Страница 2, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

5 Имеются ли среди чисел 6, 9, 12, 30, 72 решения неравенства:

а) $8 \cdot b - 7 > 90$;

б) $d : 3 + 9 < 12$?

Чтобы проверить, есть ли среди чисел 6, 9, 12, 30, 72 решения для каждого неравенства, мы подставим каждое из этих чисел вместо переменной и проверим, выполняется ли условие.

а) $8 \cdot b - 7 > 90$

Проверим каждое число из набора {6, 9, 12, 30, 72}:
- Если $b = 6$, то $8 \cdot 6 - 7 = 48 - 7 = 41$. Неравенство $41 > 90$ ложно.
- Если $b = 9$, то $8 \cdot 9 - 7 = 72 - 7 = 65$. Неравенство $65 > 90$ ложно.
- Если $b = 12$, то $8 \cdot 12 - 7 = 96 - 7 = 89$. Неравенство $89 > 90$ ложно.
- Если $b = 30$, то $8 \cdot 30 - 7 = 240 - 7 = 233$. Неравенство $233 > 90$ истинно.
- Если $b = 72$, то $8 \cdot 72 - 7 = 576 - 7 = 569$. Неравенство $569 > 90$ истинно.
Следовательно, решениями неравенства являются числа 30 и 72.
Ответ: да, имеются. Это числа 30 и 72.

б) $d : 3 + 9 < 12$

Проверим каждое число из набора {6, 9, 12, 30, 72}:
- Если $d = 6$, то $6 : 3 + 9 = 2 + 9 = 11$. Неравенство $11 < 12$ истинно.
- Если $d = 9$, то $9 : 3 + 9 = 3 + 9 = 12$. Неравенство $12 < 12$ ложно.
- Если $d = 12$, то $12 : 3 + 9 = 4 + 9 = 13$. Неравенство $13 < 12$ ложно.
- Если $d = 30$, то $30 : 3 + 9 = 10 + 9 = 19$. Неравенство $19 < 12$ ложно.
- Если $d = 72$, то $72 : 3 + 9 = 24 + 9 = 33$. Неравенство $33 < 12$ ложно.
Следовательно, решением неравенства является только число 6.
Ответ: да, имеется. Это число 6.

6 Найди два решения неравенства:

а) $r + 5 < 815;$

б) $n - 3 > 960;$

в) $43 \cdot m < 100;$

г) $180 : y > 20.$

а) $r + 5 < 815$

Чтобы найти значения $r$, для которых неравенство верно, нужно изолировать $r$ в левой части. Для этого вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$r + 5 - 5 < 815 - 5$

$r < 810$

Таким образом, решением является любое число, которое строго меньше 810. В качестве двух примеров решений можно взять $r = 800$ и $r = 0$.

Проверка:

Если $r = 800$, то $800 + 5 = 805$. Так как $805 < 815$, это верное решение.

Если $r = 0$, то $0 + 5 = 5$. Так как $5 < 815$, это тоже верное решение.

Ответ: 800, 0.

б) $n - 3 > 960$

Чтобы найти значения $n$, прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$n - 3 + 3 > 960 + 3$

$n > 963$

Решением является любое число, которое строго больше 963. Возьмем в качестве примера два решения: $n = 964$ и $n = 1000$.

Проверка:

Если $n = 964$, то $964 - 3 = 961$. Так как $961 > 960$, это верное решение.

Если $n = 1000$, то $1000 - 3 = 997$. Так как $997 > 960$, это тоже верное решение.

Ответ: 964, 1000.

в) $43 \cdot m < 100$

Чтобы найти значения $m$, разделим обе части неравенства на 43. Так как 43 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$m < \frac{100}{43}$

Выделим целую часть: $\frac{100}{43} = 2 \frac{14}{43}$. Таким образом, $m < 2 \frac{14}{43}$.

Решением является любое число, меньшее $2 \frac{14}{43}$. Если искать решения в целых неотрицательных числах, то подойдут $m=0, m=1, m=2$. Выберем два из них: $m = 1$ и $m = 2$.

Проверка:

Если $m = 1$, то $43 \cdot 1 = 43$. Так как $43 < 100$, это верное решение.

Если $m = 2$, то $43 \cdot 2 = 86$. Так как $86 < 100$, это тоже верное решение.

Ответ: 1, 2.

г) $180 : y > 20$

Это неравенство можно записать в виде дроби: $\frac{180}{y} > 20$.

Предположим, что $y$ — положительное число (делитель не может быть равен нулю). Умножим обе части на $y$. Так как $y > 0$, знак неравенства не изменится:

$180 > 20 \cdot y$

Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части на 20:

$\frac{180}{20} > y$

$9 > y$, или $y < 9$.

С учетом нашего предположения, что $y > 0$, решением являются все числа в интервале $0 < y < 9$. Выберем два целых решения из этого интервала, например, $y = 4$ и $y = 8$.

Проверка:

Если $y = 4$, то $180 : 4 = 45$. Так как $45 > 20$, это верное решение.

Если $y = 8$, то $180 : 8 = 22.5$. Так как $22.5 > 20$, это тоже верное решение.

Ответ: 4, 8.

7 Найди все решения неравенства:

а) $7 \cdot c < 9;$

б) $12 : d > 3;$

в) $x \cdot 7 < 21;$

г) $y \cdot 5 < 1;$

д) $b + b < 4;$

е) $3 - t > 2.$

а) Дано неравенство $7 \cdot c < 9$.

Чтобы найти все значения $c$, которые удовлетворяют этому неравенству, разделим обе его части на 7. Поскольку 7 — положительное число, знак неравенства при делении не изменится.

$c < \frac{9}{7}$

Можно также представить правую часть в виде смешанного числа для наглядности:

$c < 1\frac{2}{7}$

Таким образом, решением являются все числа, строго меньшие $1\frac{2}{7}$.

Ответ: $c < 1\frac{2}{7}$.

б) Дано неравенство $12 : d > 3$.

Это неравенство можно записать в виде $\frac{12}{d} > 3$. При решении неравенств с переменной в знаменателе необходимо рассматривать два случая в зависимости от знака знаменателя.

1. Если $d > 0$ (знаменатель положителен), то при умножении обеих частей на $d$ знак неравенства сохранится:

$12 > 3d$

Разделим обе части на 3:

$4 > d$, или $d < 4$.

Совмещая условия $d > 0$ и $d < 4$, получаем решение для первого случая: $0 < d < 4$.

2. Если $d < 0$ (знаменатель отрицателен), то при умножении обеих частей на $d$ знак неравенства изменится на противоположный:

$12 < 3d$

Разделим обе части на 3:

$4 < d$.

В этом случае мы имеем систему из двух противоречивых условий: $d < 0$ и $d > 4$. Нет чисел, которые одновременно меньше 0 и больше 4, поэтому в этом случае решений нет.

Общим решением является только результат первого случая.

Ответ: $0 < d < 4$.

в) Дано неравенство $x \cdot 7 < 21$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 7. Знак неравенства не меняется, так как 7 — положительное число.

$x < \frac{21}{7}$

$x < 3$

Решением являются все числа, строго меньшие 3.

Ответ: $x < 3$.

г) Дано неравенство $y \cdot 5 < 1$.

Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на 5.

$y < \frac{1}{5}$

Решением являются все числа, строго меньшие $\frac{1}{5}$ (или 0,2).

Ответ: $y < \frac{1}{5}$.

д) Дано неравенство $b + b < 4$.

Сначала упростим левую часть неравенства, сложив переменные:

$2b < 4$

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $b$.

$b < \frac{4}{2}$

$b < 2$

Решением являются все числа, строго меньшие 2.

Ответ: $b < 2$.

е) Дано неравенство $3 - t > 2$.

Для того чтобы выделить переменную $t$, сначала перенесём число 3 в правую часть, вычитая его из обеих частей:

$-t > 2 - 3$

$-t > -1$

Теперь, чтобы найти $t$, нужно умножить обе части неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный.

$t < 1$

Решением являются все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $t < 1$.

8 Заяц за 2 ч пробегает 14 км, а сокол за 3 ч пролетает 210 км. Во сколько раз сокол движется быстрее зайца? На сколько километров в час скорость зайца меньше скорости сокола?

$s$ $v$ $t$

Заяц

Сокол

1) Чему равна скорость зайца?

2) Какова скорость сокола?

3) Во сколько раз сокол движется быстрее зайца?

4) На сколько скорость зайца меньше скорости сокола?

Ответ:

1) Чему равна скорость зайца?
Чтобы найти скорость ($v$), нужно расстояние ($s$) разделить на время ($t$).
Формула: $v = s / t$.
Для зайца: расстояние $s = 14$ км, время $t = 2$ ч.
$v_{зайца} = 14 \text{ км} \div 2 \text{ ч} = 7$ км/ч.
Ответ: скорость зайца равна 7 км/ч.

2) Какова скорость сокола?
Используем ту же формулу: $v = s / t$.
Для сокола: расстояние $s = 210$ км, время $t = 3$ ч.
$v_{сокола} = 210 \text{ км} \div 3 \text{ ч} = 70$ км/ч.
Ответ: скорость сокола равна 70 км/ч.

3) Во сколько раз сокол движется быстрее зайца?
Чтобы узнать, во сколько раз одна скорость больше другой, нужно разделить большую скорость на меньшую.
$v_{сокола} \div v_{зайца} = 70 \text{ км/ч} \div 7 \text{ км/ч} = 10$.
Ответ: сокол движется в 10 раз быстрее зайца.

4) На сколько скорость зайца меньше скорости сокола?
Чтобы узнать, на сколько одна скорость меньше другой, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
$v_{сокола} - v_{зайца} = 70 \text{ км/ч} - 7 \text{ км/ч} = 63$ км/ч.
Ответ: скорость зайца меньше скорости сокола на 63 км/ч.

3 Придумай задачу по выражению $4 : 9$. Чему равно значение этого выражения?

Придумай задачу по выражению 4 : 9

Условие задачи: Четыре одинаковых пирога нужно разделить поровну между девятью друзьями. Какая часть пирога достанется каждому другу?

Решение: Чтобы найти, какая часть пирога достанется каждому, необходимо общее количество пирогов (4) разделить на количество друзей (9). Это действие как раз и описывается выражением $4 : 9$.

$4 : 9 = \frac{4}{9}$

Ответ: каждому другу достанется $\frac{4}{9}$ пирога.

Чему равно значение этого выражения?

Выражение $4 : 9$ означает деление числа 4 на число 9. Результатом этого деления является обыкновенная дробь.

$4 : 9 = \frac{4}{9}$

Эту дробь также можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби: $0.444...$, что записывается как $0.(4)$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

4 4 одинаковых телевизора надо разделить поровну между 5 людьми. Какую часть телевизора получит каждый?

Каждый получит: $ \frac{4}{5} $

Можно ли делить на части телевизоры, книги, самолёты? Можно ли делить на части поля, ленты, арбузы? Что ещё можно делить на части?

Какую часть телевизора получит каждый?

Чтобы найти, какую часть телевизора получит каждый, нужно общее количество телевизоров разделить на количество людей. В данном случае мы делим 4 телевизора на 5 человек. Это действие записывается в виде дроби.
$4 \div 5 = \frac{4}{5}$
Таким образом, математически каждый человек получит $\frac{4}{5}$ телевизора.

Ответ: Каждый получит $\frac{4}{5}$ телевизора.

Можно ли делить на части телевизоры, книги, самолёты?

В реальной жизни делить на части такие предметы, как телевизоры, книги или самолёты, нельзя. Если физически разделить эти объекты, их части потеряют свою основную функцию и ценность. Например, распиленный телевизор не будет показывать изображение, вырванные страницы из книги нарушат целостность повествования, а часть самолёта не сможет летать. Такие предметы считаются неделимыми, поскольку их ценность заключается в их целостности.

Ответ: Нет, так как при делении на части эти предметы теряют свою функциональность и ценность.

Можно ли делить на части поля, ленты, арбузы?

Да, эти объекты можно делить на части. Поле можно разделить на несколько участков, и каждый из них останется пригодным для использования участком земли. Ленту можно разрезать на более короткие отрезки, и каждый отрезок по-прежнему будет лентой. Арбуз легко режется на ломтики, и каждый ломтик является съедобной частью арбуза. Части этих объектов сохраняют основные свойства целого.

Ответ: Да, можно.

Что ещё можно делить на части?

На части можно делить многие другие вещи. Например, большинство продуктов питания, такие как торт, пицца, хлеб или яблоко. Также можно делить различные материалы: ткань, бумагу, верёвку. Делимыми являются жидкости (вода, сок) и сыпучие вещества (сахар, мука). Кроме того, можно делить абстрактные измеряемые величины, такие как время, расстояние, вес, площадь и объём.

Ответ: Можно делить на части еду (например, пирог, плитку шоколада), материалы (ткань, бумагу), жидкости (молоко, сок), а также абстрактные величины (время, расстояние, вес).

5 Запиши в виде дроби частное:

$3 : 10 = \frac{3}{10}$

$7 : 15 = \text{__________}$

$94 : 236 = \text{__________}$

$1 : 89 = \text{__________}$

$3 : 19 = \text{__________}$

$a : b = \text{__________}$

$8 : 74 = \text{__________}$

$5 : 43 = \text{__________}$

$x : y = \text{__________}$

Чтобы записать частное двух чисел или выражений в виде дроби, необходимо делимое (первое число) записать в числитель дроби, а делитель (второе число) — в знаменатель. Общая формула этого преобразования: $a : b = \frac{a}{b}$.

3 : 10
В данном случае делимое равно 3, а делитель — 10. Записываем частное в виде дроби: $3 : 10 = \frac{3}{10}$. Эта дробь является несократимой, так как у чисел 3 и 10 нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{3}{10}$

7 : 15
Делимое — 7, делитель — 15. Преобразуем частное в дробь: $7 : 15 = \frac{7}{15}$. Числа 7 и 15 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{7}{15}$

94 : 236
Делимое — 94, делитель — 236. Записываем в виде дроби: $94 : 236 = \frac{94}{236}$. Числитель и знаменатель этой дроби — четные числа, значит, дробь можно сократить, разделив их на общий делитель 2.
$\frac{94}{236} = \frac{94 \div 2}{236 \div 2} = \frac{47}{118}$.
Число 47 является простым. Проверим, делится ли 118 на 47: $118 \div 47 \approx 2.51$. Деление не является целочисленным. Следовательно, полученная дробь $\frac{47}{118}$ несократимая.
Ответ: $\frac{47}{118}$

1 : 89
Делимое — 1, делитель — 89. Преобразуем в дробь: $1 : 89 = \frac{1}{89}$.
Ответ: $\frac{1}{89}$

3 : 19
Делимое — 3, делитель — 19. Записываем в виде дроби: $3 : 19 = \frac{3}{19}$. Числа 3 и 19 — простые, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{3}{19}$

a : b
Это общий случай, где делимое обозначено переменной $a$, а делитель — переменной $b$. По общему правилу, частное записывается как дробь $\frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

8 : 74
Делимое — 8, делитель — 74. Записываем частное в виде дроби: $8 : 74 = \frac{8}{74}$. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2.
$\frac{8}{74} = \frac{8 \div 2}{74 \div 2} = \frac{4}{37}$.
Число 37 является простым, а 4 не делится на 37. Значит, дробь $\frac{4}{37}$ несократимая.
Ответ: $\frac{4}{37}$

5 : 43
Делимое — 5, делитель — 43. Преобразуем в дробь: $5 : 43 = \frac{5}{43}$. Числа 5 и 43 являются простыми, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{5}{43}$

x : y
Это также общий случай с переменными. Делимое — $x$, делитель — $y$. Записываем частное в виде дроби.
Ответ: $\frac{x}{y}$

6 Запиши дробь в виде частного:

$ \frac{4}{21} = 4 : 21 $ $ \frac{8}{56} = $ $ \frac{67}{425} = $

$ \frac{5}{17} = $ $ \frac{34}{49} = $ $ \frac{c}{d} = $

$ \frac{1}{52} = $ $ \frac{85}{96} = $ $ \frac{k}{t} = $

$\frac{4}{21}$
Дробь — это форма записи деления двух чисел. Числитель (число, расположенное над дробной чертой) является делимым, а знаменатель (число, расположенное под дробной чертой) — делителем. Дробная черта заменяет знак деления (:).
В дроби $\frac{4}{21}$ числитель равен 4, а знаменатель равен 21. Заменяя дробную черту на знак деления, мы получаем частное.
$ \frac{4}{21} = 4 : 21 $
Ответ: $4 : 21$

$\frac{5}{17}$
Применяя то же правило, для дроби $\frac{5}{17}$ числитель 5 становится делимым, а знаменатель 17 — делителем.
$ \frac{5}{17} = 5 : 17 $
Ответ: $5 : 17$

$\frac{1}{52}$
Для дроби $\frac{1}{52}$ числителем является 1 (делимое), а знаменателем — 52 (делитель).
$ \frac{1}{52} = 1 : 52 $
Ответ: $1 : 52$

$\frac{8}{56}$
В дроби $\frac{8}{56}$ числитель — это 8, а знаменатель — 56. Представим эту дробь в виде частного.
$ \frac{8}{56} = 8 : 56 $
Ответ: $8 : 56$

$\frac{34}{49}$
Числитель 34 является делимым, а знаменатель 49 — делителем.
$ \frac{34}{49} = 34 : 49 $
Ответ: $34 : 49$

$\frac{85}{96}$
Для дроби $\frac{85}{96}$ числитель равен 85 (делимое), а знаменатель — 96 (делитель).
$ \frac{85}{96} = 85 : 96 $
Ответ: $85 : 96$

$\frac{67}{425}$
Числитель 67 является делимым, а знаменатель 425 — делителем.
$ \frac{67}{425} = 67 : 425 $
Ответ: $67 : 425$

$\frac{c}{d}$
Данное правило универсально и применяется также для дробей с буквенными выражениями. Числитель $c$ является делимым, а знаменатель $d$ — делителем.
$ \frac{c}{d} = c : d $
Ответ: $c : d$

$\frac{k}{t}$
Аналогично, для дроби $\frac{k}{t}$ числитель $k$ является делимым, а знаменатель $t$ — делителем.
$ \frac{k}{t} = k : t $
Ответ: $k : t$

7 Заполни таблицу:

Частное | Делимое | Делитель | Дробь | Числитель | Знаменатель

5 : 8 | | | | |

| 7 | 9 | | |

| | | $\frac{3}{12}$ | |

| | | | 6 | 11

Для заполнения таблицы необходимо понимать взаимосвязь между частным, делимым, делителем и дробью, числителем, знаменателем. Частное от деления двух чисел $a:b$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$. В этом случае число $a$ является одновременно делимым и числителем, а число $b$ — делителем и знаменателем.

Строка 1

В этой строке задано частное $5 : 8$. Частное — это операция деления, где первое число является делимым, а второе — делителем. Таким образом, делимое равно 5, а делитель равен 8. Любое частное можно представить в виде дроби, где делимое является числителем, а делитель — знаменателем. Следовательно, дробь будет $\frac{5}{8}$. Из этой дроби видно, что числитель равен 5, а знаменатель равен 8.

Ответ: Делимое - 5, Делитель - 8, Дробь - $\frac{5}{8}$, Числитель - 5, Знаменатель - 8.

Строка 2

В этой строке заданы делимое 7 и делитель 9. Частное — это запись деления делимого на делитель, то есть $7 : 9$. Чтобы получить дробь, нужно записать делимое в числитель, а делитель — в знаменатель. Таким образом, дробь равна $\frac{7}{9}$. Соответственно, числитель этой дроби — 7, а знаменатель — 9.

Ответ: Частное - 7 : 9, Дробь - $\frac{7}{9}$, Числитель - 7, Знаменатель - 9.

Строка 3

В этой строке задана дробь $\frac{3}{12}$. Верхнее число дроби называется числителем, а нижнее — знаменателем. Значит, числитель равен 3, а знаменатель равен 12. Поскольку числитель соответствует делимому, а знаменатель — делителю, получаем, что делимое равно 3, а делитель равен 12. Частное этих чисел записывается как $3 : 12$.

Ответ: Частное - 3 : 12, Делимое - 3, Делитель - 12, Числитель - 3, Знаменатель - 12.

Строка 4

В этой строке заданы числитель 6 и знаменатель 11. Дробь формируется из числителя и знаменателя, поэтому дробь будет $\frac{6}{11}$. Делимое равно числителю, а делитель — знаменателю. Следовательно, делимое равно 6, а делитель равен 11. Запись деления этих чисел, то есть частное, будет выглядеть как $6 : 11$.

Ответ: Частное - 6 : 11, Делимое - 6, Делитель - 11, Дробь - $\frac{6}{11}$.

8 Запиши множество дробей, знаменатель которых равен 8, а числитель больше 3, но меньше 7. Какая из этих дробей самая большая? Какая из них самая маленькая?

Запиши множество дробей, знаменатель которых равен 8, а числитель больше 3, но меньше 7.

По условию задачи, нам нужно найти дроби, у которых знаменатель равен 8. Обозначим числитель буквой n. Условие для числителя: он должен быть больше 3, но меньше 7. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < n < 7$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это 4, 5 и 6.

Составим дроби с этими числителями и знаменателем 8:

$\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}$

Таким образом, искомое множество дробей: {$\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}$}.

Ответ: {$\frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}$}

Какая из этих дробей самая большая?

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей является та дробь, у которой числитель больше.

Сравним числители наших дробей: $4 < 5 < 6$.

Самый большой числитель — 6. Следовательно, самая большая дробь — $\frac{6}{8}$.

Ответ: $\frac{6}{8}$

Какая из них самая маленькая?

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями меньшей является та дробь, у которой числитель меньше.

Самый маленький числитель из чисел 4, 5 и 6 — это 4. Следовательно, самая маленькая дробь — $\frac{4}{8}$.

Ответ: $\frac{4}{8}$

3 Вырежь из бумаги два любых угла. Определи с помощью наложения, какой из них больше, а какой меньше. Сделай запись.

Это практическое задание, которое нужно выполнить с помощью бумаги и ножниц. Решение описывает шаги, которые необходимо проделать, и как записать результат.

1. Вырезание углов

Возьмите лист бумаги и нарисуйте на нём два любых угла. Они могут быть разными по величине: например, один острый, а другой тупой, или оба острых, но один заметно больше другого. Обозначим их для удобства как Угол 1 ($\angle 1$) и Угол 2 ($\angle 2$). Аккуратно вырежьте оба угла по нарисованным линиям.

2. Сравнение углов методом наложения

Чтобы определить, какой угол больше, а какой меньше, их нужно сравнить. Для этого используется метод наложения:

• Возьмите вырезанный Угол 1 и положите его на Угол 2.

• Совместите их вершины. Вершина одного угла должна оказаться точно над вершиной другого.

• Совместите одну из сторон Угла 1 с одной из сторон Угла 2 так, чтобы они полностью совпадали.

Теперь посмотрите, как расположена вторая сторона Угла 1 относительно второй стороны Угла 2. Возможны три варианта:

а) Вторая сторона Угла 1 находится внутри Угла 2. Это значит, что Угол 1 меньше Угла 2.

б) Вторая сторона Угла 1 находится снаружи Угла 2. Это значит, что Угол 1 больше Угла 2.

в) Вторые стороны обоих углов полностью совпали. Это значит, что углы равны.

3. Запись результата

Результат сравнения нужно записать с помощью математических знаков «больше» ($>$), «меньше» ($<$) или «равно» ($=$).

• Если Угол 1 оказался меньше Угла 2 (случай а), запись будет такой: $\angle 1 < \angle 2$.

• Если Угол 1 оказался больше Угла 2 (случай б), запись будет такой: $\angle 1 > \angle 2$.

• Если углы оказались равны (случай в), запись будет такой: $\angle 1 = \angle 2$.

Ответ: Результат сравнения зависит от конкретных углов, которые вы вырезали. Например, если при наложении Угол 1 оказался меньше Угла 2, то правильная запись будет: $\angle 1 < \angle 2$.

4 Сравни углы:

$\angle COB$ $\angle AOB$

$\angle AOC$ $\angle AOB$

∠COB ☐ ∠AOB

На изображении луч $OC$ проходит внутри угла $\angle AOB$. Это означает, что угол $\angle AOB$ состоит из двух углов: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Следовательно, величина угла $\angle AOB$ равна сумме величин углов, на которые он разделен: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

Так как $\angle AOC$ является углом с положительной градусной мерой ($\angle AOC > 0^\circ$), то угол $\angle COB$ является только частью угла $\angle AOB$. Из этого следует, что угол $\angle COB$ меньше угла $\angle AOB$.

Ответ: $\angle COB < \angle AOB$.

∠AOC ☐ ∠AOB

Аналогично первому пункту, исходя из свойства сложения углов, мы знаем, что: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

Поскольку величина угла $\angle COB$ также больше нуля ($\angle COB > 0^\circ$), то угол $\angle AOC$ также является частью всего угла $\angle AOB$. Поэтому угол $\angle AOC$ меньше угла $\angle AOB$.

Ответ: $\angle AOC < \angle AOB$.

5 Вырежь из бумаги угол. Проведи луч, выходящий из его вершины. На сколько частей этот луч делит угол? Сравни получившиеся углы перегибанием листа.

Это практическое задание по геометрии. Для его выполнения нужно следовать инструкциям и проанализировать результат.

1. Сначала нужно вырезать из листа бумаги фигуру в виде угла. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначим вершину угла буквой $O$, а его стороны — лучами $OA$ и $OC$. Таким образом, мы имеем угол $\angle AOC$.

2. Затем нужно провести луч, выходящий из вершины $O$ и проходящий между сторонами угла $OA$ и $OC$. Назовем этот луч $OB$.

Проведенный луч $OB$, который выходит из вершины угла $\angle AOC$ и проходит между его сторонами, делит этот угол на два новых угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Таким образом, один луч, проведенный из вершины внутри угла, делит его на две части (два меньших угла).

Сумма градусных мер получившихся углов равна градусной мере исходного угла: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$.

Ответ: этот луч делит угол на 2 части.

Чтобы сравнить два получившихся угла, $\angle AOB$ и $\angle BOC$, нужно использовать метод наложения, который в данном случае реализуется через перегибание бумажной модели.

Для этого необходимо согнуть лист бумаги точно по линии проведенного луча $OB$. После этого одна часть исходного угла (например, та, где находится угол $\angle AOB$) наложится на другую часть (где находится угол $\angle BOC$). Теперь можно сравнить углы, посмотрев, как расположились их стороны $OA$ и $OC$ относительно друг друга.

Возможны три варианта:

1. Сторона $OA$ после сгибания точно совпала со стороной $OC$. Это означает, что углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ равны. В таком случае луч $OB$ является биссектрисой угла $\angle AOC$.
2. Сторона $OA$ после сгибания оказалась внутри угла $\angle BOC$ (то есть между лучом $OB$ и лучом $OC$ на другой стороне сгиба). Это означает, что $\angle AOB$ меньше, чем $\angle BOC$.
3. Сторона $OA$ после сгибания оказалась снаружи угла $\angle BOC$. Это означает, что $\angle AOB$ больше, чем $\angle BOC$.

Так как луч $OB$ проводился произвольно, то, скорее всего, получится второй или третий вариант, то есть углы будут не равны.

Ответ: сравнение углов перегибанием листа по общему лучу $OB$ позволяет определить их соотношение. Если стороны $OA$ и $OC$ совпадут, углы равны. Если одна сторона окажется внутри другого угла, то соответствующий ей угол меньше.

6 а) Вырежь из листа бумаги угол. Перегни его так, чтобы стороны угла совпали. Полученный луч делит угол на две равные части. Этот луч называется биссектрисой.

биссектриса

б) Начерти угол на кальке. Построй на глаз биссектрису этого угла. Проверь правильность построения с помощью перегибания листа.

а)

В этом пункте дается определение биссектрисы угла и описывается наглядный способ ее построения с помощью перегибания бумаги. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять лист бумаги и начертить на нем любой угол, например, $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$.
2. Вырезать этот угол по его сторонам $OA$ и $OB$.
3. Сложить (перегнуть) вырезанный угол так, чтобы его стороны, лучи $OA$ и $OB$, полностью совпали друг с другом. Важно, чтобы линия сгиба проходила через вершину угла $O$.
4. Хорошо прогладить линию сгиба, а затем развернуть бумагу.

Линия сгиба, которая представляет собой луч, выходящий из вершины угла $O$, и есть биссектриса этого угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Метод перегибания позволяет точно найти биссектрису, потому что при совмещении сторон исходного угла ($\angle AOB$) мы фактически создаем два новых угла, которые при наложении друг на друга совпадают, а значит, они равны. Если $OC$ — это полученная линия сгиба (биссектриса), то $\angle AOC = \angle COB$.

Ответ: В данном пункте описан метод нахождения биссектрисы угла путем его перегибания так, чтобы стороны угла совпали. Полученная линия сгиба и является биссектрисой.

б)

Это практическое задание, которое нужно выполнить по шагам, используя кальку (тонкую полупрозрачную бумагу).

1. Начертить угол на кальке. Возьмите лист кальки и начертите на нем произвольный угол. Обозначим его, например, $\angle MKN$ с вершиной в точке $K$.
2. Построить на глаз биссектрису. Не используя измерительных инструментов (таких как транспортир), проведите из вершины $K$ луч, который, по вашему мнению, делит угол $\angle MKN$ пополам. Назовем этот луч $KP$.
3. Проверить правильность построения. Чтобы проверить, является ли луч $KP$ биссектрисой, воспользуйтесь методом из пункта а). Перегните кальку по начерченному вами лучу $KP$.
   • Если стороны угла, лучи $KM$ и $KN$, при перегибании полностью совпали, это означает, что вы построили биссектрису правильно. Углы $\angle MKP$ и $\angle PKN$ равны.
   • Если стороны угла не совпали (один луч оказался выше или ниже другого), значит, ваше построение "на глаз" было неточным, и луч $KP$ не является биссектрисой.

Этот метод проверки наглядно демонстрирует свойство биссектрисы делить угол на две равные части.

Ответ: Чтобы выполнить задание, нужно начертить угол на кальке, провести луч из его вершины "на глаз", стараясь разделить угол пополам, а затем проверить точность построения, согнув кальку по этому лучу и убедившись, что стороны исходного угла совпали.

7. а) Вырежь из листа бумаги треугольник. Построй перегибанием листа биссектрисы его углов.

б) Вырежь из листа бумаги прямоугольник. Построй перегибанием листа биссектрисы его углов.

Какие закономерности ты наблюдаешь?

а)

Чтобы построить биссектрисы углов треугольника методом перегибания, нужно выполнить следующие шаги:

1. Вырежьте из бумаги произвольный треугольник. Обозначим его вершины как A, B и C.
2. Для построения биссектрисы угла A, аккуратно согните треугольник так, чтобы сторона AB наложилась на сторону AC. Прогладьте линию сгиба. Эта линия, исходящая из вершины A, является биссектрисой угла A.
3. Разверните лист. Повторите ту же процедуру для угла B: согните треугольник, совмещая стороны BA и BC. Линия сгиба будет биссектрисой угла B.
4. Аналогично постройте биссектрису для угла C, совмещая стороны CA и CB.

После выполнения этих действий можно наблюдать, что все три линии сгиба (биссектрисы) пересекаются в одной-единственной точке внутри треугольника. Эта точка называется инцентром — центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Все три биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

б)

Для построения биссектрис углов прямоугольника методом перегибания, выполним следующие шаги:

1. Вырежьте из бумаги прямоугольник. Все его углы прямые и равны $90^\circ$.
2. Чтобы построить биссектрису одного из углов, нужно согнуть лист в этой вершине так, чтобы две смежные стороны прямоугольника совпали. Линия сгиба разделит прямой угол на два угла по $45^\circ$.
3. Проделайте это для всех четырех углов прямоугольника.

При анализе полученных линий сгиба можно заметить два возможных случая:

• Случай 1: Прямоугольник является квадратом. В этом случае все стороны равны. Биссектрисы углов являются диагоналями квадрата. Все четыре линии сгиба пересекутся в одной точке — центре квадрата.
• Случай 2: Прямоугольник не является квадратом (его длина и ширина различны). В этом случае биссектрисы не пересекаются в одной точке. Вместо этого они, пересекаясь друг с другом, образуют в центре прямоугольника новую фигуру. Эта фигура всегда является квадратом.

Ответ: Если прямоугольник является квадратом, биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке. Если прямоугольник не является квадратом, биссектрисы его углов образуют в центре небольшой квадрат.

Какие закономерности ты наблюдаешь?

На основе выполненных построений можно выявить следующие закономерности:

1. Для треугольника: Независимо от вида треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, равнобедренный или разносторонний), биссектрисы его трех углов всегда пересекаются в одной точке.
2. Для прямоугольника: Свойство пересечения всех биссектрис в одной точке выполняется не всегда. Оно справедливо только для частного случая прямоугольника — квадрата. В общем случае (для неквадратного прямоугольника) биссектрисы образуют новую замкнутую фигуру (квадрат).

Ответ: Основная наблюдаемая закономерность состоит в том, что свойство пересечения всех биссектрис в одной точке является универсальным для любого треугольника, но не для любого прямоугольника (оно выполняется только для квадрата).

8 Сравни на глаз углы. Расположи соответствующие буквы в порядке возрастания величин углов, и ты узнаешь имя знаменитого правителя Древнего Египта.

Для решения этой задачи необходимо визуально сравнить величину каждого из пяти углов и расположить соответствующие им буквы в порядке возрастания, то есть от самого маленького угла к самому большому.

1. Анализ и сравнение углов

Оценим каждый угол по его раскрытию:

• Угол Х: Это самый "узкий", то есть самый маленький острый угол.

• Угол Е: Это тоже острый угол, но он визуально немного больше (шире), чем угол Х.

• Угол О: Квадратный значок в вершине угла указывает, что это прямой угол. Его величина составляет $90^{\circ}$. Он больше любого острого угла.

• Угол П: Это тупой угол, так как он очевидно больше прямого угла О.

• Угол С: Это самый "раскрытый", то есть самый большой тупой угол из всех представленных.

2. Расположение углов в порядке возрастания

Исходя из анализа, выстраиваем углы в последовательности от наименьшего к наибольшему:

Угол Х < Угол Е < Угол О < Угол П < Угол С

3. Составление имени

Теперь запишем буквы, которые соответствуют углам, в полученном порядке:

Х, Е, О, П, С

Сложив эти буквы, мы получаем имя знаменитого фараона Древнего Египта.

Ответ: ХЕОПС.