Страница 92, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

6 Самолёт пролетел 240 км, что составило 12% всего намеченного пути. Сколько километров всего должен пролететь самолёт? Что ещё можно узнать?

пролетел

осталось

Сколько километров всего должен пролететь самолёт?

Из условия задачи мы знаем, что 240 км — это 12% от всего пути. Чтобы найти общую длину пути (которая составляет 100%), можно использовать несколько способов.

Способ 1: через нахождение 1%.
Если 240 км — это 12%, то сначала найдём, сколько километров составляет 1% пути. Для этого разделим известное расстояние на соответствующее количество процентов:
$240 \text{ км} \div 12 = 20 \text{ км}$.
Теперь, когда мы знаем, что 1% пути равен 20 км, мы можем найти общую длину пути (100%), умножив это значение на 100:
$20 \text{ км} \cdot 100 = 2000 \text{ км}$.

Способ 2: через пропорцию.
Пусть $x$ — это общая длина пути в километрах, что соответствует 100%. Составим пропорцию:
$240 \text{ км} — 12\%$
$x \text{ км} — 100\%$
Из пропорции следует:
$x = \frac{240 \cdot 100}{12} = \frac{24000}{12} = 2000 \text{ км}$.

Ответ: всего самолёт должен пролететь 2000 км.

Что ещё можно узнать?

Зная общую длину пути и расстояние, которое самолёт уже преодолел, можно узнать, сколько километров ему ещё осталось пролететь. Для этого нужно из общей длины пути вычесть уже пройденное расстояние.

1. Найдём оставшееся расстояние:
$2000 \text{ км} - 240 \text{ км} = 1760 \text{ км}$.

2. Найдём, какую часть пути (в процентах) осталось пролететь:
Весь путь составляет 100%. Самолёт пролетел 12%. Значит, осталось пролететь:
$100\% - 12\% = 88\%$.

Ответ: можно узнать, что самолёту осталось пролететь 1760 км, что составляет 88% от всего намеченного пути.

7 На базу в Антарктиду доставили 22 собаки. Из $ \frac{5}{11} $ всех собак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?

в упряжке

остались

Чтобы найти, сколько собак не вошло в упряжку, можно пойти двумя путями.

Способ 1: найти количество собак в упряжке и вычесть его из общего числа.

1. Сначала определим, сколько собак составили упряжку. Известно, что в упряжку взяли $\frac{5}{11}$ от всех собак. Всего было 22 собаки. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить число на эту дробь.

$22 \cdot \frac{5}{11} = \frac{22 \cdot 5}{11} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 5}{11} = 2 \cdot 5 = 10$ (собак).

Итак, в упряжке было 10 собак.

2. Теперь найдем, сколько собак осталось. Для этого из общего количества собак вычтем количество собак в упряжке.

$22 - 10 = 12$ (собак).

Ответ: 12 собак не вошло в упряжку.

Способ 2: найти, какая часть собак осталась, и вычислить их количество.

1. Сначала определим, какая доля собак не вошла в упряжку. Если всех собак принять за 1 (целое), или за $\frac{11}{11}$, а в упряжку вошло $\frac{5}{11}$ всех собак, то оставшаяся часть равна:

$1 - \frac{5}{11} = \frac{11}{11} - \frac{5}{11} = \frac{11 - 5}{11} = \frac{6}{11}$ (всех собак).

Таким образом, на базе осталась $\frac{6}{11}$ часть всех собак.

2. Теперь найдем, сколько собак составляет эта часть от общего их числа (22 собаки).

$22 \cdot \frac{6}{11} = \frac{22 \cdot 6}{11} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 6}{11} = 2 \cdot 6 = 12$ (собак).

Ответ: 12 собак не вошло в упряжку.

8 Кофта стоила 400 р. Потом её цена снизилась на $15\%$. Сколько теперь она стала стоить?

снизили

новая цена

400 р.

Для решения этой задачи можно использовать два основных способа.

Способ 1: Вычисление скидки

1. Сначала найдем, сколько рублей составляет скидка в 15%. Для этого нужно найти 15% от первоначальной цены, которая равна 400 рублей. Проценты можно представить в виде десятичной дроби: $15\% = \frac{15}{100} = 0,15$.

Теперь умножим цену на эту дробь:

$400 \cdot 0,15 = 60$ рублей.

Таким образом, размер скидки составляет 60 рублей.

2. Далее, чтобы найти новую цену, вычтем размер скидки из первоначальной цены:

$400 - 60 = 340$ рублей.

Способ 2: Вычисление оставшейся стоимости в процентах

1. Первоначальная цена кофты составляет 100%. Если цена снизилась на 15%, то новая цена будет составлять оставшийся процент от первоначальной:

$100\% - 15\% = 85\%$

2. Теперь найдем, сколько рублей составляют 85% от 400 рублей. Для этого представим 85% в виде десятичной дроби ($85\% = 0,85$) и умножим на первоначальную цену:

$400 \cdot 0,85 = 340$ рублей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 340 р.

9 В куске было 96 м ткани. Для детского сада взяли $ \frac{3}{8} $ этого куска, а для детских яслей — $ \frac{5}{12} $ куска. Сколько материи ещё осталось в куске?

д. сад ясли осталось

Для того чтобы узнать, сколько материи осталось, сначала нужно вычислить, сколько метров ткани было взято для детского сада и для яслей по отдельности, затем сложить эти значения и вычесть полученную сумму из общего количества ткани.

1. Узнаем, сколько метров ткани взяли для детского сада.

Для этого умножим общую длину куска ткани на ту часть, которую взяли для детского сада:

$96 \cdot \frac{3}{8} = \frac{96 \cdot 3}{8} = 12 \cdot 3 = 36$ (м)

2. Узнаем, сколько метров ткани взяли для детских яслей.

Теперь умножим общую длину куска на часть, которую взяли для яслей:

$96 \cdot \frac{5}{12} = \frac{96 \cdot 5}{12} = 8 \cdot 5 = 40$ (м)

3. Узнаем, сколько всего метров ткани взяли.

Сложим количество ткани, взятое для детского сада и для яслей:

$36 + 40 = 76$ (м)

4. Узнаем, сколько материи осталось в куске.

Вычтем из первоначальной длины куска общее количество взятой ткани:

$96 - 76 = 20$ (м)

Ответ: в куске осталось 20 м материи.

10 Сравни:

$ \frac{32}{65} \quad \frac{49}{65} $;

$ \frac{7}{96} \quad \frac{7}{12} $;

$ \frac{14}{23} \quad \frac{14}{37} $;

$ \frac{18}{19} \quad \frac{16}{19} $.

11 Найди множество натуральных решений неравенств:

а) $\frac{5}{y} < \frac{5}{7}$

б) $\frac{x}{6} \le \frac{4}{6}$

а)

Дано неравенство $ \frac{5}{y} < \frac{5}{7} $. Необходимо найти множество натуральных решений, то есть все натуральные числа $y$, для которых это неравенство будет верным.

В неравенстве сравниваются две дроби с одинаковыми положительными числителями, равными 5. Согласно правилу сравнения дробей, из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Следовательно, для выполнения неравенства $ \frac{5}{y} < \frac{5}{7} $ знаменатель дроби в левой части ($y$) должен быть строго больше знаменателя дроби в правой части (7).

Получаем условие: $y > 7$.

Поскольку мы ищем натуральные решения, а натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, ...$), нам нужно выбрать все натуральные числа, которые больше 7.

Это числа $8, 9, 10, 11$ и так далее до бесконечности.

Ответ: $\{8, 9, 10, 11, ...\}$

б)

Дано неравенство $ \frac{x}{6} \le \frac{4}{6} $. Необходимо найти множество натуральных решений $x$.

В этом неравенстве сравниваются две дроби с одинаковыми знаменателями, равными 6. Согласно правилу сравнения дробей, из двух дробей с одинаковыми положительными знаменателями меньше (или равна) та, у которой числитель меньше (или равен).

Следовательно, для выполнения неравенства $ \frac{x}{6} \le \frac{4}{6} $ числитель дроби в левой части ($x$) должен быть меньше или равен числителю дроби в правой части (4).

Получаем условие: $x \le 4$.

Так как по условию $x$ — натуральное число, оно должно быть целым и положительным ($x \ge 1$).

Объединяя условия $x \le 4$ и $x \ge 1$, находим все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству. Это числа $1, 2, 3, 4$.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4\}$

10 Найди ошибки. Запиши и реши примеры правильно.

a) $\begin{array}{r}4001053 \\\underline{- \quad 832974} \\4169089\end{array}$

б) $\begin{array}{r}50380 \\\times \quad 7009 \\\hline45342 \\+ \quad 35268 \\\hline398022\end{array}$

в) $\begin{array}{r | l}5907300 & 97 \\\underline{582\phantom{000}} & 69 \\\cline{1-2}\phantom{0}87\phantom{00} \\\underline{\phantom{0}87\phantom{00}} \\\phantom{00}0\phantom{00}\end{array}$

г) $5\frac{8}{11} + 3\frac{5}{11} = 8\frac{13}{11} = 8\frac{2}{11}$

д) $6\frac{1}{9} - 2\frac{7}{9} = 5\frac{11}{9} - 2\frac{7}{9} = 3\frac{4}{9}$

а) В примере на вычитание допущена ошибка. Результат вычитания не может быть больше уменьшаемого. Правильное решение:

$4001053 - 832974 = 3168079$

Выполним вычитание в столбик для проверки:

_{• • • • •}
4001053
- 832974
——————————
3168079

Ответ: $3168079$.

б) В примере на умножение допущены ошибки в вычислении неполных произведений и их сложении. Правильное решение:

Умножение выполняется поэтапно:

$50380 \times 9 = 453420$

$50380 \times 7000 = 352660000$

Затем результаты складываются:

$453420 + 352660000 = 353113420$

Или в столбик:

50380
× 7009
——————————
453420
+352660
——————————
353113420

Ответ: $353113420$.

в) В примере на деление допущены ошибки. Во-первых, в частном пропущен ноль, когда после сноса цифры полученное число (87) оказалось меньше делителя (97). Во-вторых, не были учтены нули на конце делимого. Правильное решение:

1. Делим 590 на 97, получаем 6 в частном. $97 \times 6 = 582$. Остаток $590 - 582 = 8$.
2. Сносим 7, получаем 87. Так как $87 < 97$, в частное пишем 0.
3. Сносим 3, получаем 873. Делим 873 на 97, получаем 9 в частном. $97 \times 9 = 873$. Остаток $873 - 873 = 0$.
4. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.

Получаем $5907300 \div 97 = 60900$.

Ответ: $60900$.

г) В примере допущена ошибка при преобразовании неправильной дроби в смешанное число. После сложения получилось $8 \frac{13}{11}$. При выделении целой части из дроби $\frac{13}{11}$ получили $1\frac{2}{11}$, но эту единицу забыли прибавить к уже имеющейся целой части (8). Правильное решение:

$5 \frac{8}{11} + 3 \frac{5}{11} = (5+3) + (\frac{8}{11} + \frac{5}{11}) = 8 + \frac{13}{11} = 8 + 1\frac{2}{11} = 9\frac{2}{11}$.

Ответ: $9\frac{2}{11}$.

д) В примере допущена ошибка при вычитании дробей с заёмом из целой части. $6 \frac{1}{9}$ было неверно представлено как $5 \frac{11}{9}$. Правильно занять единицу из целой части так: $6 \frac{1}{9} = 5 + 1 + \frac{1}{9} = 5 + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 5 \frac{10}{9}$. Правильное решение:

$6 \frac{1}{9} - 2 \frac{7}{9} = 5 \frac{10}{9} - 2 \frac{7}{9} = (5-2) + (\frac{10}{9} - \frac{7}{9}) = 3 + \frac{3}{9} = 3 \frac{1}{3}$.

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

11 Любой предмет, брошенный вниз, пролетает в первую секунду $4\frac{9}{10}$ м, а в каждую следующую на $9\frac{8}{10}$ м больше, чем в предыдущую. Найди глубину ущелья, если брошенный в него камень летит до дна в течение 3 секунд.

Расстояние, которое пролетает камень за каждую секунду, образует арифметическую прогрессию. Глубина ущелья будет равна сумме расстояний, пройденных за 3 секунды.

Введем обозначения для параметров этой прогрессии:

$a_1$ – расстояние, пройденное в первую секунду. Согласно условию, $a_1 = 4\frac{9}{10}$ м.

$d$ – разность прогрессии, то есть величина, на которую увеличивается расстояние каждую следующую секунду. Согласно условию, $d = 9\frac{8}{10}$ м.

$n$ – количество секунд полета (и членов прогрессии). По условию, $n = 3$.

Для нахождения глубины ущелья ($S_3$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Для удобства вычислений переведем смешанные числа в десятичные дроби:

$a_1 = 4\frac{9}{10} = 4,9$

$d = 9\frac{8}{10} = 9,8$

Теперь подставим известные значения в формулу для $n=3$:

$S_3 = \frac{2 \cdot 4,9 + 9,8 \cdot (3-1)}{2} \cdot 3$

$S_3 = \frac{9,8 + 9,8 \cdot 2}{2} \cdot 3$

$S_3 = \frac{9,8 + 19,6}{2} \cdot 3$

$S_3 = \frac{29,4}{2} \cdot 3$

$S_3 = 14,7 \cdot 3$

$S_3 = 44,1$

Следовательно, глубина ущелья составляет 44,1 метра.

Ответ: 44,1 м.

12 Расшифруй слово, расположив ответы примеров в порядке возрастания. Что оно означает?

Н $5331973 + 358027 = $

О $4021698 + 879539 = $

Р $705 \cdot 8009 = $

А $930 \cdot 6800 = $

Л $4901659 : 7 = $

А $36736500 : 57 = $

В $1557933 - 972169 = $

Т $11000209 - 6098982 = $

Для того чтобы расшифровать слово, решим каждый пример и запишем результат.

Н) $5331973 + 358027$
Выполним сложение: $5331973 + 358027 = 5690000$.
Ответ: $5690000$.

О) $4021698 + 879539$
Выполним сложение: $4021698 + 879539 = 4901237$.
Ответ: $4901237$.

Р) $705 \cdot 8009$
Выполним умножение: $705 \cdot 8009 = 5646345$.
Ответ: $5646345$.

А) $930 \cdot 6800$
Выполним умножение: $930 \cdot 6800 = 6324000$.
Ответ: $6324000$.

Л) $4901659 : 7$
Выполним деление: $4901659 : 7 = 700237$.
Ответ: $700237$.

А) $36736500 : 57$
Выполним деление: $36736500 : 57 = 644500$.
Ответ: $644500$.

В) $1557933 - 972169$
Выполним вычитание: $1557933 - 972169 = 585764$.
Ответ: $585764$.

Т) $11000209 - 6098982$
Выполним вычитание: $11000209 - 6098982 = 4901227$.
Ответ: $4901227$.

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $585764$ (В)
2. $644500$ (А)
3. $700237$ (Л)
4. $4901227$ (Т)
5. $4901237$ (О)
6. $5646345$ (Р)
7. $5690000$ (Н)
8. $6324000$ (А)

Составив буквы в этом порядке, мы получаем слово: ВАЛТОРНА.

Что означает слово "Валторна"?
Валторна — это медный духовой музыкальный инструмент, который имеет форму закрученной в спираль металлической трубки. Она обладает мягким, певучим и бархатистым тембром и является важной частью симфонического оркестра.

13 Мысленно сверни куб и определи, какая грань верхняя, если нижняя грань закрашена.

1. Б

2. А

3. В

4. Г

5. Б

Первая развертка: Чтобы определить верхнюю грань, необходимо найти грань, противоположную закрашенной, которая по условию является нижней. Противоположные грани не имеют общих ребер. В данном случае, если мысленно свернуть куб, поместив закрашенную грань в качестве основания, то грани 'А', 'Б', 'В' и 'Г' станут боковыми стенками. Грань 'Д', примыкающая к 'Г', окажется сверху. Следовательно, 'Д' — верхняя грань.
Ответ: Д

Вторая развертка: В этой развертке есть полоса из четырех квадратов: 'Б'-'В'-закрашенный-'Г'. В такой конфигурации грани, расположенные через одну, являются противоположными. Таким образом, 'Б' противоположна закрашенной грани, а 'В' — грани 'Г'. Оставшаяся пара противоположных граней — это 'А' и 'Д'. Поскольку закрашенная грань является нижней, то противоположная ей грань 'Б' будет верхней.
Ответ: Б

Третья развертка: Основная полоса состоит из граней 'А'-'Б'-'Г'-'Д'. Противоположные грани здесь: ('А', 'Г') и ('Б', 'Д'). Оставшиеся две грани, закрашенная и 'В', также составляют пару противоположных граней. Если закрашенная грань — нижняя, то 'В' — верхняя.
Ответ: В

Четвертая развертка: Здесь также имеется полоса из четырех граней: 'Д'-'А'-'Б'-закрашенная. Пары противоположных граней: ('Д', 'Б') и ('А', закрашенная). Оставшиеся 'Г' и 'В' также противоположны. По условию, закрашенная грань — нижняя, значит, противоположная ей грань 'А' будет верхней.
Ответ: А

Пятая развертка: Центральная полоса состоит из граней: закрашенная-'В'-'Г'-'Д'. Противоположными гранями являются (закрашенная, 'Г') и ('В', 'Д'). Третья пара — ('А', 'Б'). Если закрашенная грань нижняя, то грань 'Г', как противоположная ей, будет верхней.
Ответ: Г

14 На форуме присутствуют 34 академика, 16 из них имеют бороду, 14 — усы, а у 9 академиков нет ни бороды, ни усов. Сколько академиков имеют и бороду, и усы?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений из теории множеств. Введем обозначения:

• $N$ — общее количество академиков, $N = 34$.
• $Б$ — множество академиков, имеющих бороду. По условию, $|Б| = 16$.
• $У$ — множество академиков, имеющих усы. По условию, $|У| = 14$.
• 9 академиков не имеют ни бороды, ни усов.

1. Сначала найдем общее количество академиков, которые имеют хотя бы один из признаков (бороду, усы или и то, и другое). Это число равно общему количеству академиков за вычетом тех, у кого нет ни бороды, ни усов. Это соответствует мощности объединения множеств $Б$ и $У$, то есть $|Б \cup У|$.

$|Б \cup У| = N - 9 = 34 - 9 = 25$ академиков.

2. Нам нужно найти количество академиков, которые имеют и бороду, и усы. Это соответствует мощности пересечения множеств $Б$ и $У$, то есть $|Б \cap У|$. Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:

$|Б \cup У| = |Б| + |У| - |Б \cap У|$

3. Выразим из этой формулы искомое значение $|Б \cap У|$:

$|Б \cap У| = |Б| + |У| - |Б \cup У|$

4. Подставим известные нам значения:

$|Б \cap У| = 16 + 14 - 25 = 30 - 25 = 5$

Таким образом, 5 академиков имеют и бороду, и усы.

Ответ: 5

47 Вставь пропущенные цифры и сделай проверку:

а) $\begin{array}{r} 3\square 2 \\ \times \square\square 4 \\ \hline \square 5 6 \square \\ + \square 7 4 \square \\ \hline \square\square\square\square\square \end{array}$

б) $\begin{array}{r} 5159\square 0 \\ - \quad\square\square\square\square \\ \hline \square\square\square 5 \\ - \quad\square\square\square \\ \hline \quad\quad\quad\quad 0 \end{array}$

$\begin{array}{r|l} 5159\square 0 & \underline{85} \\ \underline{\square\square\square\square} & \quad \\ \end{array}$

а)

Чтобы решить данный пример, необходимо восстановить пропущенные цифры в умножении столбиком. Будем действовать по шагам.

1. Находим первый множитель и первое неполное произведение.
Первая строка примера: $3\text{☐}2 \times 4 = \text{☐}56\text{☐}$.
Умножаем единицы: $2 \times 4 = 8$. Значит, последняя цифра первого неполного произведения — это 8. Теперь оно выглядит как $\text{☐}568$.
Далее, произведение неизвестной цифры десятков (обозначим её $A$) на 4 должно давать число, оканчивающееся на 6. Проверим таблицу умножения на 4: $4 \times 4 = 16$ и $4 \times 9 = 36$. Значит, $A$ может быть 4 или 9.
- Если $A=4$, то первый множитель — 342. Проверяем: $342 \times 4 = 1368$. В разряде сотен у результата стоит 3, а в примере — 5. Этот вариант не подходит.
- Если $A=9$, то первый множитель — 392. Проверяем: $392 \times 4 = 1568$. Это полностью соответствует шаблону $\text{☐}56\text{☐}$ (получилось $1568$).
Итак, первый множитель — 392, а первое неполное произведение — 1568.

2. Находим второй множитель и второе неполное произведение.
Второй множитель имеет вид $\text{☐}4$. Умножаем 392 на неизвестную цифру десятков (обозначим её $B$). Результат, второе неполное произведение, соответствует шаблону $\text{☐}74\text{☐}$.
То есть, $392 \times B = \text{☐}74\text{☐}$.
Будем подбирать $B$ от 1 до 9. $392 \times 1 = 392$
...
$392 \times 7 = 2744$. Этот результат соответствует шаблону $\text{☐}74\text{☐}$ (получилось $2744$).
Значит, неизвестная цифра десятков второго множителя — это 7. Второй множитель — 74, а второе неполное произведение — 2744.

3. Находим итоговый результат.
Складываем неполные произведения, учитывая сдвиг второго: $1568 + 27440 = 29008$.

Восстановленный пример выглядит так:
392 × 74 ------ 1568 +2744 ------ 29008

Проверка:
Выполним умножение: $392 \times 74 = 29008$. Все верно.

Ответ: 392 × 74 ------ 1568 +2744 ------ 29008

б)

Решим задачу на деление с неизвестными цифрами. Делимое — $5159\text{☐}0$, делитель — 85.

1. Находим первую цифру частного.
Первое неполное делимое — 515. Делим 515 на 85. Подбираем число: $85 \times 6 = 510$. Это подходит. $85 \times 7 = 595$, это уже много.
Значит, первая цифра частного — 6. Вычитаем $515 - 510 = 5$. Первое вычитаемое число — 510.

2. Находим вторую и третью цифры частного и неизвестную цифру в делимом.
К остатку 5 сносим следующую цифру делимого — 9. Получаем 59. Так как $59 < 85$, то вторая цифра частного — 0.
Сносим следующую, неизвестную цифру делимого (обозначим её $A$). Получаем число $59A$. В примере это число соответствует шаблону $\text{☐☐}5$. Из него вычитается такое же число, и в остатке получается 0. Это значит, что число $59A$ должно делиться на 85 без остатка.
Подберем множитель для 85, чтобы произведение имело вид $59A$:
$85 \times 7 = 595$. Это число соответствует шаблону $59A$. Значит, неизвестная цифра $A$ равна 5. Делимое — 515950.
Третья цифра частного — 7. Второе вычитаемое число — 595.

3. Находим последнюю цифру частного.
После вычитания $595-595=0$ сносим последнюю цифру делимого — 0. Делим 0 на 85, получаем 0. Последняя цифра частного — 0.

Итоговое частное — 6070.

Восстановленный пример:
- 515950 | 85 510 | 6070 _595 595 0

Проверка:
Умножим частное на делитель: $6070 \times 85 = 515950$. Результат совпадает с восстановленным делимым. Решение верное.

Ответ: - 515950 | 85 510 | 6070 _595 595 0

48 Сделай прикидку и выполни действия. Расположи ответы по возрастанию и расшифруй имя знаменитого древнегреческого математика.

Р $3680 \cdot 750$

А $3843496 : 479$

И $585816 : 634$

Г $4008 \cdot 69$

П $2119230 : 3006$

Ф $4962690 : 823$

Для того чтобы расшифровать имя, необходимо выполнить все действия, а затем расположить ответы в порядке возрастания.

П
Прикидка: $2119230 : 3006 \approx 2100000 : 3000 = 700$.
Точное вычисление:
Выполним деление по шагам:
1. Делим $21192$ на $3006$. Ближайшее подходящее число — $7$. $3006 \cdot 7 = 21042$. Остаток $21192 - 21042 = 150$.
2. Сносим $3$. Получаем $1503$. $1503 < 3006$, поэтому в частное пишем $0$.
3. Сносим $0$. Получаем $15030$. Делим $15030$ на $3006$. Получаем $5$. $3006 \cdot 5 = 15030$. Остаток $0$.
Таким образом, $2119230 : 3006 = 705$.
Ответ: 705

И
Прикидка: $585816 : 634 \approx 600000 : 600 = 1000$.
Точное вычисление:
Выполним деление по шагам:
1. Делим $5858$ на $634$. Ближайшее подходящее число — $9$. $634 \cdot 9 = 5706$. Остаток $5858 - 5706 = 152$.
2. Сносим $1$. Получаем $1521$. Делим $1521$ на $634$. Получаем $2$. $634 \cdot 2 = 1268$. Остаток $1521 - 1268 = 253$.
3. Сносим $6$. Получаем $2536$. Делим $2536$ на $634$. Получаем $4$. $634 \cdot 4 = 2536$. Остаток $0$.
Таким образом, $585816 : 634 = 924$.
Ответ: 924

Ф
Прикидка: $4962690 : 823 \approx 4800000 : 800 = 6000$.
Точное вычисление:
Выполним деление по шагам:
1. Делим $4962$ на $823$. Ближайшее подходящее число — $6$. $823 \cdot 6 = 4938$. Остаток $4962 - 4938 = 24$.
2. Сносим $6$. Получаем $246$. $246 < 823$, поэтому в частное пишем $0$.
3. Сносим $9$. Получаем $2469$. Делим $2469$ на $823$. Получаем $3$. $823 \cdot 3 = 2469$. Остаток $0$.
4. Сносим $0$. Делим $0$ на $823$, получаем $0$.
Таким образом, $4962690 : 823 = 6030$.
Ответ: 6030

А
Прикидка: $3843496 : 479 \approx 3800000 : 500 = 7600$.
Точное вычисление:
Выполним деление по шагам:
1. Делим $3843$ на $479$. Ближайшее подходящее число — $8$. $479 \cdot 8 = 3832$. Остаток $3843 - 3832 = 11$.
2. Сносим $4$. Получаем $114$. $114 < 479$, поэтому в частное пишем $0$.
3. Сносим $9$. Получаем $1149$. Делим $1149$ на $479$. Получаем $2$. $479 \cdot 2 = 958$. Остаток $1149 - 958 = 191$.
4. Сносим $6$. Получаем $1916$. Делим $1916$ на $479$. Получаем $4$. $479 \cdot 4 = 1916$. Остаток $0$.
Таким образом, $3843496 : 479 = 8024$.
Ответ: 8024

Г
Прикидка: $4008 \cdot 69 \approx 4000 \cdot 70 = 280000$.
Точное вычисление:
$4008 \cdot 69 = 4008 \cdot (60 + 9)$.
$4008 \cdot 9 = 36072$.
$4008 \cdot 60 = 240480$.
$36072 + 240480 = 276552$.
Таким образом, $4008 \cdot 69 = 276552$.
Ответ: 276552

О
Прикидка: $356 \cdot 804 \approx 350 \cdot 800 = 280000$.
Точное вычисление:
$356 \cdot 804 = 356 \cdot (800 + 4)$.
$356 \cdot 4 = 1424$.
$356 \cdot 800 = 284800$.
$1424 + 284800 = 286224$.
Таким образом, $356 \cdot 804 = 286224$.
Ответ: 286224

Р
Прикидка: $3680 \cdot 750 \approx 4000 \cdot 750 = 3000000$.
Точное вычисление:
$3680 \cdot 750 = 368 \cdot 75 \cdot 100$.
$368 \cdot 5 = 1840$.
$368 \cdot 70 = 25760$.
$1840 + 25760 = 27600$.
$27600 \cdot 100 = 2760000$.
Таким образом, $3680 \cdot 750 = 2760000$.
Ответ: 2760000

Расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. 705 (П)
2. 924 (И)
3. 6030 (Ф)
4. 8024 (А)
5. 276552 (Г)
6. 286224 (О)
7. 2760000 (Р)

Сложив буквы в этом порядке, мы получаем имя знаменитого древнегреческого математика: ПИФАГОР.

49 Как изменяются произведение и частное при изменении их компонентов? Сравни выражения $(b, c \neq 0):$

$a \cdot 74$ $74 \cdot a$

$168 : c$ $186 : c$

$x \cdot 7 + x \cdot 5$ $x \cdot 9 + x$

$980 : b$ $909 : b$

$d : 356$ $d : 358$

$(m + n) \cdot 3$ $m + n \cdot 3$

Для сравнения выражений воспользуемся правилами изменения произведения и частного при изменении их компонентов.

• Произведение: От перестановки множителей произведение не меняется (переместительное свойство умножения). При увеличении одного из множителей (при положительных сомножителях) произведение увеличивается.
• Частное: При постоянном делителе частное тем больше, чем больше делимое. При постоянном делимом частное тем больше, чем меньше делитель (при положительных компонентах).

a · 74 и 74 · a

В этом выражении применяется переместительное свойство умножения, которое гласит, что от перестановки мест множителей произведение не меняется. Математически это записывается как $a \cdot b = b \cdot a$. Следовательно, выражения равны.

Ответ: $a \cdot 74 = 74 \cdot a$

168 : c и 186 : c

Здесь мы сравниваем два частных с одинаковым делителем $c$ (при условии $c > 0$). Частное будет больше там, где больше делимое. Сравниваем делимые: $168 < 186$. Так как делимое в первом выражении меньше, чем во втором, то и результат деления будет меньше.

Ответ: $168 : c < 186 : c$

x · 7 + x · 5 и x · 9 + x

Упростим оба выражения, используя распределительное свойство умножения $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.

Левая часть: $x \cdot 7 + x \cdot 5 = x \cdot (7 + 5) = x \cdot 12$.

Правая часть: $x \cdot 9 + x = x \cdot 9 + x \cdot 1 = x \cdot (9 + 1) = x \cdot 10$.

Теперь сравним $x \cdot 12$ и $x \cdot 10$. Если предположить, что $x$ — положительное число ($x > 0$), то произведение будет больше там, где больше второй множитель. Поскольку $12 > 10$, то и $x \cdot 12 > x \cdot 10$.

Ответ: $x \cdot 7 + x \cdot 5 > x \cdot 9 + x$

980 : b и 909 : b

В этих выражениях делитель $b$ одинаковый (при условии $b > 0$). Значит, больше будет то частное, у которого больше делимое. Сравниваем делимые: $980 > 909$. Следовательно, первое частное больше второго.

Ответ: $980 : b > 909 : b$

d : 356 и d : 358

Здесь мы сравниваем два частных с одинаковым делимым $d$ (при условии $d > 0$). Частное будет больше там, где меньше делитель. Сравниваем делители: $356 < 358$. Так как делитель в первом выражении меньше, то результат деления (частное) будет больше.

Ответ: $d : 356 > d : 358$

(m + n) · 3 и m + n · 3

Раскроем скобки в левом выражении, используя распределительное свойство умножения: $(m + n) \cdot 3 = m \cdot 3 + n \cdot 3$.

Теперь сравним выражения $m \cdot 3 + n \cdot 3$ и $m + n \cdot 3$. Оба выражения содержат одинаковое слагаемое $n \cdot 3$. Чтобы сравнить суммы, достаточно сравнить остальные слагаемые: $m \cdot 3$ и $m$. Если предположить, что $m$ — положительное число ($m > 0$), то $m \cdot 3$ (то есть $m+m+m$) будет больше, чем $m$.

Ответ: $(m + n) \cdot 3 > m + n \cdot 3$

50 Сделай оценку значения выражения:

а) $570 \cdot 902;$

б) $625 \cdot 127;$

в) $315514 : 361;$

г) $743700 : 925;$

д) $3509 \cdot 9070;$

е) $802494 : 386.$

а) Для оценки произведения $570 \cdot 902$ округлим множители до сотен: $570 \approx 600$ и $902 \approx 900$. Тогда произведение будет примерно равно: $600 \cdot 900 = 540\,000$.

Ответ: примерно $540\,000$.

б) Для оценки произведения $625 \cdot 127$ округлим $625$ до $600$ и $127$ до $130$ для удобства вычислений. Тогда: $600 \cdot 130 = 78\,000$.

Ответ: примерно $78\,000$.

в) Чтобы оценить частное $315\,514 : 361$, округлим делитель $361$ до $400$, а делимое $315\,514$ до ближайшего числа, удобного для деления на $400$, то есть до $320\,000$. Получим: $320\,000 : 400 = 800$.

Ответ: примерно $800$.

г) Для оценки частного $743\,700 : 925$ округлим делитель $925$ до $900$, а делимое $743\,700$ до удобного для деления числа $720\,000$. Тогда: $720\,000 : 900 = 800$.

Ответ: примерно $800$.

д) Для оценки произведения $3509 \cdot 9070$ округлим множители до удобных значений: $3509 \approx 3500$ и $9070 \approx 9000$. Перемножим их: $3500 \cdot 9000 = 31\,500\,000$.

Ответ: примерно $31\,500\,000$.

e) Чтобы оценить частное $802\,494 : 386$, округлим делитель $386$ до $400$, а делимое $802\,494$ до $800\,000$. Выполним деление: $800\,000 : 400 = 2000$.

Ответ: примерно $2000$.

51 Не вычисляя, объясни, почему равенство неверно:

а) $358 \cdot 82 = 9356;$

б) $287 \cdot 38 = 10904;$

в) $452672 : 643 = 74;$

г) $214240 : 412 = 502;$

д) $8196 \cdot 532 = 46272;$

е) $173272 : 968 = 178.$

а) $358 \cdot 82 = 9356$

Чтобы проверить это равенство, можно выполнить прикидку (оценку) результата. Округлим множители до ближайших круглых чисел. Например, $358 \approx 350$ и $82 \approx 80$. Тогда их произведение будет примерно равно $350 \cdot 80 = 28000$. Более грубая оценка: $300 \cdot 80 = 24000$. В любом случае, результат должен быть значительно больше, чем $9356$.
Ответ: равенство неверно.

б) $287 \cdot 38 = 10 904$

Последняя цифра произведения определяется произведением последних цифр множителей. У числа $287$ последняя цифра $7$, а у числа $38$ – $8$. Их произведение $7 \cdot 8 = 56$. Это значит, что результат умножения должен оканчиваться на цифру $6$. В равенстве же указано число $10 904$, которое оканчивается на $4$.
Ответ: равенство неверно.

в) $452 672 : 643 = 74$

Проверим это равенство, выполнив обратное действие – умножение: $643 \cdot 74$ должно равняться $452 672$. Сделаем прикидку. Округлим $643$ до $600$, а $74$ до $70$. Тогда $600 \cdot 70 = 42000$. Полученное значение ($42000$) сильно отличается от делимого $452 672$, которое почти в 10 раз больше.
Ответ: равенство неверно.

г) $214 240 : 412 = 502$

Проверим равенство умножением: $412 \cdot 502$ должно быть равно $214 240$. Найдем последнюю цифру произведения. Последняя цифра числа $412$ – это $2$, последняя цифра числа $502$ – тоже $2$. $2 \cdot 2 = 4$. Значит, результат умножения должен оканчиваться на $4$. Число $214 240$ оканчивается на $0$.
Ответ: равенство неверно.

д) $8196 \cdot 532 = 46 272$

Выполним оценку произведения, округлив множители. $8196 \approx 8000$, а $532 \approx 500$. Тогда $8000 \cdot 500 = 4 000 000$. Результат должен быть порядка четырех миллионов, а не сорока шести тысяч. Число $46 272$ слишком мало.
Ответ: равенство неверно.

е) $173 272 : 968 = 178$

Для проверки выполним умножение: $968 \cdot 178$ должно равняться $173 272$. Определим последнюю цифру произведения. Последняя цифра у обоих множителей ($968$ и $178$) – это $8$. $8 \cdot 8 = 64$. Значит, произведение должно оканчиваться на $4$. Делимое $173 272$ оканчивается на $2$.
Ответ: равенство неверно.

52 Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом. Чему равна масса сложенного в ящик печенья?

Для того чтобы найти общую массу печенья в ящике, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Сначала рассчитаем, сколько пачек печенья находится в одном слое. Известно, что каждый слой состоит из 5 рядов, в каждом из которых по 6 пачек. Умножим количество рядов на количество пачек в ряду:

$5 \times 6 = 30$ (пачек)

Таким образом, в одном слое лежит 30 пачек печенья.

2. Далее определим общее количество пачек во всем ящике. В ящике 4 таких слоя. Умножим количество пачек в одном слое на количество слоев:

$30 \times 4 = 120$ (пачек)

Итак, всего в ящике находится 120 пачек печенья.

3. Теперь, зная общее количество пачек и массу одной пачки (250 г), мы можем найти общую массу всего печенья в ящике. Для этого умножим общее количество пачек на массу одной пачки:

$120 \times 250 = 30000$ (г)

Полученную массу можно перевести в килограммы. Поскольку в 1 килограмме 1000 граммов, разделим 30000 на 1000:

$30000 \text{ г} = 30 \text{ кг}$

Ответ: масса сложенного в ящик печенья равна 30 000 г или 30 кг.

53 Уголь возили на 4 машинах. Каждая из них сделала по 9 рейсов, привозя каждый раз по 2400 кг угля. Этот уголь расходовали поровну в течение 180 дней. Сколько килограммов угля расходовали ежедневно?

Чтобы решить задачу, сначала необходимо узнать общее количество угля, которое привезли все машины, а затем разделить это количество на число дней, чтобы определить ежедневный расход.

1. Вычислим общее количество угля, перевезенное всеми машинами.
Сначала найдем, сколько всего рейсов сделали все машины. Каждая из 4 машин сделала по 9 рейсов.
$4 \text{ машины} \times 9 \text{ рейсов/машина} = 36 \text{ рейсов}$
Теперь, зная общее количество рейсов и что за каждый рейс привозили 2400 кг угля, найдем общую массу привезенного угля.
$36 \text{ рейсов} \times 2400 \text{ кг/рейс} = 86400 \text{ кг}$
Итак, всего было привезено 86400 кг угля.

2. Вычислим, сколько килограммов угля расходовали ежедневно.
Общее количество угля (86400 кг) было израсходовано равномерно за 180 дней. Чтобы найти ежедневный расход, разделим общую массу угля на количество дней.
$86400 \text{ кг} \div 180 \text{ дней} = 480 \text{ кг/день}$

Ответ: 480 килограммов угля расходовали ежедневно.