Страница 90, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

9 a) Максим задумал число, вычел его из 740 и полученную разность умножил на 57. В результате у него получилось 40 185. Какое число задумал Максим? $(740 - x) \cdot 57 = 40185$

б) Аня задумала число, прибавила его к числу 789 и полученную сумму разделила на 8. В результате у нее получилось 4005. Какое число задумала Аня? $(789 + y) / 8 = 4005$

а)

Обозначим число, которое задумал Максим, переменной $x$.

Согласно условию задачи, он вычел это число из 740, получив разность $(740 - x)$.

Затем он умножил эту разность на 57 и в результате получил 40 185. Составим уравнение на основе этих действий:

$(740 - x) \cdot 57 = 40185$

Для решения уравнения сначала найдем неизвестный множитель $(740 - x)$, разделив произведение на известный множитель:

$740 - x = 40185 \div 57$

$740 - x = 705$

Теперь найдем неизвестное вычитаемое $x$:

$x = 740 - 705$

$x = 35$

Таким образом, Максим задумал число 35.

Ответ: 35.

б)

Обозначим число, которое задумала Аня, переменной $y$.

Согласно условию, она прибавила это число к числу 789, получив сумму $(y + 789)$.

Затем она разделила полученную сумму на 8 и в результате получила 4005. Составим уравнение:

$(y + 789) \div 8 = 4005$

Для решения уравнения сначала найдем неизвестное делимое $(y + 789)$, умножив частное на делитель:

$y + 789 = 4005 \cdot 8$

$y + 789 = 32040$

Теперь найдем неизвестное слагаемое $y$:

$y = 32040 - 789$

$y = 31251$

Таким образом, Аня задумала число 31 251.

Ответ: 31251.

10 За 6 ч автомобиль проехал 552 км, а поезд - 336 км. Какое расстояние проедет за 6 ч мотоциклист, если его скорость в 4 раза меньше суммы скоростей автомобиля и поезда?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем скорость автомобиля.
   Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. По условию, автомобиль проехал 552 км за 6 часов.
   $v_{авто} = S / t = 552 / 6 = 92$ км/ч.

2. Найдем скорость поезда.
   Поезд за то же время (6 часов) проехал 336 км.
   $v_{поезда} = S / t = 336 / 6 = 56$ км/ч.

3. Найдем сумму скоростей автомобиля и поезда.
   Сложим скорости, найденные в предыдущих пунктах.
   $v_{сумма} = v_{авто} + v_{поезда} = 92 + 56 = 148$ км/ч.

4. Найдем скорость мотоциклиста.
   Скорость мотоциклиста в 4 раза меньше суммы скоростей автомобиля и поезда. Для этого разделим сумму скоростей на 4.
   $v_{мото} = v_{сумма} / 4 = 148 / 4 = 37$ км/ч.

5. Найдем расстояние, которое проедет мотоциклист за 6 часов.
   Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.
   $S_{мото} = v_{мото} \times t = 37 \times 6 = 222$ км.

Ответ: 222 км.

11 a) $(16250 : 130 - 86) \cdot 9040 - 7008 \cdot (25094 - 24786) : 704;$

б) $30303 - (76 \cdot 507 + 68400 : 450) : 76 + 2350 \cdot (1050 - 441).$

а) $(16250 : 130 - 86) \cdot 9040 - 7008 \cdot (25094 - 24786) : 704$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце вычитание).

1. Сначала выполняем действия в первой скобке. Начнем с деления:
$16250 : 130 = 125$

2. Теперь вычитание в первой скобке:
$125 - 86 = 39$

3. Выполняем вычитание во второй скобке:
$25094 - 24786 = 308$

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$39 \cdot 9040 - 7008 \cdot 308 : 704$

5. Выполняем умножение и деление по порядку, слева направо. Первое умножение:
$39 \cdot 9040 = 352560$

6. Второе умножение:
$7008 \cdot 308 = 2158464$

7. Теперь деление:
$2158464 : 704 = 3066$

8. Наконец, выполняем вычитание:
$352560 - 3066 = 349494$

Ответ: 349494.

б) $30303 - (76 \cdot 507 + 68400 : 450) : 76 + 2350 \cdot (1050 - 441)$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения.

1. Сначала выполняем действия в первой скобке. Начнем с умножения:
$76 \cdot 507 = 38532$

2. Затем деление в первой скобке:
$68400 : 450 = 152$

3. Теперь сложение в первой скобке:
$38532 + 152 = 38684$

4. Выполняем вычитание во второй скобке:
$1050 - 441 = 609$

5. Подставим полученные значения в выражение:
$30303 - 38684 : 76 + 2350 \cdot 609$

6. Выполняем деление и умножение слева направо. Начнем с деления:
$38684 : 76 = 509$

7. Теперь умножение:
$2350 \cdot 609 = 1431150$

8. Подставим результаты в выражение:
$30303 - 509 + 1431150$

9. Выполняем вычитание и сложение слева направо. Сначала вычитание:
$30303 - 509 = 29794$

10. Теперь сложение:
$29794 + 1431150 = 1460944$

Ответ: 1460944.

12 Верно или неверно высказывание:

а) 45 кратно 5;

б) 32 не кратно 7;

в) 57 кратно 9;

г) 4 является делителем 20;

д) 18 является делителем 2;

е) 25 не является делителем 5?

а) Высказывание «45 кратно 5» означает, что число 45 должно делиться на 5 без остатка. Чтобы проверить это, выполним деление: $45 \div 5 = 9$. Так как деление выполняется нацело (результат — целое число), высказывание является верным. Ответ: верно

б) Высказывание «32 не кратно 7» означает, что при делении числа 32 на 7 должен получиться остаток, отличный от нуля. Проверим это: $32 = 7 \times 4 + 4$. Остаток от деления равен 4. Следовательно, 32 действительно не кратно 7, и высказывание является верным. Ответ: верно

в) Высказывание «57 кратно 9» означает, что 57 должно делиться на 9 без остатка. Можно использовать признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 57 равна $5 + 7 = 12$. Число 12 не делится на 9 нацело. Значит, и 57 не кратно 9. Высказывание является неверным. Ответ: неверно

г) Высказывание «4 является делителем 20» означает, что число 20 должно делиться на 4 без остатка. Проверим это делением: $20 \div 4 = 5$. Деление выполняется нацело, остатка нет. Это значит, что 4 является делителем числа 20, и высказывание является верным. Ответ: верно

д) Высказывание «18 является делителем 2» означает, что число 2 должно делиться на 18 без остатка. В множестве натуральных чисел делитель не может быть больше делимого. Так как $18 > 2$, число 18 не может быть делителем числа 2. Следовательно, высказывание является неверным. Ответ: неверно

е) Высказывание «25 не является делителем 5» означает, что число 5 не делится на 25 без остатка. Чтобы проверить, является ли 25 делителем 5, нужно разделить 5 на 25. Так как $5 < 25$, деление нацело в натуральных числах невозможно. Результат деления — дробное число $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. Значит, 25 действительно не является делителем 5, и исходное высказывание является верным. Ответ: верно

13 Выбери из множества {8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64}:

а) кратные числа 8

б) делители числа 48

а) кратные числа 8

Кратным числа 8 называется число, которое делится на 8 без остатка. Нам нужно выбрать такие числа из множества {8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64}. Проверим каждое число:
$8 \div 8 = 1$ (подходит)
$16 \div 8 = 2$ (подходит)
$24 \div 8 = 3$ (подходит)
$35 \div 8 = 4$ с остатком 3 (не подходит)
$40 \div 8 = 5$ (подходит)
$48 \div 8 = 6$ (подходит)
$54 \div 8 = 6$ с остатком 6 (не подходит)
$64 \div 8 = 8$ (подходит)
Таким образом, числа, кратные 8, это: 8, 16, 24, 40, 48, 64.
Ответ: 8, 16, 24, 40, 48, 64.

б) делители числа 48

Делителем числа 48 называется число, на которое 48 делится без остатка. Нам нужно выбрать такие числа из множества {8, 16, 24, 35, 40, 48, 54, 64}. Проверим каждое число:
$48 \div 8 = 6$ (подходит)
$48 \div 16 = 3$ (подходит)
$48 \div 24 = 2$ (подходит)
$48 \div 35$ — не делится нацело (не подходит)
$48 \div 40$ — не делится нацело (не подходит)
$48 \div 48 = 1$ (подходит)
$54 > 48$, поэтому не может быть делителем (не подходит)
$64 > 48$, поэтому не может быть делителем (не подходит)
Таким образом, делители числа 48 из данного множества: 8, 16, 24, 48.
Ответ: 8, 16, 24, 48.

14 Литературная викторина.

В каждой задаче найди значение буквенного выражения для всех значений переменной. В полном алфавите найди соответствующие им буквы и составь из полученных букв имя героя литературного произведения. Назови это литературное произведение и его автора.

1) $20 - a : 3$, если $a \in \{57, 15, 48, 42\}$;

2) $0 + 63 \cdot 0 + b \cdot 1$, если $b \in \{10, 13, 15, 19, 30\}$;

3) $94 + c : 1 - 94$, если $c \in \{6, 16, 17, 18, 30\}$;

4) $1 \cdot d - 65 : 65 + 0 : 6$, если $d \in \{27, 2, 17, 10, 22, 14, 13\}$.

Для решения этой литературной викторины необходимо выполнить вычисления для каждого пункта, подставив подходящее значение переменной из предложенного множества. Результаты вычислений — это порядковые номера букв в русском алфавите. Из полученных букв нужно составить имя литературного героя, а затем назвать произведение и его автора.

Русский алфавит для справки:
1-А, 2-Б, 3-В, 4-Г, 5-Д, 6-Е, 7-Ё, 8-Ж, 9-З, 10-И, 11-Й, 12-К, 13-Л, 14-М, 15-Н, 16-О, 17-П, 18-Р, 19-С, 20-Т, 21-У, 22-Ф, 23-Х, 24-Ц, 25-Ч, 26-Ш, 27-Щ, 28-Ъ, 29-Ы, 30-Ь, 31-Э, 32-Ю, 33-Я.

1) Выражение: $20 - a : 3$. Множество для $a$: $\{57, 15, 48, 42\}$.
Чтобы из полученных букв сложилось имя, нужно правильно подобрать значения переменных. Выберем $a = 48$.
Подставляем значение в выражение:
$20 - 48 : 3 = 20 - 16 = 4$
Числу 4 в русском алфавите соответствует буква Г.
Ответ: 4 (Буква Г).

2) Выражение: $0 + 63 \cdot 0 + b \cdot 1$. Множество для $b$: $\{10, 13, 15, 19, 30\}$.
Сначала упростим выражение, выполнив умножение:
$0 + 0 + b \cdot 1 = b$
Значение выражения равно значению переменной $b$. Выберем $b = 13$.
Числу 13 в русском алфавите соответствует буква Л.
Ответ: 13 (Буква Л).

3) Выражение: $94 + c : 1 - 94$. Множество для $c$: $\{6, 16, 17, 18, 30\}$.
Упростим выражение. Деление на 1 не меняет число, а $94$ и $-94$ взаимно уничтожаются:
$94 + c - 94 = c$
Значение выражения равно значению переменной $c$. Выберем $c = 6$.
Числу 6 в русском алфавите соответствует буква Е.
Ответ: 6 (Буква Е).

4) Выражение: $1 \cdot d - 65 : 65 + 0 : 6$. Множество для $d$: $\{27, 2, 17, 10, 22, 14, 13\}$.
Упростим выражение, выполнив действия умножения и деления:
$d - 1 + 0 = d - 1$
Выберем $d = 17$ и подставим в упрощенное выражение:
$17 - 1 = 16$
Числу 16 в русском алфавите соответствует буква О.
Ответ: 16 (Буква О).

В результате мы получили набор букв: {Г, Л, Е, О}.
Из этих букв можно составить имя ОЛЕГ.
Это имя отсылает нас к исторической личности, князю Олегу, который является главным героем литературного произведения «Песнь о вещем Олеге».
Автор этого произведения — Александр Сергеевич Пушкин.

Имя героя: Олег (Вещий Олег).
Литературное произведение: «Песнь о вещем Олеге».
Автор: А. С. Пушкин.

2 Поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми $600 \text{ км}$. Скорость первого поезда $70 \text{ км/ч}$, а скорость второго $80 \text{ км/ч}$. Какое расстояние было между поездами через $3 \text{ ч}$ после выхода? Через сколько времени после выхода они встретились?

$70 \text{ км/ч}$

$80 \text{ км/ч}$

?

$600 \text{ км}$

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько действий. Задача состоит из двух вопросов, на которые мы ответим по порядку.

Какое расстояние было между поездами через 3 ч после выхода?

Сначала определим, как быстро поезда сближаются друг с другом. Поскольку они движутся навстречу, их скорости складываются. Эта величина называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения поездов ($v_{сбл}$):
Скорость первого поезда $v_1 = 70$ км/ч.
Скорость второго поезда $v_2 = 80$ км/ч.
Скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 70 + 80 = 150$ км/ч.

2. Теперь рассчитаем, какое расстояние поезда преодолели вместе за 3 часа. Для этого умножим скорость сближения на время в пути ($t = 3$ ч):
$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 150 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 450$ км.

3. Изначально расстояние между поездами было 600 км. Чтобы найти оставшееся расстояние через 3 часа, вычтем из начального расстояния то, на которое они сблизились:
$S_{ост} = 600 \text{ км} - 450 \text{ км} = 150$ км.

Ответ: через 3 часа расстояние между поездами было 150 км.

Через сколько времени после выхода они встретились?

Поезда встретятся, когда суммарно они преодолеют все расстояние между городами, то есть 600 км. Мы уже знаем их общую скорость сближения — 150 км/ч.

1. Чтобы найти время до встречи ($t_{встр}$), нужно разделить общее расстояние ($S_{общ}$) на скорость сближения ($v_{сбл}$):
$t_{встр} = \frac{S_{общ}}{v_{сбл}} = \frac{600 \text{ км}}{150 \text{ км/ч}} = 4$ ч.

Ответ: поезда встретились через 4 часа после выхода.

3 Реши задачу двумя способами. Определи, какой из этих способов решения выгоднее. Почему?

«Из двух сёл выехали одновременно навстречу друг другу трактор и повозка с сеном и через $2 \text{ ч}$ встретились. Скорость трактора $9 \text{ км/ч}$, а скорость повозки $7 \text{ км/ч}$. Чему равно расстояние между сёлами?»

1 способ:

Этот способ заключается в том, чтобы найти расстояние, которое проехал каждый участник движения до встречи, а затем сложить эти расстояния.

1. Сначала найдем расстояние, которое проехал трактор за 2 часа. Для этого умножим его скорость на время в пути:
   $9 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 18 \text{ км}$
2. Теперь найдем расстояние, которое проехала повозка с сеном за 2 часа:
   $7 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 14 \text{ км}$
3. Чтобы найти общее расстояние между сёлами, сложим расстояния, пройденные трактором и повозкой до встречи:
   $18 \text{ км} + 14 \text{ км} = 32 \text{ км}$

Ответ: расстояние между сёлами равно 32 км.

2 способ:

Этот способ основан на понятии "скорость сближения". Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость, с которой они сближаются, равна сумме их скоростей.

1. Сначала найдем скорость сближения трактора и повозки. Для этого сложим их скорости:
   $9 \text{ км/ч} + 7 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$
   Это означает, что за каждый час расстояние между ними сокращается на 16 км.
2. Теперь, зная скорость сближения и время до встречи, найдем общее расстояние. Для этого умножим скорость сближения на время:
   $16 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 32 \text{ км}$

Ответ: расстояние между сёлами равно 32 км.

Какой из этих способов решения выгоднее. Почему?

Второй способ выгоднее (или рациональнее), потому что он требует меньше вычислительных действий. В первом способе мы выполняем три действия (два умножения и одно сложение), а во втором — только два (одно сложение и одно умножение). Решение задачи с помощью скорости сближения является более коротким и быстрым.

4 Составь по схемам задачи и реши их. Что ты замечаешь?

а) $4 \text{ км/ч}$

$5 \text{ км/ч}$

$? \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

б) $4 \text{ км/ч}$

$? \text{ км/ч}$

$27 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

в) $? \text{ км/ч}$

$5 \text{ км/ч}$

$27 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = 3 \text{ ч}$

г) $4 \text{ км/ч}$

$5 \text{ км/ч}$

$27 \text{ км}$

$t_{\text{встр.}} = ? \text{ ч}$

а)

Условие задачи: Два объекта движутся навстречу друг другу. Скорость первого объекта 4 км/ч, а скорость второго – 5 км/ч. Они встретились через 3 часа. Какое расстояние было между ними изначально?

Решение:

1. Найдём скорость сближения объектов. Для этого сложим их скорости:

$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Найдём первоначальное расстояние между объектами. Для этого умножим скорость сближения на время до встречи:

$S = v_{сбл.} \cdot t_{встр.} = 9 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 27 \text{ км}$

Ответ: 27 км.

б)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 27 км, навстречу друг другу одновременно выехали два объекта. Скорость первого объекта 4 км/ч. Они встретились через 3 часа. Какова скорость второго объекта?

Решение:

1. Найдём скорость сближения объектов, разделив расстояние на время:

$v_{сбл.} = S : t_{встр.} = 27 \text{ км} : 3 \text{ ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость второго объекта, вычтя из скорости сближения скорость первого объекта:

$v_2 = v_{сбл.} - v_1 = 9 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$

Ответ: 5 км/ч.

в)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 27 км, навстречу друг другу одновременно выехали два объекта. Скорость второго объекта 5 км/ч. Они встретились через 3 часа. Какова скорость первого объекта?

Решение:

1. Найдём скорость сближения объектов:

$v_{сбл.} = S : t_{встр.} = 27 \text{ км} : 3 \text{ ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость первого объекта:

$v_1 = v_{сбл.} - v_2 = 9 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$

Ответ: 4 км/ч.

г)

Условие задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 27 км, навстречу друг другу одновременно выехали два объекта. Скорость первого объекта 4 км/ч, а второго – 5 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1. Найдём скорость сближения объектов:

$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

2. Найдём время до встречи, разделив расстояние на скорость сближения:

$t_{встр.} = S : v_{сбл.} = 27 \text{ км} : 9 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: 3 ч.

Что ты замечаешь?

Все четыре задачи описывают одну и ту же ситуацию и используют одни и те же числовые значения для скорости, времени и расстояния. Задачи б), в) и г) являются обратными по отношению к задаче а). В каждой из обратных задач искомой величиной является та, которая была известна в первоначальной задаче, и наоборот. Они показывают взаимосвязь между величинами: расстоянием (S), скоростью ($v_1$, $v_2$) и временем (t).

5 Бассейн вмещает $300 \text{ м}^3$ воды и наполняется двумя трубами. Через первую трубу вода вливается со скоростью $20 \text{ м}^3/\text{ч}$, а через вторую — $30 \text{ м}^3/\text{ч}$. За сколько времени наполнится пустой бассейн при совместной работе обеих труб? Сколько воды вольется в бассейн за $4 \text{ ч}$? Какой объём при этом останется незаполненным?

За сколько времени наполнится пустой бассейн при совместной работе обеих труб?

1. Сначала найдем общую скорость наполнения бассейна, когда обе трубы работают вместе. Для этого сложим скорости поступления воды из каждой трубы:
$V_{общая} = 20 \, м^3/ч + 30 \, м^3/ч = 50 \, м^3/ч$
2. Теперь, зная общий объем бассейна ($300 \, м^3$) и общую скорость наполнения, вычислим время, необходимое для полного заполнения бассейна. Для этого разделим объем бассейна на общую скорость:
$t = \frac{Объем_{бассейна}}{V_{общая}} = \frac{300 \, м^3}{50 \, м^3/ч} = 6 \, ч$
Ответ: пустой бассейн наполнится за 6 часов.

Сколько воды вольется в бассейн за 4 ч?

Чтобы найти, какой объем воды наполнит бассейн за 4 часа совместной работы труб, нужно общую скорость наполнения ($50 \, м^3/ч$) умножить на заданное время (4 ч):
$V_{заполненный} = V_{общая} \times t = 50 \, м^3/ч \times 4 \, ч = 200 \, м^3$
Ответ: за 4 часа в бассейн вольется 200 м³ воды.

Какой объём при этом останется незаполненным?

Чтобы определить оставшийся незаполненный объем, необходимо из общего объема бассейна вычесть объем воды, который уже налился за 4 часа:
$V_{оставшийся} = Объем_{бассейна} - V_{заполненный} = 300 \, м^3 - 200 \, м^3 = 100 \, м^3$
Ответ: останется незаполненным 100 м³ объема.

34 Сравни числа, пользуясь их изображением на фрагменте координатного луча:

$a \text{□} d$

$b \text{□} c$

$c \text{□} a$

$d \text{□} b$

Координатный луч: $a, c, d, b$

Для сравнения чисел, отмеченных на координатном луче, воспользуемся правилом: число, расположенное на луче левее, меньше числа, расположенного правее. И наоборот, число, расположенное правее, больше числа, расположенного левее.

На данном фрагменте координатного луча точки расположены в следующем порядке (слева направо): a, c, d, b. Это значит, что выполняется неравенство: $a < c < d < b$.

a ☐ d

Точка a находится левее точки d. Следовательно, число a меньше числа d.

Ответ: $a < d$

b ☐ c

Точка b находится правее точки c. Следовательно, число b больше числа c.

Ответ: $b > c$

c ☐ a

Точка c находится правее точки a. Следовательно, число c больше числа a.

Ответ: $c > a$

d ☐ b

Точка d находится левее точки b. Следовательно, число d меньше числа b.

Ответ: $d < b$

35. Найди длину отрезка $AB$, если

а) $A (34)$, $B (60)$;

б) $A (89)$, $B (132)$;

в) $A (7512)$, $B (10 000)$.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, нужно из большей координаты вычесть меньшую. Длина отрезка AB, заданного координатами точек A($x_1$) и B($x_2$), вычисляется по формуле: $AB = |x_2 - x_1|$.

а) Даны точки A(34) и B(60).

Поскольку координата точки B больше координаты точки A ($60 > 34$), длина отрезка AB равна:

$AB = 60 - 34 = 26$

Ответ: 26

б) Даны точки A(89) и B(132).

Поскольку координата точки B больше координаты точки A ($132 > 89$), длина отрезка AB равна:

$AB = 132 - 89 = 43$

Ответ: 43

в) Даны точки A(7512) и B(10 000).

Поскольку координата точки B больше координаты точки A ($10000 > 7512$), длина отрезка AB равна:

$AB = 10000 - 7512 = 2488$

Ответ: 2488

36 На фрагменте координатного луча отмечено время в годах:

Точки обозначают следующие события:

A — запуск первого искусственного спутника Земли;

B — полёт первого космонавта Земли, россиянина Ю. А. Гагарина.

Дугой AB отмечен период времени от запуска первого спутника Земли до полета первого космонавта.

Обозначь на этом рисунке точкой E год твоего рождения,

F — год твоего поступления в школу. Дугой EK отметь период твоей жизни от рождения до настоящего времени,

а дугой FM — промежуток времени обучения в школе от поступления до окончания (в будущем).

Эта задача предполагает использование личных данных (год рождения, поступления в школу и т.д.). Поскольку я являюсь искусственным интеллектом, я решу эту задачу на примере гипотетического ученика, который родился в 2012 году и пошел в школу в 7 лет. Текущим годом будем считать 2024.

Сначала разберем данные, уже имеющиеся на координатном луче:

• Точка A соответствует 1957 году — году запуска первого искусственного спутника Земли.
• Точка B соответствует 1961 году — году полёта первого космонавта Ю. А. Гагарина.
• Дуга AB отмечает временной промежуток между этими событиями, который составляет $1961 - 1957 = 4$ года.

Теперь выполним задания на нашем примере.

Обозначь на этом рисунке точкой E год твоего рождения, F — год твоего поступления в школу.

1. Точка E (год рождения). В нашем примере ученик родился в 2012 году. На координатном луче эта точка будет находиться на второй малой отметке после большой отметки «2010».

2. Точка F (год поступления в школу). Если ученик пошел в школу в 7 лет, то год поступления рассчитывается так:

$2012 + 7 = 2019$ год.

Точка F будет находиться на девятой малой отметке после большой отметки «2010», то есть за одно деление до отметки «2020».

Ответ: Точка E соответствует 2012 году, точка F — 2019 году.

Дугой EK отметь период твоей жизни от рождения до настоящего времени.

1. Точка K (настоящее время). Мы приняли, что сейчас 2024 год. Точка K должна быть расположена на четвертой малой отметке после большой отметки «2020».

2. Дуга EK. Эта дуга соединит точку E (2012 год) и точку K (2024 год). Она будет обозначать возраст ученика на данный момент. Продолжительность этого периода составляет:

$2024 - 2012 = 12$ лет.

Ответ: Дуга EK соединяет на луче отметки 2012 и 2024.

Дугой FM отметь промежуток времени обучения в школе от поступления до окончания (в будущем).

1. Точка M (год окончания школы). Полный курс обучения в школе обычно длится 11 лет. Год поступления — F (2019 год). Тогда год окончания школы будет:

$2019 + 11 = 2030$ год.

Точка M будет находиться точно на большой отметке «2030».

2. Дуга FM. Эта дуга соединит точку F (2019 год) и точку M (2030 год), обозначая весь школьный период. Ее продолжительность составит 11 лет.

Ответ: Дуга FM соединяет на луче отметки 2019 и 2030.

37 Найди значение выражения удобным способом:

a) $2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085;$

б) $316 + 316 + 316 + 316 + 9407 + 9407 + 9407.$

Что значит — умножить число a на число b? Для чего сложение равных слагаемых заменяется умножением?

а) В данном выражении $2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085 + 2085$ слагаемое 2085 повторяется 8 раз. Удобный способ найти значение этого выражения — это заменить сложение одинаковых слагаемых умножением.
$2085 \cdot 8 = 16680$
Ответ: 16680

б) В выражении $316 + 316 + 316 + 316 + 9407 + 9407 + 9407$ есть две группы одинаковых слагаемых. Сгруппируем их и заменим сложение в каждой группе на умножение.
Слагаемое 316 повторяется 4 раза, а слагаемое 9407 — 3 раза.
Выражение можно записать в виде: $(316 \cdot 4) + (9407 \cdot 3)$.
Выполним вычисления по действиям:
1) $316 \cdot 4 = 1264$
2) $9407 \cdot 3 = 28221$
3) $1264 + 28221 = 29485$
Ответ: 29485

Что значит — умножить число а на число b?

Умножить число $a$ на натуральное число $b$ — это значит найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$. Это можно записать формулой: $a \cdot b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b \text{ слагаемых}}$. Числа $a$ и $b$ в этом выражении называются множителями, а результат их умножения — произведением.

Для чего сложение равных слагаемых заменяется умножением?

Сложение равных слагаемых заменяется умножением для удобства, сокращения математической записи и ускорения расчётов. Умножение позволяет представить длинную сумму одинаковых чисел в компактном виде, что делает выражение более понятным и наглядным. Кроме того, выполнение одной операции умножения, как правило, быстрее и проще, чем многократное сложение, что снижает вероятность допустить ошибку в вычислениях, особенно при большом количестве слагаемых.

38 a) Найди сумму 52 слагаемых, каждое из которых равно 3.

б) Найди произведение чисел 16 700 и 408.

а) Чтобы найти сумму 52 слагаемых, каждое из которых равно 3, нужно умножить количество слагаемых на значение одного слагаемого. По сути, это операция умножения.

Запишем это в виде математического выражения:

$52 \times 3$

Выполним вычисление:

$52 \times 3 = 156$

Следовательно, сумма 52 слагаемых, равных 3, составляет 156.

Ответ: 156

б) Чтобы найти произведение чисел 16 700 и 408, необходимо их перемножить.

Запишем выражение:

$16700 \times 408$

Для упрощения вычислений можно умножить 167 на 408, а затем к результату приписать два нуля.

Умножим 167 на 408:

$167 \times 408 = 167 \times (400 + 8) = 167 \times 400 + 167 \times 8 = 66800 + 1336 = 68136$

Теперь добавим два нуля к результату (что эквивалентно умножению на 100):

$68136 \times 100 = 6813600$

Произведение чисел 16 700 и 408 равно 6 813 600.

Ответ: 6 813 600

39 Прочитай выражение, сделай прикидку и вычисли:

a) $8019 \cdot 906;$

б) $753 000 \cdot 700;$

в) $60 280 \cdot 1004.$

а) 8019 · 906

Выражение читается так: произведение чисел восемь тысяч девятнадцать и девятьсот шесть.

Прикидка:

Округлим множители до ближайших круглых чисел, чтобы упростить вычисление:

$8019 \approx 8000$

$906 \approx 900$

Тогда примерное произведение равно: $8000 \cdot 900 = 7200000$.

Вычисление:

Вычислим точное значение, умножая в столбик:

 8019× 906------- 48114 000072171-------7265214 

Проверка с помощью распределительного свойства умножения:

$8019 \cdot 906 = 8019 \cdot (900 + 6) = 8019 \cdot 900 + 8019 \cdot 6 = 7217100 + 48114 = 7265214$.

Ответ: 7 265 214

б) 753 000 · 700

Выражение читается так: произведение чисел семьсот пятьдесят три тысячи и семьсот.

Прикидка:

Округлим первый множитель для удобства:

$753000 \approx 750000$

Тогда примерное произведение равно: $750000 \cdot 700 = 525000000$.

Вычисление:

Чтобы найти точное значение, можно умножить значащие части чисел ($753$ и $7$), а затем приписать к результату общее количество нулей.

1. Умножим $753$ на $7$:

$753 \cdot 7 = 5271$.

2. В первом множителе ($753 000$) три нуля, а во втором ($700$) два нуля. Всего $3+2=5$ нулей.

3. Приписываем пять нулей к результату $5271$:

$753000 \cdot 700 = 527100000$.

Ответ: 527 100 000

в) 60 280 · 1004

Выражение читается так: произведение чисел шестьдесят тысяч двести восемьдесят и одна тысяча четыре.

Прикидка:

Округлим множители:

$60280 \approx 60000$

$1004 \approx 1000$

Тогда примерное произведение равно: $60000 \cdot 1000 = 60000000$.

Вычисление:

Воспользуемся распределительным свойством умножения, представив $1004$ как сумму $1000 + 4$:

$60280 \cdot 1004 = 60280 \cdot (1000 + 4) = 60280 \cdot 1000 + 60280 \cdot 4$.

1. $60280 \cdot 1000 = 60280000$.

2. $60280 \cdot 4 = 241120$.

3. Сложим полученные результаты:

$60280000 + 241120 = 60521120$.

Ответ: 60 521 120

40 Перемножив числа 218 и 409, Аня получила 873 962, а Митя — 10 682. Докажи, что оба они ошиблись. В чем их ошибки?

Чтобы доказать, что и Аня, и Митя ошиблись, сначала найдем правильное произведение чисел 218 и 409. Это можно сделать умножением в столбик или разложением на слагаемые.

Вычислим правильный ответ:

$218 \times 409 = 218 \times (400 + 9) = 218 \times 400 + 218 \times 9 = 87200 + 1962 = 89162$.

Правильный ответ – 89 162.

Также можно доказать их неправоту с помощью быстрой оценки (прикидки):

Округлим числа: $218 \approx 200$ и $409 \approx 400$.

Тогда их произведение будет примерно равно $200 \times 400 = 80000$.

Ответ Ани (873 962) почти в 11 раз больше ожидаемого результата, а ответ Мити (10 682) почти в 8 раз меньше. Очевидно, что оба ответа неверны. Теперь разберем их ошибки.

Ошибка Ани

Аня получила в ответе 873 962. Это число очень близко к результату умножения 218 на 4009. Проверим эту гипотезу:

$218 \times 4009 = 218 \times (4000 + 9) = 872000 + 1962 = 873962$.

Вероятнее всего, Аня при умножении в столбик допустила ошибку в разрядах, добавив лишний ноль, что равносильно умножению на 4009 вместо 409.

Ответ: Аня, скорее всего, по ошибке умножила 218 на 4009 вместо 409.

Ошибка Мити

Митя получил в ответе 10 682. Такая ошибка часто возникает при неверной записи неполных произведений в столбик. Скорее всего, Митя проигнорировал ноль в разряде десятков у числа 409 и при умножении на 4 (которая стоит в разряде сотен) сдвинул результат не на два разряда влево, а только на один, как если бы это были десятки.

Это равносильно тому, что он умножил 218 на 49, а не на 409. Проверим:

$218 \times 49 = 218 \times (40 + 9) = 218 \times 40 + 218 \times 9 = 8720 + 1962 = 10682$.

Его вычисления в столбик могли выглядеть так:

 218х 409----- 1962 (218 * 9) 872 (218 * 4, но сдвинуто на 1 разряд вместо 2)-----10682 

Ответ: Митя при умножении в столбик допустил ошибку в разрядах, фактически умножив 218 на 49.