$ будет смежным с углом $∠AOB$.

Ответ: Для получения смежного угла к каждому из данных углов необходимо продолжить одну из его сторон (лучей) за вершину. Новый угол, образованный продолжением стороны и второй стороной исходного угла, будет смежным с исходным.

6 Объем прямоугольного параллелепипеда равен $1352 \text{ см}^3$. В его основании лежит квадрат со стороной $13 \text{ см}$. Чему равна высота параллелепипеда?

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$). Формула для вычисления объема:
$V = S_{осн} \cdot h$

Чтобы найти высоту параллелепипеда, нужно его объем разделить на площадь основания:
$h = \frac{V}{S_{осн}}$

Согласно условию, в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной $a = 13$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Найдем площадь основания:
$S_{осн} = 13^2 = 13 \cdot 13 = 169$ см²

Теперь, зная объем ($V = 1352$ см³) и площадь основания ($S_{осн} = 169$ см²), мы можем вычислить высоту:
$h = \frac{1352}{169} = 8$ см

Ответ: 8 см.

7. Верны ли высказывания:

а) $ \frac{5}{7} < \frac{5}{14} $;

б) $ \frac{9}{2} \ge \frac{2}{9} $;

в) $ \frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{9} \ge 1 $;

г) $ 2\frac{4}{5} - \frac{3}{5} + 4\frac{2}{5} < 7\frac{1}{5} $;

д) $ 1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{8} + 2\frac{1}{8} \le \frac{61}{8} $;

е) $ 8\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} - 2\frac{6}{7} > \frac{12}{7} $?

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{14}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 14 — это 14.
Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{7}$ на 2:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$.
Теперь сравним дроби $\frac{10}{14}$ и $\frac{5}{14}$. Так как знаменатели у них одинаковые, сравниваем числители: $10 > 5$.
Следовательно, $\frac{10}{14} > \frac{5}{14}$, а это значит, что $\frac{5}{7} > \frac{5}{14}$.
Таким образом, высказывание $\frac{5}{7} < \frac{5}{14}$ является неверным.
Ответ: неверно.

б) Сравним дроби $\frac{9}{2}$ и $\frac{2}{9}$.
Дробь $\frac{9}{2}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Ее значение больше 1 ($9 \div 2 = 4.5$).
Дробь $\frac{2}{9}$ является правильной, так как ее числитель меньше знаменателя. Ее значение меньше 1.
Любое число, которое больше 1, всегда больше числа, которое меньше 1. Следовательно, $\frac{9}{2} > \frac{2}{9}$.
Неравенство $\frac{9}{2} \ge \frac{2}{9}$ означает "больше или равно". Так как $\frac{9}{2}$ больше чем $\frac{2}{9}$, условие выполняется.
Таким образом, высказывание является верным.
Ответ: верно.

в) Вычислим значение выражения в левой части неравенства: $\frac{4}{9} + \frac{7}{9} - \frac{2}{9}$.
Поскольку у всех дробей общий знаменатель 9, мы можем выполнить действия с их числителями:
$\frac{4 + 7 - 2}{9} = \frac{11 - 2}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Теперь проверим неравенство: $1 \ge 1$.
Это неравенство верно, так как 1 равно 1.
Таким образом, высказывание является верным.
Ответ: верно.

г) Вычислим значение выражения в левой части неравенства: $2\frac{4}{5} - \frac{3}{5} + 4\frac{2}{5}$.
Сгруппируем целые и дробные части:
$(2 + 4) + (\frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 6 + \frac{4 - 3 + 2}{5} = 6 + \frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью неравенства: $6\frac{3}{5} < 7\frac{1}{5}$.
При сравнении смешанных чисел в первую очередь сравнивают их целые части. Так как $6 < 7$, то и $6\frac{3}{5} < 7\frac{1}{5}$.
Таким образом, высказывание является верным.
Ответ: верно.

д) Вычислим сумму в левой части неравенства: $1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{8} + 2\frac{1}{8}$.
Сложим целые части и дробные части отдельно:
$(1 + 3 + 2) + (\frac{7}{8} + \frac{5}{8} + \frac{1}{8}) = 6 + \frac{7+5+1}{8} = 6 + \frac{13}{8}$.
Дробь $\frac{13}{8}$ — неправильная. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$.
Теперь сложим результат с целой частью: $6 + 1\frac{5}{8} = 7\frac{5}{8}$.
Сравним полученное число $7\frac{5}{8}$ с правой частью неравенства $\frac{61}{8}$. Для этого переведем $7\frac{5}{8}$ в неправильную дробь:
$7\frac{5}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{56+5}{8} = \frac{61}{8}$.
Теперь проверим неравенство: $\frac{61}{8} \le \frac{61}{8}$.
Неравенство верно, так как левая часть равна правой.
Таким образом, высказывание является верным.
Ответ: верно.

е) Вычислим значение выражения в левой части неравенства: $8\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} - 2\frac{6}{7}$.
Переведем все смешанные числа в неправильные дроби, чтобы упростить вычитание:
$8\frac{2}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{58}{7}$
$3\frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{26}{7}$
$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{58}{7} - \frac{26}{7} - \frac{20}{7} = \frac{58 - 26 - 20}{7} = \frac{32 - 20}{7} = \frac{12}{7}$.
Проверим исходное неравенство: $\frac{12}{7} > \frac{12}{7}$.
Это неравенство является строгим, оно было бы верным, если бы левая часть была строго больше правой. Но так как они равны, высказывание неверно.
Ответ: неверно.