Страница 95, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

2 a) Назови катеты и гипотенузу каждого треугольника. Обведи катеты красным карандашом, а гипотенузу — синим.

б) Измерь катеты треугольников, изображённых на рисунке, и вычисли площади треугольников.

В каждом из представленных прямоугольных треугольников стороны, образующие прямой угол (он обозначен маленьким квадратом), являются катетами. Сторона, которая лежит напротив прямого угла, является гипотенузой.

Определим катеты и гипотенузу для каждого треугольника:

• В треугольнике AKM прямой угол находится при вершине K. Следовательно, катеты — это стороны AK и KM, а гипотенуза — сторона AM.
• В треугольнике CDE прямой угол находится при вершине D. Следовательно, катеты — это стороны CD и DE, а гипотенуза — сторона CE.
• В треугольнике BST прямой угол находится при вершине T. Следовательно, катеты — это стороны BT и TS, а гипотенуза — сторона BS.
• В треугольнике RXY прямой угол находится при вершине X. Следовательно, катеты — это стороны RX и XY, а гипотенуза — сторона RY.

Ответ: В треугольнике AKM катеты — AK и KM, гипотенуза — AM; в треугольнике CDE катеты — CD и DE, гипотенуза — CE; в треугольнике BST катеты — BT и TS, гипотенуза — BS; в треугольнике RXY катеты — RX и XY, гипотенуза — RY.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — это длины его катетов. Для этого сначала измерим длины катетов каждого треугольника. (Примечание: результаты измерений являются приблизительными и зависят от масштаба изображения).

• Треугольник AKM:
  Измерим катеты: $AK \approx 1,5$ см, $KM \approx 3$ см.
  Вычислим площадь: $S_{AKM} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 2,25 \text{ см}^2$.
• Треугольник CDE:
  Измерим катеты: $CD \approx 2$ см, $DE \approx 2$ см.
  Вычислим площадь: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.
• Треугольник BST:
  Измерим катеты: $BT \approx 1,5$ см, $TS \approx 2,5$ см.
  Вычислим площадь: $S_{BST} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \text{ см} \cdot 2,5 \text{ см} = 1,875 \text{ см}^2$.
• Треугольник RXY:
  Измерим катеты: $RX \approx 2,5$ см, $XY \approx 1,5$ см.
  Вычислим площадь: $S_{RXY} = \frac{1}{2} \cdot 2,5 \text{ см} \cdot 1,5 \text{ см} = 1,875 \text{ см}^2$.

Ответ: На основе выполненных измерений, площади треугольников равны: $S_{AKM} \approx 2,25 \text{ см}^2$; $S_{CDE} \approx 2 \text{ см}^2$; $S_{BST} \approx 1,875 \text{ см}^2$; $S_{RXY} \approx 1,875 \text{ см}^2$.

3 Найди площади закрашенных фигур:

1) Фигура 1 представляет собой прямоугольный треугольник ABC.
Длины катетов: $AB = 2 \text{ см}$, $BC = 3 \text{ см}$.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$

2) Фигура 2 представляет собой трапецию DKFE.
Ее можно разделить на прямоугольник и прямоугольный треугольник.
Высота фигуры: $3 \text{ см}$.
Нижнее основание: $3 \text{ см} + 2 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Верхнее основание: $3 \text{ см}$.
Площадь прямоугольника (части): $3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$
Площадь треугольника (части): $\frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$

3) Фигура 3 представляет собой трапецию MNOP.
Ее можно разделить на центральный прямоугольник и два боковых треугольника.
Высота фигуры: $3 \text{ см}$.
Верхнее основание MN разделено на три отрезка: $2 \text{ см}$, $2 \text{ см}$, $2 \text{ см}$.
Площадь центрального прямоугольника: $2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$
Площадь одного бокового треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$

1) Фигура является прямоугольным треугольником. Его стороны, образующие прямой угол (катеты), равны $2$ см и $3$ см. Площадь прямоугольного треугольника находится как половина произведения его катетов.
Формула площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Подставляем данные значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Ответ: $3 \text{ см}^2$.

2) Эту фигуру можно разбить на две более простые: прямоугольник и прямоугольный треугольник.
Размеры прямоугольника: $3$ см на $3$ см. Его площадь:
$S_{прямоугольника} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.
Катеты прямоугольного треугольника равны $2$ см и $3$ см. Его площадь:
$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}^2$.
Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух частей:
$S_{общая} = S_{прямоугольника} + S_{треугольника} = 9 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$.
Ответ: $12 \text{ см}^2$.

3) Фигура представляет собой трапецию. Длина верхнего основания равна сумме длин трёх отрезков: $2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Высота трапеции равна $3$ см.
Для нахождения площади трапеции необходима длина нижнего основания, которая не указана. Однако, судя по разделению верхнего основания на три равные части, можно предположить, что фигура является параллелограммом, у которого верхнее и нижнее основания равны. В этом случае площадь вычисляется как произведение основания на высоту.
$S = \text{основание} \cdot \text{высота} = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.
Такой же ответ получается, если считать, что фигура состоит из трёх частей, площадь каждой из которых равна площади прямоугольника со сторонами $2$ см и $3$ см. Тогда общая площадь будет $3 \cdot (2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}) = 18 \text{ см}^2$.
Ответ: $18 \text{ см}^2$.

4 БЛИЦтурнир.

а) В соревнованиях участвовали $a$ человек.

Мальчики составили $\frac{3}{5}$ всех участников соревнований. Сколько было мальчиков?

б) В корзине $b$ яблок, что составляет $\frac{4}{7}$ от всех фруктов, лежащих в корзине.

Сколько всего фруктов в корзине?

в) В школе $c$ учеников. Из них 9% учатся в лицейских классах.

Сколько лицеистов в этой школе?

г) В пансионате отдыхает $d$ детей, что составляет 30% всех отдыхающих.

Сколько всего отдыхающих в этом пансионате?

а) Чтобы найти часть от целого, нужно целое умножить на дробь, выражающую эту часть. В данном случае, общее количество участников — это $a$ человек, а мальчики составляют $\frac{3}{5}$ от этого числа.
Количество мальчиков = $a \cdot \frac{3}{5} = \frac{3a}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}a$ мальчиков.

б) В этой задаче известна часть целого ($b$ яблок) и какую долю она составляет ($\frac{4}{7}$). Чтобы найти целое по его части, нужно эту часть разделить на дробь, которую она составляет.
Пусть $x$ — общее количество фруктов. Тогда $\frac{4}{7}$ от $x$ равно $b$.
$x = b : \frac{4}{7} = b \cdot \frac{7}{4} = \frac{7b}{4}$.
Ответ: $\frac{7b}{4}$ фруктов.

в) Эта задача на нахождение процента от числа. Всего в школе $c$ учеников, а лицеисты составляют 9% от них. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $9\% = \frac{9}{100} = 0.09$.
Затем умножим общее количество учеников на эту дробь:
Количество лицеистов = $c \cdot 0.09$.
Ответ: $0.09c$ лицеистов.

г) Эта задача на нахождение числа по его проценту. Известно, что $d$ детей составляют 30% от всех отдыхающих. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $30\% = \frac{30}{100} = 0.3$.
Чтобы найти общее количество отдыхающих, нужно известную часть ($d$) разделить на долю, которую она составляет (0.3).
Всего отдыхающих = $d : 0.3 = d : \frac{3}{10} = d \cdot \frac{10}{3} = \frac{10d}{3}$.
Ответ: $\frac{10d}{3}$ отдыхающих.

Реши уравнения:

a) $(a \cdot 16 - 720) : 30 = 8;$

б) $(95 - 380 : b) + 35 = 110.$

а) $(a \cdot 16 - 720) : 30 = 8$
В этом уравнении выражение в скобках $(a \cdot 16 - 720)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.
$a \cdot 16 - 720 = 8 \cdot 30$
$a \cdot 16 - 720 = 240$
Теперь $a \cdot 16$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$a \cdot 16 = 240 + 720$
$a \cdot 16 = 960$
Чтобы найти неизвестный множитель $a$, разделим произведение на известный множитель.
$a = 960 : 16$
$a = 60$
Проверка: $(60 \cdot 16 - 720) : 30 = (960 - 720) : 30 = 240 : 30 = 8$.
Ответ: $a = 60$

б) $(95 - 380 : b) + 35 = 110$
В данном уравнении выражение в скобках $(95 - 380 : b)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$95 - 380 : b = 110 - 35$
$95 - 380 : b = 75$
Теперь $380 : b$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$380 : b = 95 - 75$
$380 : b = 20$
Чтобы найти неизвестный делитель $b$, нужно делимое разделить на частное.
$b = 380 : 20$
$b = 19$
Проверка: $(95 - 380 : 19) + 35 = (95 - 20) + 35 = 75 + 35 = 110$.
Ответ: $b = 19$

9 a) Расшифруй высказывание известного американского учёного и предпринимателя Томаса Эдисона, автора сотен изобретений!

1) $3 \frac{2}{5} - \frac{3}{5} + 1 \frac{4}{5}$

2) $8 \frac{7}{9} - 3 \frac{4}{9} + 5 \frac{8}{9}$

3) $25 \frac{13}{40} - (24 \frac{13}{40} + \frac{19}{40})$

4) $(24 \frac{9}{11} + 8 \frac{7}{11}) - 24 \frac{9}{11}$

5) $(4 \frac{17}{30} + 52 \frac{29}{30}) - 50 \frac{29}{30}$

6) $(4 - 1 \frac{2}{7}) - (\frac{6}{7} + 1 \frac{1}{7})$

7) $(12 \frac{1}{8} - 4 \frac{5}{8} + 0) - 6 \frac{7}{8}$

8) $(1 \frac{3}{17} + 5 \frac{16}{17}) + (1 \frac{1}{17} + 2 \frac{14}{17}) - 5 \frac{12}{17}$

огонь $-$ $6 \frac{19}{30}$

тише $-$ $5 \frac{3}{5}$

начало $-$ $1 \frac{19}{40}$

вдохновения $-$ $6 \frac{17}{30}$

состоит $-$ $11 \frac{2}{9}$

из $-$ $\frac{21}{40}$

воды $-$ $12 \frac{2}{9}$

99% $-$ $\frac{5}{8}$

гений $-$ $4 \frac{3}{5}$

и $-$ $\frac{5}{7}$

масла $-$ $1 \frac{5}{7}$

подливать $-$ $2 \frac{5}{8}$

ниже $-$ $7 \frac{7}{11}$

за $-$ $6 \frac{5}{17}$

потения $-$ $5 \frac{5}{17}$

1% $-$ $8 \frac{7}{11}$

язык $-$ $3 \frac{3}{5}$

б) Запиши последовательно остатки от деления в пустые клетки, и ты узнаешь годы жизни Томаса Эдисона.

1) 76 : 15

2) 176 : 24

3) 148 : 16

4) 322 : 35

5) 470 : 67

6) 609 : 75

7) 19203 : 96

8) 74429 : 92

____ - ____

а) Для того чтобы расшифровать высказывание, необходимо решить каждый пример и сопоставить результат с соответствующим словом.

1) $3\frac{2}{5} - \frac{3}{5} + 1\frac{4}{5}$

Сгруппируем целые и дробные части: $(3+1) + (\frac{2}{5} - \frac{3}{5} + \frac{4}{5}) = 4 + \frac{2-3+4}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$.

Результат $4\frac{3}{5}$ соответствует слову "гений".

Ответ: $4\frac{3}{5}$.

2) $8\frac{7}{9} - 3\frac{4}{9} + 5\frac{8}{9}$

Сгруппируем целые и дробные части: $(8 - 3 + 5) + (\frac{7}{9} - \frac{4}{9} + \frac{8}{9}) = 10 + \frac{7-4+8}{9} = 10 + \frac{11}{9}$.

Так как $\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$, то $10 + 1\frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$.

Результат $11\frac{2}{9}$ соответствует слову "состоит".

Ответ: $11\frac{2}{9}$.

3) $25\frac{13}{40} - (24\frac{13}{40} + \frac{19}{40})$

Раскроем скобки: $25\frac{13}{40} - 24\frac{13}{40} - \frac{19}{40}$.

Выполним вычитание смешанных чисел: $(25\frac{13}{40} - 24\frac{13}{40}) - \frac{19}{40} = 1 - \frac{19}{40}$.

Представим 1 как $\frac{40}{40}$ и выполним вычитание: $\frac{40}{40} - \frac{19}{40} = \frac{21}{40}$.

Результат $\frac{21}{40}$ соответствует слову "из".

Ответ: $\frac{21}{40}$.

4) $(24\frac{9}{11} + 8\frac{7}{11}) - 24\frac{9}{11}$

Воспользуемся свойством вычитания: $(24\frac{9}{11} - 24\frac{9}{11}) + 8\frac{7}{11} = 0 + 8\frac{7}{11} = 8\frac{7}{11}$.

Результат $8\frac{7}{11}$ соответствует "1%".

Ответ: $8\frac{7}{11}$.

5) $(4\frac{17}{30} + 52\frac{29}{30}) - 50\frac{29}{30}$

Сгруппируем члены: $4\frac{17}{30} + (52\frac{29}{30} - 50\frac{29}{30}) = 4\frac{17}{30} + 2 = 6\frac{17}{30}$.

Результат $6\frac{17}{30}$ соответствует слову "вдохновения".

Ответ: $6\frac{17}{30}$.

6) $(4 - 1\frac{2}{7}) - (\frac{6}{7} + 1\frac{1}{7})$

Вычислим значение в первой скобке: $4 - 1\frac{2}{7} = 3\frac{7}{7} - 1\frac{2}{7} = 2\frac{5}{7}$.

Вычислим значение во второй скобке: $\frac{6}{7} + 1\frac{1}{7} = 1 + \frac{6+1}{7} = 1 + \frac{7}{7} = 1+1=2$.

Вычтем второе из первого: $2\frac{5}{7} - 2 = \frac{5}{7}$.

Результат $\frac{5}{7}$ соответствует слову "и".

Ответ: $\frac{5}{7}$.

7) $(12\frac{1}{8} - 4\frac{5}{8} + 0) - 6\frac{7}{8}$

Раскроем скобки: $12\frac{1}{8} - 4\frac{5}{8} - 6\frac{7}{8}$.

Выполним первое вычитание: $12\frac{1}{8} - 4\frac{5}{8} = 11\frac{9}{8} - 4\frac{5}{8} = 7\frac{4}{8}$.

Выполним второе вычитание: $7\frac{4}{8} - 6\frac{7}{8} = 6\frac{12}{8} - 6\frac{7}{8} = \frac{5}{8}$.

Результат $\frac{5}{8}$ соответствует "99%".

Ответ: $\frac{5}{8}$.

8) $(1\frac{3}{17} + 5\frac{16}{17}) + (1\frac{1}{17} + 2\frac{14}{17}) - 5\frac{12}{17}$

Вычислим значение в первой скобке: $1\frac{3}{17} + 5\frac{16}{17} = 6\frac{19}{17} = 7\frac{2}{17}$.

Вычислим значение во второй скобке: $1\frac{1}{17} + 2\frac{14}{17} = 3\frac{15}{17}$.

Соберем все вместе: $7\frac{2}{17} + 3\frac{15}{17} - 5\frac{12}{17} = (7+3-5) + (\frac{2+15-12}{17}) = 5 + \frac{5}{17} = 5\frac{5}{17}$.

Результат $5\frac{5}{17}$ соответствует слову "потения".

Ответ: $5\frac{5}{17}$.

Собрав все слова в порядке нумерации примеров, получаем известное высказывание Томаса Эдисона:

"Гений состоит из 1% вдохновения и 99% потения."

б) Чтобы узнать годы жизни Томаса Эдисона, необходимо найти остатки от деления в каждом примере и записать их последовательно.

1) $76 : 15$. $15 \times 5 = 75$. $76 - 75 = 1$. Остаток 1. Ответ: 1.

2) $176 : 24$. $24 \times 7 = 168$. $176 - 168 = 8$. Остаток 8. Ответ: 8.

3) $148 : 16$. $16 \times 9 = 144$. $148 - 144 = 4$. Остаток 4. Ответ: 4.

4) $322 : 35$. $35 \times 9 = 315$. $322 - 315 = 7$. Остаток 7. Ответ: 7.

5) $470 : 67$. $67 \times 7 = 469$. $470 - 469 = 1$. Остаток 1. Ответ: 1.

6) $609 : 75$. $75 \times 8 = 600$. $609 - 600 = 9$. Остаток 9. Ответ: 9.

7) $19203 : 96$. $19203 = 96 \times 200 + 3$. Остаток 3. Ответ: 3.

8) $74429 : 92$. $74429 = 92 \times 809 + 1$. Остаток 1. Ответ: 1.

Теперь запишем полученные остатки последовательно в пустые клетки:

1, 8, 4, 7, 1, 9, 3, 1.

Эти цифры образуют год рождения и год смерти изобретателя.

Годы жизни Томаса Эдисона: 1847 – 1931.

67 Бассейн вмещает $3600\text{ м}^3$ воды. Две трубы, работая вместе, наполняют его за 12 ч, а одна первая труба — за 20 ч. На сколько быстрее наполняет бассейн одна первая труба, чем одна вторая?

Для решения задачи необходимо определить производительность (скорость наполнения) каждой трубы. Производительность — это объем работы, выполненный за единицу времени. В данном случае это объем воды (в м³), подаваемый за один час.

1. Определим общую производительность двух труб.
Известно, что две трубы вместе наполняют бассейн объемом $3600 \text{ м}^3$ за $12$ часов.
Их совместная производительность ($P_{общ}$) равна:
$P_{общ} = \frac{V}{t_{общ}} = \frac{3600 \text{ м}^3}{12 \text{ ч}} = 300 \text{ м}^3/\text{ч}$.

2. Определим производительность первой трубы.
Известно, что одна первая труба наполняет тот же бассейн за $20$ часов.
Её производительность ($P_1$) равна:
$P_1 = \frac{V}{t_1} = \frac{3600 \text{ м}^3}{20 \text{ ч}} = 180 \text{ м}^3/\text{ч}$.

3. Определим производительность второй трубы.
Общая производительность двух труб равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$.
Отсюда можно найти производительность второй трубы ($P_2$):
$P_2 = P_{общ} - P_1 = 300 \text{ м}^3/\text{ч} - 180 \text{ м}^3/\text{ч} = 120 \text{ м}^3/\text{ч}$.

4. Сравним производительность первой и второй труб.
Чтобы узнать, на сколько быстрее первая труба наполняет бассейн, чем вторая, нужно найти разницу их производительностей:
$P_1 - P_2 = 180 \text{ м}^3/\text{ч} - 120 \text{ м}^3/\text{ч} = 60 \text{ м}^3/\text{ч}$.

Это означает, что первая труба подает на $60$ кубических метров воды в час больше, чем вторая труба.

Ответ: Первая труба наполняет бассейн на 60 м³/ч быстрее, чем вторая.

68 Для хоровой студии купили одинаковое число блузок и юбок, всего на сумму 26 тыс. 600 р. Одна юбка стоит 500 р., а одна блузка — 450 р. Сколько денег заплатили за все юбки?

Для решения задачи сначала определим стоимость одного комплекта, состоящего из одной юбки и одной блузки, так как по условию их было куплено одинаковое количество.

1. Найдем стоимость одного комплекта:

$500 \text{ руб. } + 450 \text{ руб. } = 950 \text{ руб.}$

2. Теперь узнаем, сколько всего комплектов было куплено. Для этого общую сумму покупки разделим на стоимость одного комплекта. Общая сумма составляет 26 тыс. 600 руб., то есть 26600 руб.

$26600 \text{ руб. } \div 950 \text{ руб. } = 28$

Следовательно, было куплено 28 юбок (и 28 блузок).

3. Наконец, вычислим, сколько денег заплатили за все юбки. Для этого умножим количество купленных юбок на цену одной юбки.

$28 \times 500 \text{ руб. } = 14000 \text{ руб.}$

Ответ: за все юбки заплатили 14 000 рублей.

69 Два огорода имеют форму прямоугольника. Площадь первого огорода равна $375 \text{ м}^2$, что на $225 \text{ м}^2$ меньше площади второго. Длина первого огорода $25 \text{ м}$, а второго — в 2 раза больше, чем первого. На сколько метров ширина второго огорода меньше ширины первого огорода?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдём ширину первого огорода.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ – это длина, а $b$ – ширина. Чтобы найти ширину, нужно площадь разделить на длину: $b = S / a$.
Известно, что площадь первого огорода ($S_1$) равна 375 м², а его длина ($a_1$) – 25 м.
Вычисляем ширину первого огорода ($b_1$):
$b_1 = 375 / 25 = 15$ м.

2. Найдём площадь второго огорода.
По условию, площадь первого огорода на 225 м² меньше площади второго. Это значит, что площадь второго огорода ($S_2$) на 225 м² больше площади первого.
Вычисляем площадь второго огорода:
$S_2 = 375 + 225 = 600$ м².

3. Найдём длину второго огорода.
Длина второго огорода ($a_2$) в 2 раза больше длины первого ($a_1$).
Вычисляем длину второго огорода:
$a_2 = 25 \times 2 = 50$ м.

4. Найдём ширину второго огорода.
Используя данные для второго огорода ($S_2 = 600$ м², $a_2 = 50$ м), находим его ширину ($b_2$):
$b_2 = S_2 / a_2 = 600 / 50 = 12$ м.

5. Сравним ширину двух огородов.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно найти разницу между шириной первого и второго огородов.
$b_1 - b_2 = 15 - 12 = 3$ м.

Ответ: ширина второго огорода на 3 метра меньше ширины первого огорода.

70 а) Один мастер работал 3 ч, а второй 5 ч. Вместе они сделали 120 деталей. Сколько деталей сделал каждый, если производительность у них одинаковая?

б) У фермера на первой пасеке 85 ульев, а на второй — 55. С первой пасеки сняли на 1620 кг мёда больше, чем со второй. Сколько килограммов мёда сняли с каждой пасеки, если с каждого улья получали мёда поровну?

а)

1. Сначала найдем общее время работы двух мастеров. Для этого сложим время работы каждого:

$3 \text{ ч} + 5 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

2. Теперь найдем их общую производительность (количество деталей в час). Так как производительность у них одинаковая, разделим общее количество сделанных деталей на общее время работы:

$120 \text{ деталей} \div 8 \text{ ч} = 15 \text{ деталей/час}$

3. Зная производительность, можем рассчитать, сколько деталей сделал каждый мастер. Умножим время работы каждого мастера на их общую производительность.

Количество деталей, сделанных первым мастером:

$3 \text{ ч} \times 15 \text{ деталей/час} = 45 \text{ деталей}$

Количество деталей, сделанных вторым мастером:

$5 \text{ ч} \times 15 \text{ деталей/час} = 75 \text{ деталей}$

Проверка: $45 + 75 = 120$ деталей, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый мастер сделал 45 деталей, а второй — 75 деталей.

б)

1. Найдем, на сколько ульев на первой пасеке больше, чем на второй. Эта разница в количестве ульев и дала разницу в количестве собранного мёда.

$85 \text{ ульев} - 55 \text{ ульев} = 30 \text{ ульев}$

2. Разница в 30 ульев дала дополнительные 1620 кг мёда. Теперь мы можем найти, сколько мёда получают с одного улья, разделив разницу в весе мёда на разницу в количестве ульев.

$1620 \text{ кг} \div 30 \text{ ульев} = 54 \text{ кг/улей}$

3. Теперь, зная, сколько мёда даёт один улей, рассчитаем, сколько мёда собрали с каждой пасеки. Для этого умножим количество ульев на каждой пасеке на количество мёда с одного улья.

Количество мёда с первой пасеки:

$85 \text{ ульев} \times 54 \text{ кг/улей} = 4590 \text{ кг}$

Количество мёда со второй пасеки:

$55 \text{ ульев} \times 54 \text{ кг/улей} = 2970 \text{ кг}$

Проверка: $4590 \text{ кг} - 2970 \text{ кг} = 1620$ кг, что соответствует условию задачи.

Ответ: с первой пасеки сняли 4590 кг мёда, а со второй — 2970 кг мёда.

71 Найди значение выражения удобным способом:

а) $32 + 34 + 36 + 38;$

б) $5 + 183 + 295 + 17;$

в) $2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5;$

г) $25 \cdot 49 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 20;$

д) $56 \cdot 29 + 71 \cdot 56.$

Свойства сложения и умножения

$a + b = b + a$

$(a + b) + c = a + (b + c)$

$a \cdot b = b \cdot a$

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

а) $32 + 34 + 36 + 38$

Чтобы найти значение выражения удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в сумме получались круглые числа:

$32 + 34 + 36 + 38 = (32 + 38) + (34 + 36)$

Вычислим суммы в скобках:

$32 + 38 = 70$

$34 + 36 = 70$

Теперь сложим полученные результаты:

$70 + 70 = 140$

Ответ: $140$

б) $5 + 183 + 295 + 17$

Используем переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, которые в сумме дают круглые числа:

$5 + 183 + 295 + 17 = (5 + 295) + (183 + 17)$

Вычислим суммы в каждой группе:

$5 + 295 = 300$

$183 + 17 = 200$

Сложим полученные результаты:

$300 + 200 = 500$

Ответ: $500$

в) $2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5$

Для удобства вычислений применим переместительное и сочетательное свойства умножения. Сгруппируем множители, произведение которых дает круглые числа (например, 10):

$2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 9)$

Вычислим произведения в скобках:

$2 \cdot 5 = 10$

$7 \cdot 9 = 63$

Теперь перемножим полученные результаты:

$10 \cdot 10 \cdot 63 = 100 \cdot 63 = 6300$

Ответ: $6300$

г) $25 \cdot 49 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 20$

Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать множители, дающие в произведении круглые числа (например, 100):

$25 \cdot 49 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 20 = (25 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 20) \cdot 49$

Вычислим произведения в скобках:

$25 \cdot 4 = 100$

$5 \cdot 20 = 100$

Перемножим полученные результаты и оставшийся множитель:

$100 \cdot 100 \cdot 49 = 10000 \cdot 49 = 490000$

Ответ: $490000$

д) $56 \cdot 29 + 71 \cdot 56$

В этом выражении мы видим два слагаемых, у которых есть общий множитель $56$. Применим распределительное свойство умножения относительно сложения $(a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c)$:

$56 \cdot 29 + 71 \cdot 56 = 56 \cdot (29 + 71)$

Сначала вычислим сумму в скобках:

$29 + 71 = 100$

Теперь умножим общий множитель на полученную сумму:

$56 \cdot 100 = 5600$

Ответ: $5600$

72 Запиши формулу деления с остатком. Выполни деление и сделай проверку по формуле:

$45243 \div 5$; $24975 \div 32$; $257992 \div 847$; $119370 \div 20$;

$24062 \div 8$; $222710 \div 73$; $144055 \div 496$; $5521400 \div 600$.

Формула деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, $r$ – остаток, причем $0 \le r < b$.

45243 : 5

Выполним деление: $45243 : 5 = 9048$ (остаток $3$).
Проверка по формуле: $5 \cdot 9048 + 3 = 45240 + 3 = 45243$.
Поскольку $45243 = 45243$, деление выполнено верно.

Ответ: $9048$ (ост. $3$).

24975 : 32

Выполним деление: $24975 : 32 = 780$ (остаток $15$).
Проверка по формуле: $32 \cdot 780 + 15 = 24960 + 15 = 24975$.
Поскольку $24975 = 24975$, деление выполнено верно.

Ответ: $780$ (ост. $15$).

257992 : 847

Выполним деление: $257992 : 847 = 304$ (остаток $504$).
Проверка по формуле: $847 \cdot 304 + 504 = 257488 + 504 = 257992$.
Поскольку $257992 = 257992$, деление выполнено верно.

Ответ: $304$ (ост. $504$).

119370 : 20

Выполним деление: $119370 : 20 = 5968$ (остаток $10$).
Проверка по формуле: $20 \cdot 5968 + 10 = 119360 + 10 = 119370$.
Поскольку $119370 = 119370$, деление выполнено верно.

Ответ: $5968$ (ост. $10$).

24062 : 8

Выполним деление: $24062 : 8 = 3007$ (остаток $6$).
Проверка по формуле: $8 \cdot 3007 + 6 = 24056 + 6 = 24062$.
Поскольку $24062 = 24062$, деление выполнено верно.

Ответ: $3007$ (ост. $6$).

222710 : 73

Выполним деление: $222710 : 73 = 3050$ (остаток $60$).
Проверка по формуле: $73 \cdot 3050 + 60 = 222650 + 60 = 222710$.
Поскольку $222710 = 222710$, деление выполнено верно.

Ответ: $3050$ (ост. $60$).

144055 : 496

Выполним деление: $144055 : 496 = 290$ (остаток $215$).
Проверка по формуле: $496 \cdot 290 + 215 = 143840 + 215 = 144055$.
Поскольку $144055 = 144055$, деление выполнено верно.

Ответ: $290$ (ост. $215$).

5521400 : 600

Выполним деление: $5521400 : 600 = 9202$ (остаток $200$).
Проверка по формуле: $600 \cdot 9202 + 200 = 5521200 + 200 = 5521400$.
Поскольку $5521400 = 5521400$, деление выполнено верно.

Ответ: $9202$ (ост. $200$).