Страница 93, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

12 Подбери единичный отрезок и отметь на числовом луче дроби $\frac{1}{18}$, $\frac{2}{18}$, $\frac{6}{18}$, $\frac{10}{18}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$. Найди среди них равные дроби. Приведи свои примеры равных дробей.

Подбери единичный отрезок и отметь на числовом луче дроби

Для того чтобы отметить все указанные дроби на числовом луче, удобно привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей: 18, 9, 3, 2. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 18. Следовательно, приведем все дроби к знаменателю 18.

$\frac{1}{18}$
$\frac{2}{18}$
$\frac{6}{18}$
$\frac{10}{18}$
$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18}$
$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 6}{3 \times 6} = \frac{6}{18}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18}$

Теперь выберем единичный отрезок. Удобно взять за единичный отрезок отрезок, разделенный на 18 равных частей (например, длиной в 18 клеток тетради). Нарисуем числовой луч, отметим на нем начало — точку 0. Отложим от нуля наш единичный отрезок и поставим точку 1. Таким образом, длина одной части (одной клетки) будет соответствовать дроби $\frac{1}{18}$.

Отметим на этом луче наши дроби, отсчитывая от 0 соответствующее количество частей (клеток):

• Точка $\frac{1}{18}$ будет на 1-м делении.
• Точки $\frac{2}{18}$ и $\frac{1}{9}$ совпадут и будут на 2-м делении.
• Точки $\frac{6}{18}$ и $\frac{1}{3}$ совпадут и будут на 6-м делении.
• Точка $\frac{1}{2}$ (равная $\frac{9}{18}$) будет на 9-м делении.
• Точка $\frac{10}{18}$ будет на 10-м делении.
• Точки $\frac{6}{9}$ и $\frac{2}{3}$ (равные $\frac{12}{18}$) совпадут и будут на 12-м делении.

Ответ: В качестве единичного отрезка был выбран отрезок, разделенный на 18 равных частей. Все дроби были приведены к знаменателю 18 и отмечены на соответствующих делениях числового луча.

Найди среди них равные дроби

Равные дроби — это дроби, которые на числовом луче соответствуют одной и той же точке. Приведя все дроби к общему знаменателю, мы видим, что равными являются те, у которых получились одинаковые числители.

Группы равных дробей:

1. $\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ (обе дроби соответствуют точке $\frac{2}{18}$).
2. $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ (обе дроби соответствуют точке $\frac{6}{18}$).
3. $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (обе дроби соответствуют точке $\frac{12}{18}$).

Ответ: Равными являются следующие пары дробей: $\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$; $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Приведи свои примеры равных дробей

Равные дроби можно получить, используя основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

• Пример 1: Возьмем дробь $\frac{1}{2}$.
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$
  $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$
  Следовательно, $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{7}{14}$.
• Пример 2: Возьмем дробь $\frac{4}{6}$.
  Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$.
  Можно умножить числитель и знаменатель на 3: $\frac{4 \times 3}{6 \times 3} = \frac{12}{18}$.
  Следовательно, $\frac{4}{6} = \frac{2}{3} = \frac{12}{18}$.

Ответ: Примеры равных дробей: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$; $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

13 Первая сторона четырёхугольника равна 48 см, вторая сторона на 14 см больше, чем первая, а третья — в 2 раза меньше суммы первых двух сторон. Найди четвёртую сторону, если периметр четырёхугольника равен 200 см.

48 см

$(48+14) \text{ см}$

$(AB+BC) : 2$

$?$

Для решения задачи выполним действия по шагам.

1. Найдём длину второй стороны.
По условию, первая сторона равна 48 см, а вторая на 14 см больше. Чтобы найти длину второй стороны, нужно к длине первой стороны прибавить 14 см:
$48 + 14 = 62$ см.
Ответ: 62 см.

2. Найдём длину третьей стороны.
Третья сторона в 2 раза меньше суммы первых двух сторон. Сначала вычислим сумму длин первой и второй сторон:
$48 + 62 = 110$ см.
Теперь, чтобы найти длину третьей стороны, разделим полученную сумму на 2:
$110 : 2 = 55$ см.
Ответ: 55 см.

3. Найдём длину четвёртой стороны.
Периметр четырёхугольника — это сумма длин всех его сторон, и он равен 200 см. Чтобы найти длину четвёртой стороны, нужно из периметра вычесть сумму длин трёх уже известных сторон.
Сначала найдём сумму длин трёх известных сторон:
$48 + 62 + 55 = 165$ см.
Теперь вычтем эту сумму из периметра:
$200 - 165 = 35$ см.
Ответ: 35 см.

14 Найди периметр и площадь земельных участков по указанным размерам:

а) 10 м, 20 м, 60 м, 70 м

б) 25 м, 25 м, 10 м, 20 м, 60 м

Для того чтобы найти периметр ($P_a$), необходимо сложить длины всех сторон участка. Сначала найдем недостающие стороны. Левая вертикальная сторона равна разности высот: $60 \text{ м} - 10 \text{ м} = 50 \text{ м}$. Верхняя горизонтальная сторона (внутренняя) равна разности длин: $70 \text{ м} - 20 \text{ м} = 50 \text{ м}$. Таким образом, стороны фигуры имеют длины 70 м, 60 м, 20 м, 10 м, 50 м и 50 м. Теперь можно рассчитать периметр, сложив их:

$P_a = 70 + 60 + 20 + 10 + 50 + 50 = 260$ м.

Периметр этой фигуры также равен периметру большого прямоугольника со сторонами 70 м и 60 м: $P_a = 2 \times (70 + 60) = 260$ м.

Для нахождения площади ($S_a$) можно вычесть площадь вырезанного прямоугольника из площади большого прямоугольника. Площадь большого прямоугольника ($70 \times 60$ м) равна $S_{\text{большого}} = 70 \times 60 = 4200 \text{ м}^2$. Площадь вырезанного прямоугольника со сторонами 50 м и 10 м равна $S_{\text{выреза}} = 50 \times 10 = 500 \text{ м}^2$.

$S_a = S_{\text{большого}} - S_{\text{выреза}} = 4200 - 500 = 3700 \text{ м}^2$.

Ответ: Периметр 260 м, площадь 3700 м².

Для нахождения периметра ($P_б$) необходимо сложить длины всех сторон участка. Полная ширина участка равна сумме верхних горизонтальных отрезков: $25 \text{ м} + 20 \text{ м} + 25 \text{ м} = 70 \text{ м}$. Это также длина нижней стороны. Таким образом, стороны фигуры имеют следующие длины: нижняя - 70 м, левая и правая - по 60 м, два верхних отрезка - по 25 м, внутренний горизонтальный отрезок - 20 м, и два внутренних вертикальных отрезка - по 10 м. Сложим их:

$P_б = 70 + 60 + 60 + 25 + 10 + 20 + 10 + 25 = 280$ м.

Другой способ: периметр описывающего прямоугольника ($70 \times 60$ м) равен $2 \times (70 + 60) = 260$ м. Периметр фигуры б) больше на удвоенную глубину выреза: $P_б = 260 + 2 \times 10 = 280$ м.

Для нахождения площади ($S_б$) вычтем площадь вырезанного прямоугольника из площади большого прямоугольника ($70 \times 60$ м). Площадь большого прямоугольника: $S_{\text{большого}} = 70 \times 60 = 4200 \text{ м}^2$. Площадь вырезанного прямоугольника ($20 \times 10$ м): $S_{\text{выреза}} = 20 \times 10 = 200 \text{ м}^2$.

$S_б = S_{\text{большого}} - S_{\text{выреза}} = 4200 - 200 = 4000 \text{ м}^2$.

Ответ: Периметр 280 м, площадь 4000 м².

15. Найди значения выражений:

а) $608 \cdot (3076 + 5081) - 2111022 \div (5960 - 5646)$;

б) $2045639 \div (6700 - 6279) + 783 \cdot (66161 - 65752)$.

а) $608 \cdot (3076 + 5081) - 2111022 : (5960 - 5646)$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать правильный порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Первое действие — сложение в скобках:
$3076 + 5081 = 8157$

2. Второе действие — вычитание в скобках:
$5960 - 5646 = 314$

3. Теперь исходное выражение принимает вид:
$608 \cdot 8157 - 2111022 : 314$

4. Третье действие — умножение:
$608 \cdot 8157 = 4959456$

5. Четвертое действие — деление:
$2111022 : 314 = 6723$

6. Пятое и последнее действие — вычитание:
$4959456 - 6723 = 4952733$

Ответ: 4952733

б) $2045639 : (6700 - 6279) + 783 \cdot (66161 - 65752)$

Решим это выражение, следуя порядку выполнения арифметических операций.

1. Первое действие — вычитание в первых скобках:
$6700 - 6279 = 421$

2. Второе действие — вычитание во вторых скобках:
$66161 - 65752 = 409$

3. Теперь выражение выглядит следующим образом:
$2045639 : 421 + 783 \cdot 409$

4. Третье действие — деление:
$2045639 : 421 = 4859$

5. Четвертое действие — умножение:
$783 \cdot 409 = 320247$

6. Пятое и последнее действие — сложение:
$4859 + 320247 = 325106$

Ответ: 325106

16 a) Вычисли с помощью палетки, изображенной на рисунке, примерную площадь четырёхугольника $ABCD$, если в $1 \text{ см}^2$ содержится 4 клетки.

б) Вырежи из клетчатой бумаги четырёхугольник, равный $ABCD$, и разрежь его на 4 равные части по диагоналям $AC$ и $BD$. Сложи прямоугольник из полученных частей. Чему равна его площадь?

Что ты замечаешь?

$S \approx$

а) Для вычисления площади четырехугольника ABCD с помощью палетки, посчитаем, сколько клеток он занимает. Фигура ABCD является ромбом, площадь которого можно найти по формуле через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$.

1. Найдем длины диагоналей в клетках. Диагональ AC имеет длину 6 клеток. Диагональ BD имеет длину 4 клетки.

2. Вычислим площадь в клетках: $S_{клетки} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ клеток.

3. Переведем площадь из клеток в квадратные сантиметры. По условию, в 1 см² содержится 4 клетки. Значит, площадь одной клетки равна $\frac{1}{4}$ см².

4. Вычислим площадь в см²: $S = 12 \text{ клеток} \cdot \frac{1}{4} \frac{\text{см}^2}{\text{клетка}} = 3$ см².

Ответ: $S \approx 3$ см².

б) После разрезания четырехугольника ABCD по диагоналям AC и BD получаются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. У каждого такого треугольника катеты равны половинам диагоналей, то есть 3 клетки и 2 клетки.

Чтобы сложить из этих четырех треугольников прямоугольник, можно поступить следующим образом:

1. Возьмем два треугольника и приложим их друг к другу катетами длиной 3 клетки так, чтобы они образовали один большой прямоугольный треугольник с катетами 6 клеток и 2 клетки.

2. Повторим то же самое с двумя оставшимися треугольниками, получив второй такой же большой треугольник.

3. Теперь сложим эти два больших прямоугольных треугольника их гипотенузами (самыми длинными сторонами). В результате получится прямоугольник.

Стороны этого прямоугольника будут равны 6 клеток и 2 клетки. Его площадь в клетках равна $S_{прямоугольника} = 6 \cdot 2 = 12$ клеток.

Переведем в квадратные сантиметры: $S = 12 \text{ клеток} \div 4 \frac{\text{клетки}}{\text{см}^2} = 3$ см².

Я замечаю, что площадь полученного прямоугольника равна площади исходного четырехугольника ABCD, вычисленной в пункте а).

Ответ: Площадь прямоугольника равна 3 см². Замечание: площади исходной и полученной фигур равны.

1 Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода со скоростями соответственно 3 км/ч и 5 км/ч. Как изменяется расстояние $d$ между ними? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Произойдёт ли встреча? Закончи рисунок и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$.

3 км/ч

5 км/ч

A $s = d_0$ B

$d_1$

$d_2$

t ч d км

0 6

1 $6 + (3 + 5) \cdot 1 = ...$

2 $6 + (3 + 5) \cdot 2 = ...$

3 $6 +$

4

t

$v_{\text{уд.}} = ... + ... = ... (\text{км/ч})$

$d = ...$

Для решения задачи определим, как изменяется расстояние между пешеходами. Поскольку они движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Скорость, с которой они удаляются, называется скоростью удаления и равна сумме их скоростей.

Скорость первого пешехода $v_1 = 3$ км/ч.

Скорость второго пешехода $v_2 = 5$ км/ч.

Скорость удаления $v_{уд} = v_1 + v_2 = 3 + 5 = 8$ км/ч.

Это означает, что каждый час расстояние между пешеходами увеличивается на 8 км. Начальное расстояние между ними $d_0 = 6$ км.

Как изменяется расстояние d между ними?
Расстояние $d$ между пешеходами постоянно увеличивается. За каждый час движения расстояние увеличивается на 8 км.

Произойдёт ли встреча?
Нет, встреча не произойдёт, так как пешеходы движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга.

Заполним таблицу, чтобы узнать, чему будет равно расстояние через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч.
Общая формула для нахождения расстояния $d$ через время $t$: $d = d_0 + v_{уд} \cdot t$.
Подставив наши значения, получаем: $d = 6 + (3 + 5) \cdot t = 6 + 8t$.

• При t = 1 ч: $d = 6 + (3 + 5) \cdot 1 = 6 + 8 = 14$ км.
• При t = 2 ч: $d = 6 + (3 + 5) \cdot 2 = 6 + 16 = 22$ км.
• При t = 3 ч: $d = 6 + (3 + 5) \cdot 3 = 6 + 24 = 30$ км.
• При t = 4 ч: $d = 6 + (3 + 5) \cdot 4 = 6 + 32 = 38$ км.

Заполненная таблица:

Ответ: через 1 ч расстояние будет 14 км, через 2 ч — 22 км, через 3 ч — 30 км, через 4 ч — 38 км.

Запиши формулу зависимости расстояния d от времени движения t.
Сначала найдем скорость удаления:

$v_{уд} = 3 + 5 = 8$ (км/ч)

Теперь запишем формулу для расстояния $d$. Она состоит из начального расстояния и расстояния, на которое удалились пешеходы за время $t$.

$d = 6 + 8t$

Ответ: $d = 6 + 8t$.

2. Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему.

«Из двух городов, расстояние между которыми равно 65 км, одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Скорости автомобилей равны соответственно 80 км/ч и 110 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч после выезда?»

80 км/ч

110 км/ч

65 км

? км

1 способ

Этот способ заключается в том, чтобы последовательно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль, а затем сложить эти расстояния с первоначальным расстоянием между городами.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый автомобиль за 3 часа. Для этого умножим его скорость на время в пути:

   $S_1 = v_1 \times t = 80 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$

2. Найдем расстояние, которое проехал второй автомобиль за 3 часа:

   $S_2 = v_2 \times t = 110 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 330 \text{ км}$

3. Чтобы найти итоговое расстояние между автомобилями, сложим расстояния, которые проехал каждый из них, и первоначальное расстояние между городами:

   $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_0 = 240 \text{ км} + 330 \text{ км} + 65 \text{ км} = 635 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автомобилями будет 635 км.

2 способ

Этот способ основан на понятии "скорости удаления". Так как автомобили движутся в противоположных направлениях от начальных точек, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей.

1. Найдем скорость удаления автомобилей. Это сумма их скоростей:

   $v_{уд} = v_1 + v_2 = 80 \text{ км/ч} + 110 \text{ км/ч} = 190 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на сколько увеличилось расстояние между автомобилями за 3 часа. Для этого умножим скорость удаления на время:

   $\Delta S = v_{уд} \times t = 190 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 570 \text{ км}$

3. Прибавим это увеличение к первоначальному расстоянию, чтобы найти конечное расстояние между автомобилями:

   $S_{общ} = S_0 + \Delta S = 65 \text{ км} + 570 \text{ км} = 635 \text{ км}$

Ответ: через 3 часа расстояние между автомобилями будет 635 км.

Какой способ удобнее и почему?

Второй способ удобнее (его также называют рациональным), так как он требует меньше вычислений. Вместо двух умножений и одного сложения (как в первом способе), мы выполняем одно сложение (находим скорость удаления) и одно умножение, а затем складываем результат с исходным расстоянием. Это делает решение более коротким и быстрым, его легче записать одним математическим выражением:

$(80 + 110) \times 3 + 65 = 190 \times 3 + 65 = 570 + 65 = 635 \text{ км}$

54 В куске было 20 м ткани. От него отрезали ткань на три юбки и два платья. На каждую юбку израсходовали по 1 м 80 см ткани, а на каждое платье — 2 м 60 см. Сколько ткани ещё осталось в куске?

Для решения задачи сначала переведем все измерения в одну единицу — сантиметры. Это позволит избежать ошибок при вычислениях с метрами и сантиметрами. Вспомним, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

• Изначальная длина ткани: $20 \text{ м} = 20 \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}$.
• Расход ткани на одну юбку: $1 \text{ м } 80 \text{ см} = 100 \text{ см} + 80 \text{ см} = 180 \text{ см}$.
• Расход ткани на одно платье: $2 \text{ м } 60 \text{ см} = 200 \text{ см} + 60 \text{ см} = 260 \text{ см}$.

Теперь решим задачу по действиям.

1. Сколько ткани израсходовали на три юбки?

Чтобы найти общий расход ткани на все юбки, нужно расход на одну юбку умножить на их количество (3 шт.).

$180 \text{ см} \times 3 = 540 \text{ см}$

540 см — это 5 м 40 см.

Ответ: на три юбки израсходовали 5 м 40 см ткани.

2. Сколько ткани израсходовали на два платья?

Чтобы найти общий расход ткани на все платья, нужно расход на одно платье умножить на их количество (2 шт.).

$260 \text{ см} \times 2 = 520 \text{ см}$

520 см — это 5 м 20 см.

Ответ: на два платья израсходовали 5 м 20 см ткани.

3. Сколько всего ткани израсходовали?

Чтобы найти общее количество израсходованной ткани, сложим ткань, потраченную на юбки и платья.

$540 \text{ см} + 520 \text{ см} = 1060 \text{ см}$

1060 см — это 10 м 60 см.

Ответ: всего израсходовали 10 м 60 см ткани.

4. Сколько ткани ещё осталось в куске?

Это главный вопрос задачи. Чтобы найти остаток, нужно из начального количества ткани вычесть общее количество израсходованной ткани.

$2000 \text{ см} - 1060 \text{ см} = 940 \text{ см}$

Переведем результат обратно в метры и сантиметры для окончательного ответа.

$940 \text{ см} = 9 \text{ м } 40 \text{ см}$

Ответ: в куске осталось 9 м 40 см ткани.

55. С первой яблони собрали 36 кг яблок, со второй — на 8 кг больше, чем с первой, а с третьей — в 2 раза меньше, чем со второй. Сколько ящиков требуется для укладки всех яблок, если каждый ящик вмещает 10 кг яблок?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий:

1. Найти, сколько килограммов яблок собрали со второй яблони.

По условию, с первой яблони собрали 36 кг, а со второй — на 8 кг больше. Следовательно, к массе яблок с первой яблони нужно прибавить 8 кг.

$36 + 8 = 44$ (кг)

Ответ: со второй яблони собрали 44 кг яблок.

2. Найти, сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони.

С третьей яблони собрали в 2 раза меньше, чем со второй. Массу яблок со второй яблони (44 кг) нужно разделить на 2.

$44 \div 2 = 22$ (кг)

Ответ: с третьей яблони собрали 22 кг яблок.

3. Найти общую массу всех собранных яблок.

Для этого нужно сложить массу яблок, собранных с каждой из трех яблонь.

$36 + 44 + 22 = 102$ (кг)

Ответ: общая масса всех собранных яблок составляет 102 кг.

4. Рассчитать, сколько ящиков потребуется для укладки всех яблок.

Общая масса яблок составляет 102 кг, а каждый ящик вмещает 10 кг. Чтобы найти необходимое количество ящиков, разделим общую массу яблок на вместимость одного ящика.

$102 \div 10 = 10.2$

Поскольку количество ящиков может быть только целым числом, и нужно упаковать все яблоки, полученный результат необходимо округлить в большую сторону. Это означает, что потребуется 10 полных ящиков и еще один для оставшихся 2 кг яблок.

Ответ: для укладки всех яблок потребуется 11 ящиков.

56 С первого поля собрали 160 ц картофеля, со второго — в 2 раза больше, чем с первого, а с третьего — на 60 ц меньше, чем с первого и второго вместе. Половину всего картофеля разложили в мешки по 50 кг в каждый и увезли поровну на 15 машинах. Сколько мешков положили на каждую машину?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем, сколько центнеров картофеля собрали со второго поля.

По условию, со второго поля собрали в 2 раза больше, чем с первого, где собрали 160 ц. Следовательно:

$160 \text{ ц} \times 2 = 320 \text{ ц}$

2. Узнаем, сколько картофеля собрали с первого и второго полей вместе.

Сложим урожай с первого и второго полей:

$160 \text{ ц} + 320 \text{ ц} = 480 \text{ ц}$

3. Найдем, сколько картофеля собрали с третьего поля.

С третьего поля собрали на 60 ц меньше, чем с первого и второго полей вместе. Значит:

$480 \text{ ц} - 60 \text{ ц} = 420 \text{ ц}$

4. Вычислим общий урожай картофеля со всех трех полей.

Сложим урожай со всех трех полей:

$160 \text{ ц} + 320 \text{ ц} + 420 \text{ ц} = 900 \text{ ц}$

5. Определим, какую массу картофеля разложили в мешки.

В мешки разложили половину всего урожая. Найдем эту величину:

$900 \text{ ц} \div 2 = 450 \text{ ц}$

6. Переведем центнеры в килограммы для дальнейших расчетов.

Мы знаем, что 1 центнер равен 100 килограммам ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

$450 \text{ ц} = 450 \times 100 \text{ кг} = 45000 \text{ кг}$

7. Найдем общее количество мешков.

Всю эту массу картофеля разложили в мешки по 50 кг. Чтобы найти количество мешков, разделим общую массу на вместимость одного мешка:

$45000 \text{ кг} \div 50 \text{ кг/мешок} = 900 \text{ мешков}$

8. Рассчитаем, сколько мешков положили на каждую машину.

Полученные 900 мешков поровну развезли на 15 машинах. Чтобы найти количество мешков на одной машине, разделим общее число мешков на количество машин:

$900 \text{ мешков} \div 15 \text{ машин} = 60 \text{ мешков}$

Ответ: 60 мешков.

57 а) Из 10 м ткани сшили 3 одинаковые рубашки. Сколько таких рубашек можно сшить из 50 м этой ткани?

б) Из 100 л молока получается 4 кг масла. Сколько масла получится при переработке 6000 л молока?

а)

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорций, поскольку количество сшитых рубашек прямо пропорционально количеству имеющейся ткани.

Способ 1: Через нахождение соотношения.
Сначала определим, во сколько раз количество ткани увеличилось.
$50 \text{ м} \div 10 \text{ м} = 5$
Количество ткани стало в 5 раз больше. Следовательно, и рубашек можно сшить в 5 раз больше.
$3 \text{ рубашки} \times 5 = 15 \text{ рубашек}$

Способ 2: Через приведение к единице.
Сначала найдем, сколько метров ткани уходит на пошив одной рубашки.
$10 \text{ м} \div 3 = \frac{10}{3}$ м на рубашку.
Теперь разделим имеющиеся 50 метров ткани на расход на одну рубашку.
$50 \text{ м} \div \frac{10}{3} \text{ м} = 50 \times \frac{3}{10} = \frac{150}{10} = 15$ рубашек.

Ответ: 15 рубашек.

б)

Эта задача также решается с помощью прямой пропорции: выход масла прямо пропорционален количеству молока.

Способ 1: Через нахождение соотношения.
Узнаем, во сколько раз увеличилось количество молока для переработки.
$6000 \text{ л} \div 100 \text{ л} = 60$
Количество молока увеличилось в 60 раз, значит, и масла получится в 60 раз больше.
$4 \text{ кг} \times 60 = 240 \text{ кг}$

Способ 2: Через приведение к единице.
Рассчитаем, сколько килограммов масла получается из одного литра молока.
$4 \text{ кг} \div 100 \text{ л} = 0,04$ кг на литр.
Теперь умножим это значение на общее количество молока.
$6000 \text{ л} \times 0,04 \text{ кг/л} = 240 \text{ кг}$

Ответ: 240 кг масла.

58 Двум классам поручено расчистить школьный каток, длина которого 32 м, а ширина 20 м. В одном классе 42 ученика, а в другом — 38. Какая площадь катка придётся на каждый класс, если распределить работу по числу учеников?

Для решения задачи необходимо сначала найти общую площадь катка, затем определить, какая часть этой площади приходится на одного ученика, и после этого рассчитать площадь для каждого класса пропорционально количеству учеников в нем.

1. Найдем общую площадь катка

Площадь прямоугольного катка ($S$) вычисляется по формуле произведения длины ($a$) на ширину ($b$).
$S = a \cdot b$
$S = 32 \text{ м} \cdot 20 \text{ м} = 640 \text{ м}^2$.
Ответ: общая площадь катка составляет 640 м².

2. Найдем общее количество учеников в двух классах

Сложим количество учеников в первом и втором классах.
$42 + 38 = 80$ (учеников).
Ответ: всего 80 учеников будут расчищать каток.

3. Найдем, какая площадь катка приходится на одного ученика

Разделим общую площадь катка на общее количество учеников.
$640 \text{ м}^2 \div 80 \text{ учеников} = 8 \text{ м}^2$ на ученика.
Ответ: на каждого ученика приходится 8 м² площади.

4. Рассчитаем площадь, которая придется на каждый класс

Умножим площадь, приходящуюся на одного ученика, на количество учеников в каждом классе.
Для первого класса (42 ученика): $42 \cdot 8 \text{ м}^2 = 336 \text{ м}^2$.
Для второго класса (38 учеников): $38 \cdot 8 \text{ м}^2 = 304 \text{ м}^2$.
Проверим: $336 \text{ м}^2 + 304 \text{ м}^2 = 640 \text{ м}^2$, что соответствует общей площади катка.
Ответ: на первый класс придется 336 м² катка, а на второй — 304 м².

59 Реши уравнение с комментированием и сделай проверку:

а) $(24 - x) \cdot 5 - 32 = 48$;

б) $720 : (y : 7 + 80) = 6$;

в) $200 - (48 \cdot t) : 45 = 20$;

г) $(y \cdot 40 + 60) : 3 = 140$.

а) $(24 - x) \cdot 5 - 32 = 48$

В этом уравнении выражение $(24 - x) \cdot 5$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности (48) прибавить вычитаемое (32).
$(24 - x) \cdot 5 = 48 + 32$
$(24 - x) \cdot 5 = 80$
Теперь выражение $(24 - x)$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение (80) разделить на известный множитель (5).
$24 - x = 80 : 5$
$24 - x = 16$
Наконец, $x$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого (24) вычесть разность (16).
$x = 24 - 16$
$x = 8$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=8$ в исходное уравнение:
$(24 - 8) \cdot 5 - 32 = 48$
$16 \cdot 5 - 32 = 48$
$80 - 32 = 48$
$48 = 48$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = 8$.

б) $720 : (y : 7 + 80) = 6$

В данном уравнении выражение в скобках $(y : 7 + 80)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое (720) разделить на частное (6).
$y : 7 + 80 = 720 : 6$
$y : 7 + 80 = 120$
Теперь выражение $y : 7$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (120) вычесть известное слагаемое (80).
$y : 7 = 120 - 80$
$y : 7 = 40$
Наконец, $y$ — это неизвестное делимое. Чтобы его найти, нужно частное (40) умножить на делитель (7).
$y = 40 \cdot 7$
$y = 280$

Проверка:
Подставим найденное значение $y=280$ в исходное уравнение:
$720 : (280 : 7 + 80) = 6$
$720 : (40 + 80) = 6$
$720 : 120 = 6$
$6 = 6$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $y = 280$.

в) $200 - (48 : t) \cdot 45 = 20$

Здесь выражение $(48 : t) \cdot 45$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого (200) вычесть разность (20).
$(48 : t) \cdot 45 = 200 - 20$
$(48 : t) \cdot 45 = 180$
Теперь выражение $(48 : t)$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение (180) разделить на известный множитель (45).
$48 : t = 180 : 45$
$48 : t = 4$
Наконец, $t$ — это неизвестный делитель. Чтобы его найти, нужно делимое (48) разделить на частное (4).
$t = 48 : 4$
$t = 12$

Проверка:
Подставим найденное значение $t=12$ в исходное уравнение:
$200 - (48 : 12) \cdot 45 = 20$
$200 - 4 \cdot 45 = 20$
$200 - 180 = 20$
$20 = 20$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $t = 12$.

г) $(y \cdot 40 + 60) : 3 = 140$

В этом уравнении выражение в скобках $(y \cdot 40 + 60)$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное (140) умножить на делитель (3).
$y \cdot 40 + 60 = 140 \cdot 3$
$y \cdot 40 + 60 = 420$
Теперь выражение $y \cdot 40$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (420) вычесть известное слагаемое (60).
$y \cdot 40 = 420 - 60$
$y \cdot 40 = 360$
Наконец, $y$ — это неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение (360) разделить на известный множитель (40).
$y = 360 : 40$
$y = 9$

Проверка:
Подставим найденное значение $y=9$ в исходное уравнение:
$(9 \cdot 40 + 60) : 3 = 140$
$(360 + 60) : 3 = 140$
$420 : 3 = 140$
$140 = 140$
Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $y = 9$.

60 Выполни действия с 0 и 1. Запиши с помощью букв общие правила и объясни, почему на 0 делить нельзя.

$0 + 23 = $

$58 \cdot 0 = $

$25 : 25 = $

$0 \cdot 0 = $

$75 - 0 = $

$1 \cdot 39 = $

$0 : 16 = $

$0 : 1 = $

$46 - 46 = $

$74 : 1 = $

$82 \cdot 1 = $

$0 : 1 = $

Выполнение действий

0 + 23 = 23

75 - 0 = 75

46 - 46 = 0

58 · 0 = 0

1 · 39 = 39

74 : 1 = 74

25 : 25 = 1

0 : 16 = 0

82 · 1 = 82

0 · 0 = 0

0 · 1 = 0

0 : 1 = 0

Ответ: 23, 75, 0, 0, 39, 74, 1, 0, 82, 0, 0, 0.

Общие правила

Если обозначить любое число буквой $a$, то можно записать следующие правила:

1. Сложение и вычитание с нулём:
$a + 0 = a$
$a - 0 = a$
$a - a = 0$

2. Умножение на нуль и единицу:
$a \cdot 0 = 0$
$a \cdot 1 = a$

3. Деление с нулём и единицей (при условии, что $a \ne 0$):
$a : 1 = a$
$a : a = 1$
$0 : a = 0$

Ответ: $a+0=a$; $a-0=a$; $a-a=0$; $a \cdot 0 = 0$; $a \cdot 1 = a$; $a:1=a$; $a:a=1$ (при $a \ne 0$); $0:a=0$ (при $a \ne 0$).

Почему на 0 делить нельзя

Деление — это действие, обратное умножению. Например, разделить $12$ на $3$ — значит найти такое число, которое при умножении на $3$ даст $12$. Это число $4$, потому что $4 \cdot 3 = 12$.

Теперь попробуем разделить какое-нибудь число, например, $5$, на $0$. Это означало бы, что нам нужно найти такое число $c$, для которого выполнялось бы равенство: $c \cdot 0 = 5$.

Но мы знаем правило: при умножении любого числа на $0$ всегда получается $0$. Значит, не существует такого числа $c$, которое при умножении на $0$ дало бы $5$. Мы получаем противоречие: $0 = 5$, что неверно.

Именно из-за этого противоречия в математике принято считать, что деление на ноль является невозможной, или неопределенной, операцией.

Ответ: Деление на ноль невозможно, так как оно приводит к математическому противоречию. Если бы мы могли разделить число (например, 5) на 0 и получить некий ответ $c$, то должно было бы выполняться равенство $c \cdot 0 = 5$. Но любое число, умноженное на 0, дает 0, а не 5. Это противоречие означает, что такого ответа $c$ не существует.

61 Составь программу действий и вычисли:

а) $758 \div 758 + (819 \cdot 0 + 5) \cdot (12 - 0) + 0 \div 3509;$

б) $(82 \div 82) \cdot 15 + (8064 \div 1 - 8064) \cdot 472 + 29 \cdot 1.$

а) $758 : 758 + (819 \cdot 0 + 5) \cdot (12 - 0) + 0 : 3509$

Для решения этого выражения необходимо составить программу действий, следуя правилам порядка выполнения математических операций: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действия в первых скобках $(819 \cdot 0 + 5)$. Сначала умножение:

$819 \cdot 0 = 0$

2. Затем сложение в тех же скобках:

$0 + 5 = 5$

3. Выполним действие во вторых скобках $(12 - 0)$:

$12 - 0 = 12$

4. Теперь, когда действия в скобках выполнены, перейдем к операциям умножения и деления в выражении слева направо. Первое деление:

$758 : 758 = 1$

5. Далее идет умножение результатов, полученных из скобок:

$5 \cdot 12 = 60$

6. Последнее деление:

$0 : 3509 = 0$

7. Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$1 + 60 + 0$

8. Выполним сложение слева направо:

$1 + 60 = 61$

$61 + 0 = 61$

Ответ: 61

б) $(82 : 82) \cdot 15 + (8064 : 1 - 8064) \cdot 472 + 29 \cdot 1$

Составим программу действий для второго выражения, соблюдая тот же порядок операций.

1. Выполним действие в первых скобках $(82 : 82)$:

$82 : 82 = 1$

2. Выполним действия во вторых скобках $(8064 : 1 - 8064)$. Сначала деление:

$8064 : 1 = 8064$

3. Затем вычитание в тех же скобках:

$8064 - 8064 = 0$

4. Теперь выполним все операции умножения слева направо. Первое умножение:

$1 \cdot 15 = 15$

5. Второе умножение:

$0 \cdot 472 = 0$

6. Третье умножение:

$29 \cdot 1 = 29$

7. Теперь подставим вычисленные значения в выражение:

$15 + 0 + 29$

8. Выполним оставшиеся сложения слева направо:

$15 + 0 = 15$

$15 + 29 = 44$

Ответ: 44